''QQQ [[행렬식,determinant]]처럼 [[행렬,matrix]]의 특성을 설명하는 어떤 [[스칼라,scalar]]값인지?'' ---- (다음 서술 맞는지 CHK!! 완벽하지 않은 부분 있으면 보강할 것) 정사각행렬(n×n행렬) A, 벡터 x, 스칼라값([[스칼라,scalar]]? [[상수,constant]]배?) λ가 있다. 그리고 이런 행렬·벡터 = 스칼라·벡터 관계가 있다. A x = λ x 벡터는 영벡터가 아니다. (x ≠ '''0''') (영벡터라면 너무 당연하게 등식이 성립한다) 만약 위 식을 만족시킬 수 없다면, A의 고유벡터와 고유값은 없다. 만약 위 식을 만족시킬 수 있다면, i.e. 식을 만족시키는 벡터 x와 스칼라 λ가 있다면, 그런 벡터 x는 A의 [[고유벡터,eigenvector]]이고 그런 스칼라 λ는 A의 [[고유값,eigenvalue]]이다. A x = λ x, x ≠ '''0''' 이면 |A - λ I| = 0 이다. 저 (오른쪽의) 방정식을 [[특성방정식,characteristic_equation]]이라 하며, 이것은 λ가 미지수인 n차 방정식이며, 풀면 n개의 λ가 나온다. (n개의 근을 보통 이렇게 표기하는 듯. λ,,1,,, λ,,2,,, … λ,,n,,) (← 고유값 구하는 방법) 그 λ들을 A x = λ x 에 대입하여 x를 구할 수 있다. (← 고유벡터 구하는 방법) ---- 기호는 대개 λ, $\lambda$ 여러 개 있는 경우 $\lambda_1,\lambda_2,\cdots$ 등으로 구분. $n\times n$ 행렬 $A=[a_{jk}]$ 가 있고, 방정식 $A\vec{x}=\lambda\vec{x}$ 를 생각. 여기서 λ는 결정되어야 하는 스칼라, $\vec{x}$ 는 결정되어야 하는 벡터이다. 모든 λ에 대해, $\vec{x}=\vec{0}$ 은 한 개의 해가 된다. (이것은 자명. 이 경우를 제외하고,) 어떤 벡터 $\vec{x}\ne\vec{0}$ 에 대해 식이 성립하는 스칼라 $\lambda$ 를 $A$ 의 '''고유값'''이라 하고, 이 벡터 $\vec{x}$ 를 고유값 $\lambda$ 에 대응하는 $A$ 의 [[고유벡터,eigenvector]]라고 한다. 식을 다시 쓰면 $(A-\lambda I)\vec{x}=\vec{0}$ 이것은 $n$ 개의 미지수 $x_1,\cdots,x_n$ (벡터 $\vec{x}$ 의 성분들)에 대한 선형대수방정식이다. 이 방정식들이 $\vec{x}\ne\vec{0}$ 인 해를 갖기 위해서는, 계수행렬 $A-\lambda I$ 의 행렬식이 0이 되어야 한다. 일단 간단히 $n=2$ 인 경우만 생각하면, $\begin{bmatrix}a_{11}-\lambda & a_{12} \\ a_{21} & a_{22}-\lambda \end{bmatrix} \begin{bmatrix} x_1 \\ x_2 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 0 \\ 0 \end{bmatrix}$ $A-\lambda I$ 가 [[특이행렬,singular_matrix]]이 되기 위한 필요충분조건은 A의 특성행렬식(characteristic determinant)이라 부르는 [[행렬식,determinant]] $\det(A-\lambda I)$ 가 0이 되는 것이다. (일반적인 $n$ 에 대해서도 마찬가지.) 이것으로부터 $\det(A-\lambda I)=\begin{vmatrix}a_{11}-\lambda & a_{12} \\ a_{21} & a_{22}-\lambda \end{vmatrix}$ $=(a_{11}-\lambda)(a_{22}-\lambda)-a_{12}a_{21}$ $=\lambda^2-(a_{11}+a_{22})\lambda+a_{11}a_{22}-a_{12}a_{21}=0$ λ에 대한 이 [[이차방정식,quadratic_equation]]을 행렬 A의 [[특성방정식,characteristic_equation]]이라 하며, 이것의 해는 A의 고유값 $\lambda_1,\lambda_2$ 이다. (후략) // mklink [[특성다항식,characteristic_polynomial]] (Kreyszig 10e 번역판 p159) ---- $A$ 가 $n\times n$ [[행렬,matrix]]일 때, [[연립일차방정식,system_of_linear_equations]] $AK=\lambda K$ 의 0이 아닌 해벡터 $K$ 가 존재하면, 수 $\lambda$ 를 $A$ 의 '''고유값'''(eigenvalue)이라 하고, 그 해벡터 $K$ 를 고유값 $\lambda$ 에 대응하는 [[고유벡터,eigenvector]]라고 한다. tmp def from https://pinkwink.kr/185 물리학에서 고유값 문제란? Eigenvalue Problem https://freshrimpsushi.tistory.com/1637 { $n\times n$ 행렬 $A$ 가 있을 때, 식 $A\vec{x}=\lambda\vec{x}$ 를 만족하는 $n\times1$ 행렬 $\vec{x}$ 와 상수 $\lambda$ 를 찾는 것을 '''고유값 문제'''라고 한다. 