군,group

다음 네 성질,property을 갖는 집합,set과 이항연산,binary_operation이 있을 경우??
closure
associativity
identity
inverse
A group is a 모노이드,monoid each of whose elements is invertible.
(MathWorld)

군이 되려면
  1. 연산에 대해 닫혀 있다
  2. 결합법칙 성립
  3. 항등원 존재
  4. 역원 존재

이 조건 중에 일부만 만족하는 반군,semigroup, 모노이드,monoid가 있음.
{
https://encyclopediaofmath.org/wiki/Semi-group
}
조건이 추가된 가환군(아래)이 있음.

chk: 군은 역원을 갖는 모노이드?


TBW
대칭성,symmetry과 관련있음. 관계 서술.
잉여류,coset
{
/// local txt에 작성중
https://artofproblemsolving.com/wiki/index.php/Coset
}

Sub:
직교군,orthogonal_group
WtEn:orthogonal_group
general_orthogonal_group w GO
general orthogonal group
일반직교군?
https://mathworld.wolfram.com/GeneralOrthogonalGroup.html
// general orthogonal group ... Ggl:general orthogonal group Bing:general orthogonal group
special_orthogonal_group SO
special orthogonal group
특수직교군? 특별직교군?
https://mathworld.wolfram.com/SpecialOrthogonalGroup.html
WpEn:Special_orthogonal_group
Sub: 회전군,rotation_group SO(3)
// special orthogonal group ... Ggl:special orthogonal group Bing:special orthogonal group
사영직교군,projective_orthogonal_group w PO
WpEn:Projective_orthogonal_group
stable_orthogonal_group w
MKL 직교행렬,orthogonal_matrix
https://mathworld.wolfram.com/OrthogonalGroup.html
Up: 직교성,orthogonality 군,group

unitary_group
unitary group
WtEn:unitary_group
MKL 유니터리행렬,unitary_matrix
special_unitary_group
https://mathworld.wolfram.com/SpecialUnitaryGroup.html
// unitary group ... Ggl:unitary group NN:unitary group Bing:unitary group

..........CLEANUPBELOW............
자명군,trivial_group
원소,element가 하나 뿐.
tmp bmks ko 가장 작은 군 https://blog.naver.com/birth1104/220289397604 - 가장 작은 군은 자명군이며 공집합,empty_set이 될 수가 없다.
WpKo:자명군
WpEn:Trivial_group - aka zero group - rel. 영,zero
https://mathworld.wolfram.com/TrivialGroup.html
https://ncatlab.org/nlab/show/trivial group
단순군,simple_group
유한단순군,finite_simple_group - 이상 두개 writing
monster_group or monster_simple_group
https://mathworld.wolfram.com/MonsterGroup.html
WpEn:Monster_group
WpKo:괴물군_(수학)
https://ncatlab.org/nlab/show/Monster group
https://groupprops.subwiki.org/wiki/Monster_group
https://proofwiki.org/wiki/Definition:Monster_Group
몫군,quotient_group(writing)
유한군,finite_group
가해군,solvable_group - writing
초가해군,supersolvable_group

위수,order
군에 속한 원소의 개수....뿐만이 아니라 두가지 뜻이 있다고
[https]수학백과: 위수
WpEn:Order_(group_theory)
WpKo:위수_(수학) <- aka '차수'라고도 언급
https://encyclopediaofmath.org/wiki/Order (군론 말고도 다양한 뜻 설명 도중에 있음)
https://ncatlab.org/nlab/show/order of a group
https://mathworld.wolfram.com/GroupOrder.html

중심화부분군, "centralizer "???
{
[https]수학백과: 중심화부분군
부분군,subgroup
}
중심,center - 군의 중심. [https]수학백과: 군의 중심

