'''commutative property, commutative law, commutativity'''

이항 연산자로 [[이항연산,binary_operation]]을 할 때, 순서를 바꾸어도 결과가 같은 성질.

집합 $S$ 에 연산 $\circ$ 가 정의되어 있을 때, $\forall a, b \in S$ 에 대해
 $a \circ b = b \circ a$
가 성립하면 '''교환법칙이 성립한다'''고 한다. // -> 가환 commutative adj.


'''commutative property 교환성질, commutative law 교환법칙, commutativity 교환성''' 이 가장 일대일에 가까운 번역일 듯.

''commutativity : 영어 표현을 보면 '''교환성''' 대신 '''가환성'''이라고 번역해도 무방한 그런 거?'' - [[commutative_diagram]]을 wk에선 WpKo:가환_그림 으로 번역했던데.
{
WpSp:Commutative_diagram
WpKo:가환_그림
}

[[Date(2023-12-17T11:17:06)]] KmsE:commutativity 에서도 둘 다 제시. [[교환성,commutativity]] [[가환성,commutativity]] 중 pagename TBD (Up: [[성질,property]])

수학적 [[대상,object]]이 이 성질을 만족하면 가환-(commutative-) prefix가 붙는다.
특히 [[군,group]]의 경우 [[가환군,commutative_group]]을 [[아벨_군,abelian_group]]이라고도 한다.

[[TableOfContents]]

= 교환법칙이 성립하는 예 =
[[복소수,complex_number]]의 [[덧셈,addition]], [[곱셈,multiplication]]
[[벡터,vector]]의 [[스칼라곱,scalar_product,dot_product]]과 [[내적,inner_product]]
[[집합,set]]의 [[교집합,intersection]] ∩ [[합집합,union]] ∪
[[행렬,matrix]]의 [[아다마르_곱,Hadamard_product]] (행렬의 원소별 곱이므로 당연히?)

교환법칙을 만족하면 [[가환,commutative]]
결합한 결과가 결합하는 [[순서,order]]와 무관하면 [[가환,commutative]]이며 '''교환법칙'''이 성립한다고 함.

''... 페이지를 저렇게 형용사형으로 따로 만들기보다는, 이 pagename을 변경하거나 필요하면 둘로 나눌...? '가환성 commutativity' and '교환법칙 commutative_law' 이게 사실 번역이 더 정확함.''

Ex.
[[가환환,commutative_ring]] - [[환,ring]]
[[가환군,commutative_group]] or [[아벨_군,abelian_group]] - curr goto [[군,group#s-2.4]]

= 교환법칙이 성립하지 않는 예 =
'''''QQQ 비가환의 번역? anti-인가 non-인가?'''''
''주의: 보통 비가환이면 noncommutative 같은데...kms에선 anticommutative가 비가환. 저 아래쪽 참조.''
 ''혹시 같은거?''

[[,anticommutativity]]
tmp ref. [[WpEn:Anticommutative_property]]
 "anticommutativity is a specific property of some non-commutative operations."
 그럼 non-comm. 중의 일부가 anti-comm. ?

''[[사원수,quaternion]] 보니 <비가환,noncommutative 반가환,anticommutative?>이라고 적혀있는게 있는데 source는 모르겠네''

비가환,noncommutative
비가환 non-commutative
''한편으로는 wpko에서 noncommutative=비가환.''
ex. 이렇게 interwiki 연결되어있음
WpKo:비가환_원환면 WpEn:Noncommutative_torus
[[noncommutative_geometry]]
{
[[WpKo:분류:비가환_기하학]] -> [[WpEn:Category:Noncommutative_geometry]]
WpKo:비가환_기하학 -> WpEn:Noncommutative_geometry

https://everything2.com/title/Noncommutative+Geometry
 QM에서 영향을 받았다고...
}

https://planetmath.org/noncommutativestructure

[[비가환군,]] // noncommutative_group or non-commutative_group ? 둘중에 TBD
[[https://terms.naver.com/entry.naver?docId=5668992&cid=60207&categoryId=60207 수학백과: 비가환군]]
{
[[가환군,]]이 아닌 군.
AKA '''비아벨군'''

[[군,group]]
[[교환자,commutator]] 언급
}

[[비가환환,]] // noncommutative_ring or non-commutative_ring ?? 둘중에 TBD
{
noncommutative ring 

