#noindex Sub: [[평면곡선,plane_curve]] ---- chk, 내생각, tmp { QQQ: 곡선은 1차원, 곡면은 2차원, ,,계속 확장 가능?,, 곡부피(?)는 3차원, (?)은 (??)차원, ... (???) 곡선을 알파벳 하나로 나타낼 때 보통 함수 $C:[a,b]\to\mathbb{R}^n$ 으로 하는 것 같은데[* https://terms.naver.com/entry.naver?docId=3405173&cid=47324&categoryId=47324] 대문자함수이름 C ...? 평면곡선은 parameter $t$ 에 대해 $t\mapsto(x(t),y(t))$ 로 볼 수 있는데 이게 정의? (이희원) Or, [[매개곡선,parametric_curve]](rel. [[매개변수방정식,parametric_equation]]) only? 아님 이게 일반적이므로 이게 정의로 적당한..? [[매개변수,parameter]] $t\in I$ [[구간,interval]] $I$ [[점,point]] $(x,y)$ } ---- $C^1$ 조각마다 매끄러운 곡선 [[닫힌곡선,closed_curve]] { '''닫힌곡선, 폐곡선, closed curve''' 연필을 떼지 않고 한번에 그릴 때 시작-끝 점이 같음, i.e. 시점과 종점이 일치 곡선의 시점과 종점이 같을 경우, 즉 $\vec{r}(b)=\vec{r}(a)$ 인 곡선을 '''닫힌곡선'''(closed curve)이라 한다. (Stewart) MKL [[닫힌경로,closed_path]] [[닫힌곡면,closed_surface]] https://mathworld.wolfram.com/ClosedCurve.html [[곡선,curve]] closedness ? } [[단일곡선,simple_curve]] ... [[Date(2022-07-11T21:08:12)]] : [[단순곡선,simple_curve]]으로 작성중 ... 단일은 double 그 이상이 아닌 'single'에 더 어울리는 듯, '스스로 교차하지 않음'이라는 뜻에 잘 어울리지는 않는 듯? { '''simple curve''' 같은 점을 두 번 이상 지나지 않음 i.e. 교차하지 않음 (Kreyszig 번역판:) 중복점(multiple point)이 없는 곡선, 즉 자신과 교차하거나 접하는 점이 없는 곡선을 단순곡선(simple curve)이라 한다. 원이나 나선은 단순곡선이다. https://mathworld.wolfram.com/SimpleCurve.html } [[단일폐곡선,simple_closed_curve]] ... [[단순닫힌곡선]] ? { '''simple closed curve''' 폐곡선 ∩ 단일곡선 closed_curve ∩ simple_curve 원과 위상동형(homeomorphic) - see [[위상동형사상,homeomorphism]] Examples: [[원,circle]], [[타원,ellipse]], [[WpKo:단일폐곡선]] } //위아래 같은건지? chk - yes. via [[https://terms.naver.com/entry.naver?docId=1079789&cid=40942&categoryId=32223 두산백과 단일폐곡선]] [[조르당_곡선,Jordan_curve]] { '''Jordan curve''' [[평면,plane]]에 있는 곡선으로 안과 밖을 [[둘,2]]로 구분/이분한다([[분할,partition]] > [[이분,bipartition]]). 관련 정리: [[조르당_곡선정리,Jordan_curve_theorem]] - [[안쪽,inside]]과 [[바깥쪽,outside]]이 [[경계,boundary]] https://mathworld.wolfram.com/JordanCurveTheorem.html [[WpEn:Jordan_curve_theorem]] [[WpKo:조르당_곡선_정리]] Up: [[algebraic_topology]] https://mathworld.wolfram.com/JordanCurve.html } [[매끄러운곡선,smooth_curve]] { '''매끄러운 곡선, smooth curve''' [[경로적분,contour_integral]]에서 언급되는데 TBW. [[선적분,line_integral]]과도 관련있는듯 mklink [[매끄러운함수,smooth_function]] https://mathworld.wolfram.com/SmoothCurve.html Up: [[매끄러움,smoothness]] } Sub: [[포락선,envelope]] [[원뿔곡선,conic_section]] (=[[이차곡선,quadratic_curve]]? 