자기동형군,automorphism_group
{
자기동형사상,automorphism
[https]수학백과: 자기동형군
WpEn:Automorphism_group
}
치환군,permutation_group - writing
교대군,alternating_group - writing
자유군,free_group - 작성중
free_Abelian_group free_abelian_group
자유가환군 자유_아벨_군
// free_commutative_group 이라는 말은 안 쓰이나? .. Google:free_commutative_group
[https]수학백과: 자유가환군
https://mathworld.wolfram.com/FreeAbelianGroup.html
WpKo:자유_아벨_군
WpEn:Free_abelian_group
https://encyclopediaofmath.org/wiki/Free_Abelian_group
https://ncatlab.org/nlab/show/free abelian group
tmp: Google:자유아벨군 Google:자유가환군
덧셈군, 가법군, additive_group
아벨군의 이항 연산이 덧셈 연산인 군[1]
WpKo:가법군 { 덧셈에 대하여 닫혀 있고, 결합 법칙과 교환 법칙이 성립하는 군 }
WpEn:Additive_group
mklink: 가법성,additivity
곱셈군,multiplicative_group - 작성중
= 승법군
WpEn:Multiplicative_group
https://mathworld.wolfram.com/MultiplicativeGroup.html
https://everything2.com/title/multiplicative group
mklink 곱셈,multiplication
리_군,Lie_group - 작성중
심플렉틱군,symplectic_group
https://mathworld.wolfram.com/SymplecticGroup.html
https://encyclopediaofmath.org/wiki/Symplectic_group
선형군,linear_group - 작성중
special_linear_group SL - 작성중
https://mathworld.wolfram.com/SpecialLinearGroup.html
산재군,sporadic_group - 작성중
WpKo:산재군
WpEn:Sporadic_group
https://mathworld.wolfram.com/SporadicGroup.html
https://encyclopediaofmath.org/wiki/Sporadic_simple_group
https://ncatlab.org/nlab/show/sporadic finite simple group
기본군,fundamental_group - 작성중
호모토피군,homotopy_group - 작성중
Lorentz_group - writing
https://mathworld.wolfram.com/LorentzGroup.html
dihedral_group - writing

// addhere

군연산,group_operation 별도페이지필요?
군표현,group_representation
https://mathworld.wolfram.com/GroupRepresentation.html
WpEn:Group_representation
WpKo:군의_표현
https://everything2.com/title/representations of groups
https://planetmath.org/grouprepresentation
Up: 표현,representation



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1. 정의

연산,operation *를 가지고 있는 공집합이 아닌 집합 G에 대해, 다음 성질
전제 성질 성질의 명칭
G1 ∀a,b,c∈G (a*b)*c=(a*b)*c 결합법칙,associativity
G2 ∀a∈G ∃e∈G such that e*a=a*e=a 항등원,identity_element e의 존재
G3 ∀a∈G ∃a'∈G such that a'*a=a*a'=e 역원,inverse_element a'의 존재
G4 ∀a,b∈G a*b=b*a 교환법칙,commutativity
중에서 G1~G3을 만족하면 군이라고 한다.
군이 G4를 만족하면 가환군이고,
가환군이 아닌 군은 비가환군이다.

(고급수학.pdf p24)

◆를 집합 G에 대한 이항연산,binary_operation이라고 하자.
(이것은 ∀x,y∈G ⇒ x◆y∈G이고, x◆y는 오직 하나로 결정된다는 뜻.)
G가 연산 ◆과 함께 다음 성질을 만족하면, G 또는 (G, ◆)를 군이라고 한다.
  1. x,y,z∈G ⇒ x◆(y◆z)=(x◆y)◆z
    즉 ◆에 대한 결합법칙이 성립.
  2. 다음 성질을 만족하는 e∈G가 존재한다.
    ∀x∈G, e◆x=x◆e=x
    여기서 e는 항등원이다.
  3. 각각의 x∈G에 대해 다음 성질을 만족하는 x-1∈G가 존재한다.
    x◆x-1=x-1◆x=e
    즉 x는 역원을 갖는다.
  4. 그리고 만일 다음이 성립하면 G는 가환군 또는 아벨군이라 부른다.
    x,y∈G ⇒ x◆y=y◆x
    (◆에 대한 교환법칙이 성립한다.)

