||가우스 면 내부 전하 ||내부 전하의 [[부호,sign|부호]] ||나오는 [[전속,electric_flux|전기선속]] || ||전하가 없으면 ||$q_{\textrm{in}}=0$ ||$\Phi_E=0$ || ||양의 전하가 있으면 ||$q_{\textrm{in}}>0$ ||$\Phi_E>0$ || ||음의 전하가 있으면 ||$q_{\textrm{in}}<0$ ||$\Phi_E<0$ || 결론은 내부[[전하,electric_charge]]와 나오는 [[전속,electric_flux]]이 비례한다는 것. $\Phi_E\propto q_{\textrm{in}}$ $\Phi_E=\frac{q_{\textrm{in}}}{\epsilon_0}$ $\Phi_E=\int\vec{E}\cdot d\vec{A}=\frac{q_{\textrm{in}}}{\epsilon_0}$ ## from http://www.kocw.net/home/search/kemView.do?kemId=1299691 가우스법칙 요약정리 ---- 폐곡면([[가우스_면,Gaussian_surface]])을 통과하는 전기장 다발 Φ,,E,,는 폐곡면 안에 든 총 전하량 Q,,in,,에 비례한다. { 가상의 폐곡면(닫힌 면) 임의로 잡을 수 있음 따라서 보통 대칭성을 이용할 수 있고 계산이 최소화되는 것을 선택하는 듯.. 보통 구면, 정육면체, 원통형(실린더형) 예를 드는 듯.. (전하 $q$ 를 둘러싼) 폐곡면을 지나는 알짜선속([[전속,electric_flux]])은 * 폐곡면 내부의 전하 $q$ 에만 의존 (밖의 전하는 신경쓸 필요 X) * 폐곡면의 모양에 무관 * 크기는 $\frac{q}{\epsilon_0}$ 폐곡면 외부의 전하는 선속? 전기장선?? 을 구부릴 수는 있어도 폐곡면을 나오는 선속의 수에는 영향을 끼치지 못한다. CHK surface대신 shell이라고도 하는 듯 AKA '''가우스 곡면, 가우스 표면''' } [[대칭성,symmetry]]...을 잘 찾아서 가우스면을 잡으면 편하다...던데.... 점대칭 point symmetry 선대칭 line symmetry 면대칭 plane symmetry 전기장에 대한 것과 자기장에 대한 것이 있는데 현재 내용은 대부분 전기장에 대한 것이며 자기장에 대한 것은 맨 밑으로. 다음과 같은 여러 표현이 있음 $\oint_S \vec{E} \cdot d\vec{a} = \frac{Q_{\textrm{in}}}{\epsilon_0}$ $\oint\vec{E}\cdot d\vec{A}=\Phi=\frac{q_{\textrm{encl}}}{\epsilon_0}$ $\vec{E}\cdot d\vec{A}$ 가 스칼라곱(scalar product)이므로, [[전속,electric_flux]]은 스칼라 양 $\mathrm{\Phi}_{\rm E}=\oint\vec{E}\cdot d\vec{A}=\frac{Q_{\rm in}}{\epsilon_0}$ Φ,,E,, = [[전속,electric_flux]] E = [[전기장,electric_field]] Q = [[전하,electric_charge]] A는 면에 대한 법선벡터? CHK 이중적분기호 $\iint$ 로 표기하는 곳도 있음 ---- 전속으로 표현하면, 알짜 전하(net charge) q,,enc,,가 들어 있는 것(?)의 표면을 알짜 전속(net flux) Φ가 통과? 할때 $\varepsilon_0\Phi =q_{\textrm{enc}}$ 전기장으로 표현하면, $\varepsilon_0\oint\vec{E}\cdot d\vec{A}=q_{\textrm{enc}}$ (Halliday 10e) ---- $\Phi=\frac{q}{\varepsilon_0}$ $\oint\vec{E}\cdot\vec{A}=\frac{q}{\varepsilon_0}$ dA 아닌가? CHK (Bauer) ---- (진공의 유전율) × (닫힌 곡면에 대한 플럭스) = (닫힌 곡면 안에 든 전하량) (닫힌 곡면에 대한 플럭스) = (닫힌 곡면 안에 든 전하량) / ε,,0,, 가우스 곡면에 대한 플럭스는 전기장의 그 곡면에 대한 [[면적분,surface_integral]]으로 주어짐. 