아님 그 일종?) [[포물선,parabola]] [[쌍곡선,hyperbola]] [[원,circle]] [[타원,ellipse]] [[호,arc]] [[사이클로이드,cycloid]] [[에피사이클로이드,epicycloid]] [[하이포사이클로이드,hypocycloid]] [[현수선,catenary]] 심장형 [[cardioid]] (writing) [[astroid]] (writing) astroid = hypocycloid of four cusps - ex. $x=4\cos^3\theta,\;y=4\sin^3\theta$ (Stewart 9e 10.2 바로 앞) [[렘니스케이트,lemniscate]] { [[https://terms.naver.com/entry.naver?docId=5669256&cid=60207&categoryId=60207 수학백과: 렘니스케이트]] 이것은 Cassini_oval([[https://terms.naver.com/entry.naver?docId=5669170&cid=60207&categoryId=60207 수학백과: 카시니 난형선]] or 카시니 타원 { 두 정점까지의 거리의 곱이 일정한 점들의 집합 } 의 특수한 경우. [[WpEn:Lemniscate]] [[WpKo:렘니스케이트]] } devil's curve kampyle of Eudoxus Tschirnhausen cubic [[타원곡선,elliptic_curve]] [[나선,helix]] { Ex. 원나선(circular helix) $x=\cos t, \ y=\sin t, \ z=t$ 영어 발음 헬릭스가 아닌 힐릭스. } ,spiral - 이것도 나선으로 번역되는 일이 자주 (eg kms [[https://www.kms.or.kr/mathdict/list.html?key=ename&keyword=spiral]]) { The Hypnotic World of Degenerate Spirals https://www.dogatekin.com/blog/hypnotic-degenerate-spirals/ https://news.ycombinator.com/item?id=27097719 종류: [[WpEn:Archimedean_spiral]] [[WpEn:Logarithmic_spiral]] etc. AKA 스파이럴 } // wpko에선 각각 spiral은 와선, helix는 나선으로 번역. // spiral [[WpEn:Spiral]] [[WpKo:와선]] (소용돌이선, 달팽이선) - nautilus, ... // helix [[WpEn:Helix]] [[WpKo:나선]] - double helix는 DNA에서, ... 데카르트의 엽선 folium of Descartes $x^3+y^3-9xy=0$ etc. 분류를 해야 하는데. [[매개곡선,parametric_curve]] (매개변수곡선) - 관련: [[매개변수방정식,parametric_equation]] conchoids of Nicomedes [[극곡선,polar_curve]] - 관련: [[극방정식,polar_equation]] limaçon $r=b+a\cos\theta$ ovals of Cassini [[평면,plane]]상의 곡선: 평면곡선(plane curve) 평면상에 있지 않은 곡선: 뒤틀린 곡선(twisted curve) ##(Kreyszig) [[TableOfContents]] = 관련 또는 주제 = 곡선 관련 개념, 혹은 곡선에 대한 주제들(topics) [[곡률,curvature]]: 휘어진 정도 // 먼저 접촉원(osculating circle)을 정의. [[점근선,asymptote]]은 (대개?항상?) [[직선,line]]이며 어떤 '''곡선'''이 여기에 갈수록 가까워지지만 닿지는 않는 그런 형태가 많던데... [[,torsion]] { '''비틀림, 꼬임''' kms torsion : https://www.kms.or.kr/mathdict/list.html?key=ename&keyword=torsion {[[Date(2023-12-17T23:37:32)]] "torsion : 비틀림(률), 꼬임(률)"} // 먼저 [[접촉평면,osculating_plane]]을 정의. .. tbw Rel [[반지름,radius]] .... https://mathworld.wolfram.com/RadiusofTorsion.html https://mathworld.wolfram.com/Torsion.html https://ko.wikipedia.org/wiki/곡선_비틀림 https://en.wikipedia.org/wiki/Torsion_of_a_curve } [[경로,path]]: 실수 [[구간,interval]]을 [[평면,plane]]이나 [[공간,space]]으로 매핑하는 함수? CHK '''곡선,curve'''에 시점, 종점을 잡고 방향을 부여한 것?? [[궤적,trajectory]] { [[위상평면,phase_plane]]을 식([[매개변수방정식,parametric_equation]])의 '''궤적'''들로 채우면, 식의 위상투영(phase portrait)을 얻는다. 궤적과 비슷한 표현은 [[궤도,orbit]], [[경로,path]]. (Kreyszig 10e 4.3 위상평면법) ## Kreyszig 10e 4.3 - 번역판 1권 p175 mklink [[자취,trace]]도 비슷한 말로 보이는데, 같은가? 