예
(ℤ, +), (ℚ, +)는 군이다.
(ℕ, +)는 군이 아니다. (∵ 덧셈에 대한 역원이 없음)

(10개의 특강으로 끝내는 수학의 기본 원리 p212)

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2. 여러 군

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2.1. 대칭군


WpKo:대칭군 Namu:대칭군 에 의하면 한국어 '대칭군'은 두가지
  1. symmetric group (군론)
  2. symmetry group (기하학)
이렇다

pagename 영어로 구분되긴 하지만... 각각 대칭적군 대칭성군 이러면 어떨까

// 이건 기하학의 군?? chk
// from https://horizon.kias.re.kr/17080/ 위에서 30% 쯤 그림 바로 뒤
{
어떤 집합 $X$ 에 작용하는 대칭군 $G$ 란, 집합 $X$ 에서 자신으로 가는 일대일대응(전단사,bijection, 전단사함수,bijective_function)들의 집합인데
  1. 두 원소를 합성,composition하면 다시 $G$ 의 원소가 되고,
  2. $G$ 의 원소들의 역함수,inverse_function들이 모두 $G$ 에 포함되고,
  3. 항등함수,identity_function가 $G$ 에 포함되는
것을 말한다.

예를 들어 평면,plane $\mathbb{R}^2$ 에서 원점,origin을 중심,center으로 하는 회전변환-writing 들의 모임 $U(1)$ 은 평면의 대칭군이다.

$X$ 에 작용하는 대칭군 $G$ 가 있을 때 $X$ 에서 정의된 함수
$\mu:X\to T$
가 불변이라 함은 (불변이란건 constant? 불변성,invariance? 불변량,invariant?)
$\mu(g\cdot x)=\mu(x),\;\;\;\forall g\in G,\forall x\in X$
가 성립함을 말한다. 여기서 $g\cdot x=g(x)$ 로 썼다.

주어진 한 점 $x$ 의 궤도,orbit란 $g\cdot x$ 들의 집합
$G\cdot x=\left\lbrace g\cdot x : g\in G \right\rbrace$
를 말한다. 예를 들어 $U(1)$ 의 궤도는 원점을 중심으로 하는 원들이다. // 동심원 concentric_circles
}

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2.1.1. 대칭군 symmetric group

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2.1.2. 대칭군 symmetry group


2023-04-27 이것도 대칭군이라 하면 한국어로 구별이 안 되는데... 대칭성군이라 하면 어떨지?
{
대칭성군,symmetry_group



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2.2. 부분군 subgroup


// (이하 순환-가환-멱영-가해 군은 먼저 것이 다음 것에 포함되며 같지 않음.)
- 순환군 ⊊ 가환군 ⊊ 멱영군 ⊊ 가해군 ? chk

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2.3. 순환군 cyclic group

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2.4. 가환군 commutative group, 아벨 군 abelian group

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2.5. 멱영군 nilpotent group

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2.6. 가해군 solvable group

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3. 예

$\mathbb{Z,Q,R,C}$ 는 더하기 연산에 대한 군이고...etc.

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4. Links ko



정석(6차 수I p22)
집합,set G에 연산 ⚬가 정의되어 있어 ⑴~⑷ 조건을 만족시키면 G는 연산 ⚬에 대한 군, ⑴~⑸ 조건을 만족시키면 G는 연산 ⚬에 대한 가환군.
⑴ 연산에 대해 닫혀 있음
a ∈ G, b ∈ G 이면 a ⚬ b ∈ G
⑵ 결합법칙 성립
∀ a, b, c ∈ G,
(a ⚬ b) ⚬ c = a ⚬ (b ⚬ c)
⑶ 항등원 존재
∀ a ∈ G,
∃ e ∈ G such that
a ⚬ e = e ⚬ a = a
(e: 연산 ⚬에 대한 항등원)
⑷ 역원 존재
∀ a ∈ G,
∃ x ∈ G such that
a ⚬ x = x ⚬ a = e
(x: ⚬에 대한 a의 역원, e: 항등원)
⑸ 교환법칙 성립
∀ a, b ∈ G,
a ⚬ b = b ⚬ a

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5. Links en

Groupprops, The Group Properties Wiki (beta)
https://groupprops.subwiki.org/wiki/Main_Page

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6. Etc

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