이러한 행렬 $\vec{x}$ 를 $A$ 의 [[고유함수,eigenfunction]]라 하고 $\lambda$ 를 $\vec{x}$ 의 고유값이라 한다. } ---- [[행렬,matrix]]의 모든 '''고유치'''의 합은 [[대각합,trace]]과 정확히 같다는데. CHK see [[특성방정식,characteristic_equation]] = 이름, 명칭 = [[특성근,characteristic_root]]은 '''고유값,eigenvalue'''과 동의어. (Src: [[WtEn:characteristic_root]]) ---- AKA 특성값(characteristic value), 잠정근(latent root) // characteristic_value latent_root (고유벡터는 AKA 특성벡터(characteristic vector)) // [[고유벡터,eigenvector]] n×n 행렬 A의 모든 고유값의 집합을 A의 스펙트럼(spectrum)이라 함. 최대로 서로 다른 n개의 '''고유값'''을 가질 수 있음. // [[스펙트럼,spectrum]] A의 고유값의 절대값의 최대값을 A의 스펙트럼 반경(spectrum radius)이라 함. // [[스펙트럼반지름,spectral_radius]] // from [[https://rfriend.tistory.com/181]] ---- '''스펙트럼''' 기호: 행렬 A의 스펙트럼은 λ(A) [[행렬,matrix]]의 [[스펙트럼,spectrum]]은, 그 행렬의 [[고유값,eigenvalue]]의 [[집합,set]]을 뜻함. https://mathworld.wolfram.com/MatrixSpectrum.html If $\lambda(A)=\lbrace \lambda_1,\cdots,\lambda_n\rbrace,$ then the [[행렬식,determinant|determinant]] of $A$ is given by $\det(A)=\lambda_1\lambda_2\cdots\lambda_n.$ WpEn:Spectrum_of_a_matrix 관련 정리: WpKo:스펙트럼_정리 WpEn:Spectral_theorem .... [[스펙트럼정리,spectral_theorem]](writing) ---- 고유값과 [[행렬식,determinant]]의 관계: $\lambda$ 가 $\begin{bmatrix}a_{11} & \cdots & a_{1n} \\ \vdots & \ddots & \vdots \\ a_{n1} & \cdots & a_{nn}\end{bmatrix}$ 의 고유값이라는 것 ⇔ $\det\begin{bmatrix}a_{11}-\lambda & \cdots & a_{1n} \\ \vdots & \ddots & \vdots \\ a_{n1} & \cdots & a_{nn}-\lambda\end{bmatrix}=0$ Cramer 정리 관련. 위의 $A-\lambda I$ : 특성행렬(characteristic matrix) $D(\lambda)=\det(A-\lambda I)$ : 행렬 A의 특성행렬식(characteristic determinant) $A-\lambda I=0$ : [[특성방정식,characteristic_equation|특성방정식]](characteristic equation) AKA 고유방정식(eigenvalue equation) n차 정사각행렬의 고유값은 한 개 이상 n개 이하의 서로 다른 값. 순서: 먼저 고유값을 구하고 Gauss소거법으로 그에 대응하는 고유벡터를 구함. 그 다음 [[고유공간,eigenspace]]을 정의. (Kreyszig정의) > 만일 w와 x가 행렬 A의 같은 [[고유값,eigenvalue]] λ에 대한 [[고유벡터,eigenvector]]인 경우, w+x (단, x≠-w)와 kx (단, k는 임의의 0 아닌 스칼라)도 고유벡터가 된다. 