극한,limit

$\lim_{x\to c}f(x)=L$
의 뜻:
$\forall\epsilon>0,\; \exists\delta>0$ such that
if $|x-c|<\delta$ and $x\neq c$ then $|f(x)-L|<\epsilon$

극한값은 함수값이나 함수값의 존재 여부와는 무관.
극한이 존재하려면 좌극한과 우극한이 같아야 함.

즉 극한값의 존재 여부(존재성,existence)를 따질 때, 극한값이 없다는 것을 보이려면 좌극한과 우극한이 다름을 보이면 됨. - 또는 물론 좌극한이 없다거나, ...etc. - 모두 찾아서 정리.
극한값이 없는 다른 경우들 TBW
cmp 함수값 / tbw 함수값과 극한값이 다른, ...etc. 극한값 문단 mk? Ndict:극한값 Bing:극한값 Ggl:극한값 Srch:극한값
TBD 함수값,function_value과 비교 용도로 극한값 page분리할필요 있는지? page 극한값,limit_value? 영어로 맞는 표현? 글쎄?? 필요없을듯하긴 한데.. 극한,limit 값,value

관련: 점근선,asymptote(curr go 직선,line)


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1. One-sided limits

극한이 성립하려면 좌극한과 우극한이 같아야 한다.
$\lim_{x\to a}f(x)=L$
if and only if
$\lim_{x\to a^-}f(x)=L\textrm{ and }\lim_{x\to a^+}f(x)=L$

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1.1. 좌극한 left-hand limit

$\lim_{x\to a^{-}}f(x)=L$
iff
$\forall\epsilon>0,\;\exists\delta>0$
such that
$0<a-x<\delta \;\Rightarrow\; |f(x)-L|<\epsilon$
$a-\delta<x<a \;\Rightarrow\; |f(x)-L|<\epsilon$
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1.2. 우극한 right-hand limit

$\lim_{x\to a^{+}}f(x)=L$
iff
$\forall\epsilon>0,\;\exists\delta>0$
such that
$0<x-a<\delta \;\Rightarrow\; |f(x)-L|<\epsilon$
$a<x<a+\delta \;\Rightarrow\; |f(x)-L|<\epsilon$
To say
$\lim_{x\to c^+}f(x)=L$
means that $\forall\epsilon>0,\;\exists\delta>0$ such that
$0<x-c<\delta\;\Rightarrow\;|f(x)-L|<\epsilon$


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2. Limit laws

$c$ 가 상수이고, 극한
$\lim_{x\to a}f(x)\textrm{ and }\lim_{x\to a}g(x)$
이 존재하면,
  1. $\lim_{x\to a}(f(x) + g(x)) = \lim_{x\to a}f(x) + \lim_{x\to a}g(x)$
  2. $\lim_{x\to a}(f(x) - g(x)) = \lim_{x\to a}f(x) - \lim_{x\to a}g(x)$
  3. $\lim_{x\to a}c f(x) = c \lim_{x\to a}f(x)$
  4. $\lim_{x\to a}(f(x) \cdot g(x)) = \lim_{x\to a}f(x) \cdot \lim_{x\to a}g(x)$
  5. $\lim_{x\to a}\frac{f(x)}{g(x)}=\frac{\lim_{x\to a}f(x)}{\lim_{x\to a}g(x)}\textrm{ if }\lim_{x\to a}g(x)\ne 0$
4번 (product law)를 반복해서 사용하면 다음 power law를 이끌어 낼 수 있다. (g(x)=f(x)로 가정)
  1. $\lim_{x\to a}\left(f(x)\right)^n=\left[\lim_{x\to a}f(x)\right]^n$
    단 n은 양의 정수.

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3. 무한대,infinity관련 극한

이건 어떻게 보면 매우 오래된(고대 그리스) 개념인데, 미적분학의 역사의 극 초반에 언급되는 내용. method of exhaustion.
어떤 원,circle 안에 들어가는 n각형(다각형,polygon)의 넓이,area가 $A(n)$ 이면
$\lim_{n\to\infty}A(n)=$ 원의 면적
또는
$A=\lim_{n\to\infty}A_n$

극한에 도달하지 못했다면 근사,approximation와 관련.
$f$ is defined on open interval.