닫힌 곡면 S, 그 안의 총 전하량 q, 닫힌 곡면 위 각 지점에서의 전기장 값을 $\vec{E}$ 라 하면, '''가우스 법칙'''은 $\oint_S \vec{E}\cdot d\vec{A}=\frac{q}{\varepsilon_0}$ ([[https://terms.naver.com/entry.nhn?docId=3570518&contentsParamInfo=isList%3Dtrue%26navCategoryId%3D58960&cid=58941&categoryId=58960 물리산책 가우스의 법칙]]) [[TableOfContents]] = 쿨롱 법칙과의 관계 = '''''[[쿨롱_법칙,Coulomb_s_law]]'''''과 같은 말을 하고 있다. '''가우스 법칙'''은 쿨롱 법칙의 새로운 형태다. 가우스 면이라는 가상의 폐곡면... $|\vec{E}|\cdot 4\pi r^2 = \frac{Q}{\varepsilon_0}$ (가우스 법칙 스타일) $\small\updownarrow$ $|\vec{E}|=\frac{1}{4\pi\varepsilon_0}\frac{Q}{r^2}$ (쿨롱 법칙 스타일) 쿨롱 법칙을 쓰면 힘든 특별한 문제들을 Gauss법칙으로 쉽게 풀 수 있다. ---- ## from http://optics.hanyang.ac.kr/~shsong/23-Gauss%20law.pdf '''가우스 법칙'''에서 쿨롱 법칙을 이끌어내기 점 전하 q가 원점에 있고, 반지름 r인 공 표면에서 전기장 E의 크기는 구의 대칭성 때문에 일정하고, 방향은 밖으로 나아가는 방향, 등을 가정하면 (CHK) $\oint_S \vec{E}\cdot d\vec{A}=E\oint_S dA=E(4\pi r^2)=\frac{q}{\epsilon_0}$ 따라서 $E=\frac1{4\pi\epsilon_0}\frac{q}{r^2}$ 이렇게 쿨롱 법칙이 나옴. See also [[쿨롱_법칙,Coulomb_s_law]] = tocleanup = ##from 하이탑 물2 균일한 전기장 $E$ 가 있을 때, 이 전기장에 수직이고 면적이 $A$ 인 면을 지나는 전기장 선속(전기선속, [[전속,electric_flux]]) $\phi$ 는 $\phi=E\cdot A$ 면적 $A$ 가 전기장 $E$ 와 수직하지 않을 때, 전기장 $E$ 에 수직한 면적 $A_{\bot}$ 을 지나는 전속과 면적 $A$ 를 지나는 전속이 같다. $\phi=E\cdot A_{\bot}=EA\cos\theta$ 일반적으로는 $\phi=\oint E\cdot dA$ 점[[전하,electric_charge]] $q$ 를 중심으로 하는 반지름 $r$ 인 구면을 지나는 전속 $\phi$ 는, $\phi=\oint E\cdot dA=\frac{kq}{r^2}\cdot 4\pi r^2=4\pi kq$ 그리고 $k=\frac1{4\pi\epsilon_0}$ 이므로 $\phi=\frac{q}{\epsilon_0}$ 따라서 $\oint E\cdot dA=\frac{q}{\epsilon_0}$ ---- (전기장의 세기) ∝ (단위면적당 전기력선의 수) = (전기력선의 수) / (면적) 즉, (면적) × (전기장의 세기) ∝ (전기력선의 수) 식으로 Φ,,E,,=EA ? CHK Φ,,B,,=BA ([[자속,magnetic_flux]]=[[자기장,magnetic_field]]×면적 의 경우)와 비슷? [[전기장,electric_field]] = 차동우 = 폐곡면(가우스 면, 가우스 곡면, 가우스 폐곡면)을 통과하는 [[전기장,electric_field]]의 총 [[선속,flux]] (i.e. [[전속,electric_flux]]) $\Phi_E:$ $\Phi_E=\oint_S\vec{E}\cdot d\vec{a}$ 그 폐곡면 내 포함된 알짜전하(+, -을 상쇄하고 남는 전하) $q:$ $q=\int_V \rho dv$ → $\Phi_E,\;q$ 사이에는 $\Phi_E=\frac{q}{\epsilon_0}$ 가 성립 → 이것을 $\rho,\;\vec{E}$ 로 표현하면 > $\oint_S\vec{E}\cdot d\vec{a}=\frac{1}{\epsilon_0}\int_V \rho dv$ * 실제로는 쿨롱 법칙보다 가우스 법칙을 많이 씀 * 가우스 법칙 좌변의 적분은 가우스 표면에서 전기장 값을 먼저 알아야 구하는 게 가능 * 가우스 법칙으로 전기장을 구할 수는 없지만, 가우스 법칙 자체는 언제나 성립 * 전하 분포가 특별한 경우에만 (전하분포에 대칭성이 있을 때) 가우스 법칙을 써서 전기장을 구할 수 있음 그리하여 가우스 법칙을 적용가능한 전하분포 패턴은 한정되어 있는데 * 점전하 * 무한히 긴 균일한 선전하 * 무한히 넓은 균일한 면전하 하나씩 보면, 점전하가 만드는 전기장 점전하 $q$ 를 중심으로 하고, 반지름 $r$ 인 구의 표면을 가우스 폐곡면으로 정함. 