차이가 있다면? Google:trajectory+vs+trace } [[Frenet_frame,프레네_틀]] - [[Frenet-Serret,TNB]]에 작성중 { '''TNB frame'''이랑 동의어인가? chk TNB_vector [[WpKo:프레네-세레_공식]] [[WpEn:Frenet–Serret_formulas]] 이런 것들이 다 같은 말을 하고 있는듯 chk 대충, 3D에서 곡률([[곡률,curvature]], 얼마나 curvy)뿐만 아니라 (얼마나 구불구불한지 twisty)를 측정하는 그런 개념? from https://youtu.be/gsUgDpGWk-M 5분쯤 여기서 torsion 개념이 나온다. { torsion을 kms에서 검색하면 "비틀림(률), 꼬임(률)" Definition: torsion τ $-\frac{d\vec{B}}{ds}\cdot\vec{N}=\tau$ τ = 0 : no twisting κ(curvature) shows how points "curve" in the plane defined by $\vec{T}\text{ & }\vec{N}$ τ(torsion) shows how that plane "twists" 이것만 적었고 나머지는 https://youtu.be/VIqA8U9ozIA (Bazett) 참조. 다시볼것. } 공간곡선을 다룰 때 세 벡터 T, N, B를 사용한 해석법 AKA 프레네-세레 틀, Frenet-Serret frame, TNB_frame [[단위접벡터,unit_tangent_vector]] $\vec{T}=\frac{d\vec{r}}{ds}$ [[단위법선벡터,unit_normal_vector]] $\vec{N}=\frac1{\kappa}\frac{d\vec{T}}{ds}$ 단위이중법선벡터 unit_binormal_vector $\vec{B}=\vec{T}\times\vec{N}$ from https://suhak.tistory.com/922 [[벡터,vector]]페이지에서 "binormal vector" 검색하면 관련 짧은 내용 있음. 저기선 종법선벡터로 번역. kms 찾아보니 저 단어는 "이중수직벡터", "종법선벡터" 두 결과가 나옴. 즉 통일 안됨. Up: [[미분기하,differential_geometry]] } = 비교 = [[직선,line]] 직선도 곡률이 ()인 곡선인가? 아님 반대 개념인가? 직선은 곡선의 일종으로, 곡률이 0인 곡선으로 보는 게 타당한 듯. 곡선의 [[차원,dimension]]을 확장하면, [[곡면,surface]] = 곡선의 접선(tangent) = 곡선 C 위에 정점 P와 이 곡선을 따라 P로 접근하는 점 Q가 있다면, 점 P에서의 '''접선'''은, P와 Q를 지나는 [[직선,line]] L $(\overleftrightarrow{PQ})$ 의 극한으로 정의. 곡선 C가 $\vec{r}(t)$ 로 표현되고 점 $P,Q$ 가 각각 $t,t+\Delta t$ 에 대응된다면 다음 벡터는 $P,Q$ 를 잇는 직선 L과 같은 방향이다. $\frac{1}{\Delta t}[\vec{r}(t+\Delta t)-\vec{r}(t)]$ $\vec{r}(t)$ 가 미분가능하다고 가정. 그 극한은 도함수 $\vec{r}{}'(t)=\lim_{\Delta t\to 0}\frac{\vec{r}(t+\Delta t)-\vec{r}(t)}{\Delta t}$ 가 된다. 만약 $\vec{r}{}'(t)\ne 0$ 이면 $\vec{r}{}'(t)$ 를 P에서 C의 접선벡터(see [[접벡터,tangent_vector]])라고 한다. 여기에 대응하는 [[단위벡터,unit_vector]] $\vec{u}=\frac{1}{|\vec{r}{}'|}\vec{r}{}'$ 를 [[단위접벡터,unit_tangent_vector]]라 한다. (Kreyszig 10e 9.5) 관련: [[접선,tangent_line]] [[탄젠트,tangent]] tbw: [[곡면,surface]]의 [[접평면,tangent_plane]]과 비교. = 곡선의_길이 curve length ... = arclength arc_length = 곡선 $y=f(x)\qquad(a\le x\le b)$ 의 [[길이,length]]: $\int_a^b\sqrt{1+\left(f'(x)\right)^2}dx=\int_a^b\sqrt{1+\left({dy\over dx}\right)^2}dx$ 관련: [[정적분,definite_integral]] ---- 구간 $[a,b]$ 에서 $f'$ 이 연속이면, $a\le x\le b$ 에서 곡선 $y=f(x)$ 의 길이는 $\int_a^b\sqrt{1+(f'(x))^2}dx$ ## from 서울대기초수학학습교재 p279 ---- 곡선 C가 $a\le t\le b$ 에 대해 $x=f(t),\,y=g(t)$ 로 매개화되었고 $f(t)$ 와 $g(t)$ 는 연속인 미분계수를 갖는다고 하면 곡선 C의 길이는 $\int_a^b\sqrt{(f'(t))^2+(g'(t))^2}dt$ ## from 이춘호 공업수학 p82 ---- 곡선의 길이 (Ivan) $y=f(x)$ 의 $x\in[a,b]$ 사이에서 곡선의 길이는? 곡선의 각 조각은 피타고라스정리에 의해 $d\ell=\sqrt{dx^2+dy^2}$ 이고 곡선의 길이는 $\ell=\int d\ell=\int\sqrt{dx^2+dy^2}$ $=\int\sqrt{\left(1+\frac{dy^2}{dx^2}\right)dx^2}$ $=\int_a^b\sqrt{1+(f'(x))^2}dx$ ## (Ivan Savov) ---- 곡선 $C:\vec{r}(t)=(x(t),\ y(t),\ z(t))$ 에서 구간 $a\le t\le b$ 에 대응하는 곡선의 길이를 구해 보자. 구간 $[a,\ b]$ 의 분할 $a=t_0