따라서 같은 고유값 λ에 대응하는 고유벡터들은 0벡터와 함께 하나의 [[벡터공간,vector_space]]을 이루며, 이것을 고유값 λ에 대응하는 '''고유공간(eigenspace)'''이라고 부른다. // from https://rfriend.tistory.com/182 = 고유값 분해 = [[고유값분해,eigendecomposition]] 고유분해가 아니고? https://mathworld.wolfram.com/EigenDecomposition.html tmp links ko { 고유값분해(정사각행렬에만 적용) and 특이값분해(SVD, 직사각행렬에 적용) https://rfriend.tistory.com/185 대각화(Diagonalization)와 고유값분해(eigenvalue decomposition)의 의미 (2019) https://losskatsu.github.io/linear-algebra/eigen-decomposition/ } Compare: [[특이값분해,singular_value_decomposition,SVD]] = 미분방정식에서 말하는 고유값 = 상수 계수 선형 [[미분방정식,differential_equation]]의 '''고유값,eigenvalue'''은 그 미분방정식의 [[특성방정식,characteristic_equation]](=[[보조방정식,auxiliary_equation]])의 '''복소근''' complex_roots 을 말한다.[* https://terms.naver.com/entry.naver?docId=5669020&cid=60207&categoryId=60207 수학백과: 특성방정식] = tmp misc facts - chk = * nxn 행렬 고유값은 1, 2, ...., 최대 n개? 중 하나? * 고유값은 중복이 가능하다 // examples: tmp; from https://youtu.be/b9mVtUlt2Ic?t=239 양자시뮬레이션 특강(1) (ku최만수) $\begin{bmatrix}0&1\\1&0\end{bmatrix}$ 의 eigenvalues: $E=\pm 1$ $\begin{bmatrix}0&\Omega_1&\Omega_2\\\Omega_1^*&0&0\\\Omega_2^*&0&0\end{bmatrix}$ ... $E=\pm\sqrt{|\Omega_1|^2+|\Omega_2|^2},\;0$ - zero eigenvalue 한 개 바로 이후에 이어짐 : 이런 경우는 zero-eigenvalues 가 몇 개인가? / [[특이값분해,singular_value_decomposition,SVD]] / ... = tmp links ko = eigenvalue, eigenvector에 대한 [[https://www.quora.com/What-are-eigenvalues/answer/Viktor-T-Toth-1?ch=10&share=55f8a5ce&srid=hdqCn quora의 답변]]의 한국어 번역? https://m.blog.naver.com/rlaghlfh/221488121095 ---- 정의: https://rfriend.tistory.com/181 ''그림 사용하여 '''eigenvalue''' + eigenvector 함께 설명.'' 구하기: https://rfriend.tistory.com/182 ---- http://biohackers.net/wiki/EigenValue = tmp links en = https://everything2.com/title/eigenvalue https://everything2.com/title/eigenvalues ---- See also [[고유벡터,eigenvector]]. and [[RR:고유,eigen]] Twins: [[https://terms.naver.com/entry.naver?docId=3404955&cid=47324&categoryId=47324 수학백과: 고윳값]] https://en.citizendium.org/wiki/Eigenvalue https://mathworld.wolfram.com/Eigenvalue.html [[WtEn:eigenvalue]] https://encyclopediaofmath.org/wiki/Eigen_value - ''of an operator (transformation) $A$ of a [[벡터공간,vector_space|vector space]] $L$ over a [[체,field|field]] $k$ '' https://artofproblemsolving.com/wiki/index.php/Eigenvalue ---- AKA '''고윳값, 고유치, characteristic value''' Up: [[선형대수,linear_algebra]] [[스칼라,scalar]]? [[값,value]]?