그러면 대칭성에 의해 구 표면 전기장의 세기는 모두 같고, 전기장 방향은 모두 $\hat{r}$ 방향. $\vec{E}(\vec{r})=E(r)\hat{r}$ 그래서, 법칙의 좌변: $\vec{E}$ 와 $\vec{a}$ 방향이 같으므로, $\vec{E}\cdot d\vec{a}=Eda$ 이므로 $\oint_S\vec{E}\cdot d\vec{a}=\oint_S Eda=E\oint da=4\pi r^2 E$ 법칙의 우변: $\int_V\rho dv=q$ 따라서 $4\pi r^2 E=\frac{q}{\epsilon_0}$ $\vec{E}(\vec{r})=\frac{1}{4\pi\epsilon_0}\frac{q}{r^2}\hat{r}$ 이 결과를 보면 쿨롱 법칙과 동일한 것을 알 수 있음 무한히 긴 균일한 선전하가 만드는 전기장 가우스표면은 원통 모양, 선전하가 중심축에 있고, 원통 단면 반지름 $\rho$ 이고, 길이가 $l$ 인 원통 표면을 가우스 폐곡면으로 정함 원통 표면에서는 전기장 세기가 모두 같고, 원통 표면 어디서나 전기장 방향은 $\hat{\rho}$ 법칙의 좌변: $\oint_S\vec{E}\cdot d\vec{a}=2\pi\rho l E$ 법칙의 우변에 있는 적분: $\int_V\rho dv=\lambda l$ (람다: 선전하밀도, see [[전하밀도,charge_density]]) 대입하면 $2\pi\rho l E=\frac{\lambda l}{\epsilon_0}$ $E(\rho)=\frac1{2\pi\epsilon_0}\frac{\lambda}{\rho}$ from https://youtu.be/UaPnaXXYIzs 차동우 가우스 법칙 = 미분 표현 = $\nabla\cdot\vec{E}=\frac{\rho}{\epsilon_0}$ = 가우스 법칙의 미분형태 = [[발산정리,divergence_theorem]]로 유도한다고 함 전기장 $\nabla\cdot\vec{D}=\rho_0$ $\nabla\cdot\vec{E}=\frac{\rho}{\epsilon_0}$ $\vec{D}$ : [[전기변위장,electric_displacement_field]](=전속밀도) $\rho_0$ : 자유전하밀도 $\rho$ : 전하밀도 자기장 $\nabla\cdot\vec{H}=0$ CHK ## from wpko = 적분 표현 = = 가우스의 전기장 법칙 = 가정: 구형 도체 표면(가우스 면)에서 나가는 전기장 E ([[전기장,electric_field]]) 반지름 R 표면적 A 내부 전하 q ([[전하,electric_charge]]) * 도체 내부의 전기장은 0이다. (표면에만 있다.) * 도체 표면과 전기장선의 각도는 90°이다. 전기장의 세기 $|\vec{E}|=k\frac{q}{R^2}$ 이고 공의 표면적 $A=4\pi R^2$ 이므로 $E\cdot A=4\pi k q$ 여기에 $k=\frac{1}{4\pi\epsilon_0}$ 를 넣으면 $E\cdot A=\frac{q}{\epsilon_0}$ $\Phi_{E}=\sum|\vec{E}|\cdot\Delta A\cdot\cos\theta = \frac{Q}{\epsilon_0}$ Q = 표면에 싸인 내부의 전하량 ---- 평행판 [[축전기,capacitor]]를 가정하면, (이렇게 해야 다음 내용이 말이 되는지?? CHK) (그걸 가정하는 이유는 전기장이 판 사이에서 일정하다고 놓기 위한 것이 맞는지? CHK) $|\vec{E}|\cdot A\cdot\cos0\textdegree=|\vec{E}|\cdot A$ $|\vec{E}|=\frac{Q}{\epsilon_0A}$ 여기서 $\frac{Q}{A}$ 는 면전하밀도 $\sigma$ 이므로 ([[전하밀도,charge_density]]) $|\vec{E}|=\frac{\sigma}{\epsilon_0}$ ---- [[WpKo:가우스_법칙]] [[WpEn:Gauss'_law]] https://namu.wiki/w/%EA%B0%80%EC%9A%B0%EC%8A%A4%20%EB%B2%95%EC%B9%99 = 가우스의 자기 법칙 = [[WpEn:Gauss's_law_for_magnetism]] AKA 자기장에 대한 가우스의 법칙, 자기에 관한 가우스의 법칙 $\oint\vec{B}\cdot d\vec{A}=0$ [[자하,magnetic_charge]]는 검출되지 않았다는 실험 사실에 근거함. = ysi = 먼저 [[전속,electric_flux]](Ψ)은 전속밀도(D)에 대해 $\Psi=\int\vec{D}\cdot d\vec{S}$ (임의의 면적에 대해) 인데, '''가우스법칙'''은 $\Psi=\oint\vec{D}\cdot d\vec{s}$ (폐곡면에 대해) $=Q_{\textrm{enclosed}}$ (Q는 그 폐곡면이 싸고 있는 전하량) 즉, 전하에서 발산해나오는 전속은 그 원인이 되는 전하량과 같다는 것. '''가우스 법칙'''은 대칭성이 확보된 때만 적용한다. 가우스평면(가우스면, 가우시안 폐곡면)은 대칭성도 중요하고 다음 조건도... 접선 조건 : $\vec{D}//d\vec{s} \Rightarrow \vec{D}\cdot d\vec{s} = Dds$ (계산이 편해짐) 또한 $\Rightarrow \vec{D}//\Delta\vec{S} \Rightarrow \vec{D}\cdot\vec{S}=D\Delta S$ 법선 조건: $\vec{D}\bot\Delta\vec{S} \Rightarrow \vec{D}\cdot\Delta\vec{S}=0$ 접선조건만으로 되면 충분하겠지만 안되면 법선조건도 써서. 가우스법칙 적용 예: y축 따라가는 무한직선, 선전하밀도 $\rho_L$ $\vec{D}=D_{\rho}\vec{a_{\rho}}$ , 무엇의 함수냐면 $=D_{\rho}(\rho)\vec{a_{\rho}}$ 즉 rho만의 함수. (D는 phi, z에 관계없이 일정) $\oint\vec{D}\cdot d\vec{s}=Q_{enc}$ 좌변 = 옆면적분 + 윗면적분 + 아랫면적분 $=\int\nolimits_{\phi=0}^{2\pi} \int\nolimits_{z=0}^{h} D_{\rho} \vec{a_{\rho}} \cdot \rho d\phi dz \vec{a_{\rho}}+0+0$ $=D_{\rho} (2\pi\rho) (h)$ $=2\pi h \rho D_{\rho}$ 우변 $=\rho_{L} h$ 즉 h가 소거되고 $2\pi \rho D_{\rho} = \rho_L$ 구하는 것은 $D_{\rho}=\frac{\rho_L}{2\pi\rho}$ 따라서 $\vec{D}=\frac{\rho_L}{2\pi\rho}\vec{a_{\rho}}$ (C/m^^2^^) $\vec{E}=\frac{\rho_L}{2\pi\epsilon_0\rho}\vec{a_{\rho}}$ (V/m) [[http://www.kocw.net/home/search/kemView.do?kemId=320366 src]] 3강 1h:2m [[Date(2020-10-14T04:02:24)]] Next: see [[발산,divergence#s-1]](ysi) = QQQQ = Fleisch: $\oint_S \vec{E} \cdot \hat{n} da = \frac{q_{enc}}{\epsilon_0}$ 여기 대개의 표현: $\oint_S \vec{E} \cdot d\vec{a} = \frac{q_{enc}}{\epsilon_0}$ 같은 뜻일텐데 어떻게 같은지 확인 = tmp links ko = https://m.blog.naver.com/cindyvelyn/221865911858 = tmp bmks en = https://everything2.com/title/Gauss%2527s+Law -------- Parent: [[맥스웰_방정식,Maxwell_equation]] [[전자기학,electromagnetism]]