극좌표,polar_coordinate

plane polar coordinate

Reference point는 pole이라고 함. (Cartesian coordinate system의 origin과 유사한)

(r, θ) 또는 r∠θ
r: 거리,distance, radial distance, radius
θ: 각,angle, 편각,argument, 방위각(azimuth)

극좌표 상의 그래프는 r=f(θ) or F(r,θ)=0 꼴.
θ=g(r) 꼴로 하면 어떤 문제가?

See 극좌표계,polar_coordinate_system




1. 직교좌표와의 변환

1.1. 직교좌표 → 극좌표

x와 y가 주어졌을 때 r과 θ를 구하기

(x, y)인 점은, 거리 r이 피타고라스 정리에 의해
$r^2=x^2+y^2$
$r=\sqrt{x^2+y^2}$
Q: we choose the positive square root of $x^2+y^2$ for r if x>0 and the negative square root otherwise. 라는데 이유?
편각,argument θ는
$\tan\theta=\frac{y}{x}$
$\theta=\tan^{-1}\frac{y}{x}$
이 때 θ가 무수히 많으므로, θ의 범위를
$0\le\theta<2\pi$ 또는 $-\pi<\theta\le\pi$
등으로 제한하면 θ가 유일하게 결정됨.


자세한 조건 등 빼고 간단히 요약하면 직각좌표
$(x,y)$
는 극좌표
$(r,\theta)=\left(\sqrt{x^2+y^2}, \tan^{-1}\frac{y}{x} \right)$

1.2. 극좌표 → 직교좌표

(r, θ)가 주어졌을 때 (x, y) 구하기

$x=r\cos\theta$
$y=r\sin\theta$

2. 성질

다음 둘은 숫자가 달라도 같은 좌표임 (직교좌표계와 다른 점)
$(r,\,\theta)=(r,\,2\pi+\theta)$
따라서 극좌표는 정규화,normalization가 가능... CHK

$\theta$부호,sign
시계반대방향 : +
시계방향 : −

$r$부호,sign
rel. 원점대칭?
$r>0$ 일 때 // ....이 조건 없어도 되지 않나?
$(-r,\;\theta)=(r,\;\theta+\pi)$


Twins:
https://everything2.com/title/polar coordinates
[https]수학백과: 극좌표 too easy..not helpful
{
conic_section 을 초점,focus을 극점으로 하여 극좌표로 나타내면 이런 꼴.
$r=\frac{p}{1+\epsilon \cos\theta}$
}
[https]두산백과: 극좌표