$\lim_{x\to a}f(x)=\infty$
iff
$\forall M>0,\;\exists\delta>0$
such that
$0<|x-a|<\delta \;\Rightarrow\; f(x)>M$

$\lim_{x\to a}f(x)=-\infty$
iff
$\forall N<0,\;\exists\delta>0$
such that
$0<|x-a|<\delta \;\Rightarrow\; f(x)<N$
from Stewart

Let $f$ be a function defined on some open 구간,interval that contains the number $a$ , except possibly at $a$ itself. Then
$\lim_{x\to a}f(x)=\infty$
means that for every positive number $M$ there is a positive number $\delta$ such that
if $0<|x-a|<\delta$ then $f(x)>M$

마찬가지로
$\lim_{x\to a}f(x)=-\infty$
의 뜻은, $\forall N<0,\; \exists \delta>0$ such that
$0<|x-a|<\delta \Rightarrow f(x)<N$

Let $f$ be a function defined on some interval $(a,\infty).$ Then
$\lim_{x\to\infty}f(x)=\infty$
means that for every positive number $M$ there is a corresponding positive number $N$ such that
if $x>N$ then $f(x)>M$



Def.

$\lim_{n\to\infty}a_n=\infty$
⇔
$\forall M>0,\; \exists N>0$ such that $n>N\Rightarrow a_n>M$


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4. Limits At Infinity

Fact:
1. $r$ 이 양의 유리수,rational_number이고 c가 임의의 실수이면,
$\lim_{x\to\infty}\frac{c}{x^r}=0$
2. $r$ 이 양의 유리수,rational_number이고 c가 임의의 실수이고 $x^r$ 이 $x<0$ 에서 정의되었으면,
$\lim_{x\to-\infty}\frac{c}{x^r}=0$

from https://tutorial.math.lamar.edu/Classes/CalcI/LimitsAtInfinityI.aspx

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5. 수열의 극한

(보통 함수,function의 극한을 얘기하는데 - Libre:함수의_극한) 여기선 수열,sequence의 극한을... (Q1. 함수 수열 말고 다른 극한이 있는지? Q2. 이 둘을 어떻게 체계적으로 re-write할 것인지)
A1. 위상수학,topology(curr 위상,topology), 범주론,category_theory(curr 범주,category) 등에서 극한을 더 추상화

The limit of a sequence $\{a_n\}$ is $L,$ written
$\lim_{n\to\infty}a_n=L$
if, for each $e > 0,$ there is an integer $N$ such that $| L - a_n | < e$ whenever $n\ge N$ .

수열의 극한이 존재하면 convergent; otherwise, divergent.
// from http://archives.math.utk.edu/visual.calculus/6/sequences.3/index.html
정의

수열 $\{a_n\}$ 이 $\alpha$ 에 수렴한다 ⇔
$\forall \epsilon>0,\,\exists N\in\mathbb{N}$ such that $n>N\Rightarrow |a_n-\alpha|<\epsilon$

수열 {an}이 α에 수렴한다는 것은
임의의 양수 ε에 대해 자연수 N이 존재하여
n>N일 때 마다 |an-α|<ε이 성립하는 것.


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6. 삼각함수 관련 극한들


$y=\sin(1/x)$ 는 $x\to 0$ 일 때 좌극한도 우극한도 없다.

$y=\frac{sin x}{x}:$
$\lim_{x\to 0}\frac{\sin x}{x}=1$
샌드위치 정리로 증명.

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6.1. special cosine limit

$\lim_{x\to0}\frac{\cos x-1}{x}=0$
pf. Thomas 13e 번역판 p32
반각공식 $\cos h=1-2\sin^2(h/2)$ 를 이용.
$\lim_{h\to 0}\frac{cos h-1}{h}$
$=\lim_{h\to 0}\frac{-2\sin^2(h/2)}{h}$
$\theta=h/2$ 라고 하면
$=-\lim_{\theta\to 0}\frac{\sin\theta}{\theta}\sin\theta$
$=-(1)(0)=0$

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7. 벡터함수의 극한

쉬움. 각 성분들의 극한으로 정의됨.
See 벡터함수,vector_function#s-3

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8. 관련 개념

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9. tmp bmks ko

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10. 기타, esp. in category_theory - 범주론의 limit

local txt의 ,limit 로 moved.

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11. limit의 성질: 선형.

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12. 영단어 limit의 다른 뜻

한계 한도 ...
한계,limit maybe

RR:극한(limit)
극한_EpsilonDeltaLimitDefinition
미적분,calculus
수열,sequence이 극한값을 가진다면 수렴한다(converge)고 하고 수렴하는(convergent) 수열이라고 한다.
수렴하지 않을 때는 발산하는(divergent) 수열이라고 말한다.
https://calculus.subwiki.org/wiki/Limit
https://everything2.com/title/limit
https://mathworld.wolfram.com/Limit.html