환 R의 곱셈 연산이 교환법칙을 만족하지 않을 때 '''비가환환'''이라 함.
[[https://terms.naver.com/entry.naver?docId=5669108&cid=60207&categoryId=60207 수학백과: 비가환환]]
 여기서 [[나눗셈환,division_ring]] 의체 비가환체 skew_field 언급.

mkl [[skew_field]] = [[division_ring]]

Ggl:"noncommutative ring"
}

//이하 원래 있던 내용
[[뺄셈,subtraction]]
[[나눗셈,division]]
[[행렬의_곱셈]] matrix_multiplication
[[함수의_합성]] composition
[[벡터,vector]]의 [[벡터곱,vector_product,cross_product]]과 [[외적,outer_product]]
[[사원수,quaternion]]의 곱셈

== anticommutativity ==
AKA anticommutative property
adj. anticommutative

대한수학회 번역은 '비교환성, 비가환성'
anticommutative law = 비교환법칙

반교환법칙? 이란 표현도 봤는데.

A­×B=-B×A (외적)
 CHK

= subcommutative =
https://planetmath.org/subcommutative

= 기타 =
[[교환자,commutator]]
{
대충, 군론과 환론의 교환자가 있고 둘 다 교환법칙 실패여부 측정??관련이고, (가환이면 0이 나오고 비가환이면 nonzero가 나오는?) 둘이 정의가 약간 다르고, 환론의 교환자는 양자역학에서 쓰이는 듯. 환론의 교환자는 anti-commutator도 있는 듯. chk

// Libre:
이항연산자([[이항연산,binary_operation]] [[연산자,operator]])가 [[교환법칙,commutativity]]이 성립하는지에 대해 확인하는 연산자.
[[군,group]]에서와 [[환,ring]]에서의 정의가 다르다.

// wpko:
두 원소 사이의 교환 법칙의 실패를 측정하는 이항 연산.

mklink:
[[교환자부분군,commutator_subgroup]] /// mv to local
{
이름에서
[[교환자,commutator]]
[[부분군,subgroup]]

[[https://terms.naver.com/entry.naver?docId=4125171&cid=60207&categoryId=60207 수학백과: 교환자부분군]]
https://ncatlab.org/nlab/show/commutator+subgroup
https://mathworld.wolfram.com/CommutatorSubgroup.html
[[WpEn:Commutator_subgroup]] - AKA '''derived_subgroup'''
[[WpKo:교환자_부분군]]
 "[[교환자,commutator]]들로 생성되는 [[부분군,subgroup]]"
https://encyclopediaofmath.org/wiki/Commutator_subgroup
}

Twins:
https://en.citizendium.org/wiki/Commutator
[[Libre:교환자]]
[[WpKo:교환자]](군론) [[WpKo:교환자_(환론)]]
[[WpEn:Commutator]] (군론과 환론을 같은 페이지에서 section을 나누어 설명)
[[Namu:교환자]]
https://encyclopediaofmath.org/wiki/Commutator
https://mathworld.wolfram.com/Commutator.html
https://ncatlab.org/nlab/show/commutator
''and...''
https://ncatlab.org/nlab/show/group+commutator

[[anticommutator]] or [[anti-commutator]]
https://mathworld.wolfram.com/Anticommutator.html
https://ncatlab.org/nlab/show/anti-commutator
}

[[이항연산,binary_operation]]에 대해 '''교환법칙'''이 성립하는 [[군,group]]은 [[가환군,commutative_group]].

(물리 > QM > [[불확정성원리,uncertainty_principle]])
운동량 연산자가 행렬로 표현될 수 있기 때문에 운동량과 위치의 '''교환'''불가성이 설명 가능.
matrix_multiplication에서 '''교환법칙'''이 성립하지 않는 것(AB≠BA)과 마찬가지 원리.[* https://moe34.tistory.com/149]
$\hat{x}\hat{p}-\hat{p}\hat{x}=0$ 이 아니고,
$\hat{x}\hat{p}-\hat{p}\hat{x}=i\hbar I$ 이다.[* https://moe34.tistory.com/151]

MKLINK
[[가환대수,commutative_algebra]]
[[덧셈,addition]]의 '''교환법칙'''은 [[재배열,rearrangement]]관련? chk

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https://encyclopediaofmath.org/wiki/Commutativity
https://planetmath.org/commutative
[[Libre:교환법칙]]
[[WpEn:Commutative_property]]
https://everything2.com/title/Commutativity

https://mathworld.wolfram.com/Commutative.html

Up: [[산술,arithmetic]]