극한_EpsilonDeltaLimitDefinition

극한의 엄밀한 정의: ε-δ를 이용한
Formal definition of limits

식
$\lim_{x\to a}f(x)=L$
의 뜻은, (iff)
  • $e>0$ 이 주어졌을 때,
  • $d>0$ 이 존재한다. 어떤 $d$ 냐면, (such that)
  • $0<|x-a|<d$ 일 때 $|f(x)-L|<e$ 가 되는.

Up: 미적분,calculus 해석학,analysis

TODO
{
쓰이는 기호가
함수,function의 극한이 ε-δ epsilon-delta 이고
수열,sequence의 극한은 보통 ε-N epsilon-N ?

아님 특정 점으로 수렴,convergence하는 극한은 ε-δ, 무한대로 가는(발산,divergence?) 극한 관련되면 ε-N?
아주작은양수(실수) δ, 아주큰자연수 N 같은데...?

이 페이지는 극한,limit의 sub인 '함수의 극한'을 주제로 한 페이지로 이름을 변경하고 (적당한 pagename TBD)
수열의 극한을 다루는 별도 페이지를 만들까?
}




[edit]

1. Links

[edit]

2. 사전 지식

이것을 이해하기 위해 먼저 알아두면 좋은 지식은 a=b의 의미가 $\forall \epsilon > 0, |a-b|<\epsilon$ 와 같다는 것이다. [http]http://tendowork.tistory.com/1에서 잘 설명하고 있다.

a = b ⇔ ∀ε > 0, |a-b| < ε

a=b ⇔ ∀ε>0, |a-b|<ε

절대값,absolute_value과 부등식,inequality을 먼저 잘 다룰 수 있어야 한다.

ex.
$|x-a|<k$
$-k<x-a<k$
$a-k<x<a+k$
ex2. 참고로 $|x|>2 \Leftrightarrow x<-2,x>2$ 임을 미리 상기.
$|x-a|>k$
$x-a<-k,\;x-a>k$
$x<a-k,\;x>a+k$
ex3.
$\frac1{|2x-5|}>3\;\;(2x-5\ne 0)$
그런데 $a>b \Leftrightarrow \frac1a<\frac1b \;\; (a,b>0)$ 이므로
$|2x-5|<\frac13$
$-\frac13 < 2x-5 < \frac13$
$\frac{14}{3} < 2x < \frac{16}{3}$
$\frac73 < x < \frac83$

[edit]

3. 정의

limx→af(x) = L
임의의 실수 ϵ>0에 대해, 적당한 실수 δ>0 가 존재해서, 0<∣x−a∣<δ ⇒ ∣f(x)−L∣<ϵ 이다

$\lim_{x\to a}f(x)=L$
임의의 실수 $\epsilon>0$ 에 대해, 적당한 실수 $\delta>0$ 가 존재해서, $0 < \left| x - a \right| < \delta \Rightarrow \left| f \left( x \right) - L\right|< \epsilon$ 이다

δ는 ε에 영향을 받는 변수이다. δ = δ(ε)

f(a)가 반드시 정의될 필요는 없다. 따라서 0<|x-a|<δ 의 0< 부분이 있는 것.


먼저
$a,L$ : 상수
$\epsilon,\delta$ : 매우 작은 양수
$x$ : 변수
$g$ : 함수

* * *

"g(x)에서 x가 a에 가까이 가면, g(x)는 L에 가까이 간다"를 식으로 표현하면
$\lim_{x\to a}g(x)=L$
위 명제가 성립할 필요충분조건은
$\forall\epsilon>0$ 에 대해 어떤 수 $\delta>0$ 가 존재하여 다음을 만족한다.
$0<|x-a|<\delta$ 이면 $|g(x)-L|<\epsilon$ 이다.

x가 a로 가까이 가지만 결코 a와 같을 수 없다.
하지만 $g(x)=L$ 일 가능성은 배제하지 않는다.
실제로 이렇게 가정하면, 즉 $g$ 가 상수함수라면,
$|g(x)-L|=|L-L|=0<\epsilon$
이므로 $|g(x)-L|<\epsilon$ 은 항상 성립한다.
그럼 임의의 함수 $g$ 에 대해 성립함을 보이려면 무엇을 해야 하는가?

정의에 따라, 주어진 $\epsilon>0$ 에 대해 다음 명제를 만족하는 어떤 수 $\delta>0$ 를 만들어야 할 것이다.
$0<|x-a|<\delta$ 이면 $|g(x)-L|<\epsilon$ 이다.

그러므로,
ε>0은 미리 주어져 있고
δ>0 값은 만들어 내야만 한다.

x가 a로 충분히 가까이 (δ보다 작은 거리로) 갈 때, (a가 되지는 않음)
g(x)도 얼마든지 L에 가까이 (ε보다 작은 거리로) 갈 수 있음을 보여야만 한다.

L에 가까이 간다는 것 ε>0에 의해 측정됨 ε은 누군가로부터 주어짐
a에 가까이 간다는 것 δ>0에 의해 측정됨 δ는 우리가 만드는 것

(우리가 발견해야 할 값인) δ는
(우리에게 주어진 값인) ε에 따라 다른 값을 취할 수 있음을 이제는 예상할 수 있다.

"매우 작은 값인 ε"이, 일반적으로
"매우 작은 값인 δ"를 필요로 함을 예상할 수 있다.

만일 위 (극한의) 정의를 성립하는 단 하나의 δ>0 이 존재한다면,
이 정의를 성립하도록 하는 무수히 많은 값들이 존재한다.

예를 들어 (위 극한의 정의를 만족하는) δ를 발견했다고 가정하자.
그리고 δ1을 δ보다 작은 임의의 양수라고 하자. 다시 말해
0 < δ1 < δ
그러면 $0<|x-a|<\delta_1$ 일 때 $0<|x-a|<\delta$ 이다.
그러므로 $|g(x)-L|<\epsilon$ 이다. 따라서 δ1도 정의를 만족시킨다.
다시 말하면, δ는 선택의 폭이 넓다.
(예를 들어 δ1=δ/2 또는 δ/3 등등)

* * *

예: 다음 식 증명.
$\lim_{x\to 3}x^2=9$
정의에 따라, 주어진 $\epsilon>0$ 에 대해 다음을 만족하는 $\delta>0$ 가 있음을 증명하면 됨.
$0<|x-3|<\delta$ 이면 $|x^2-9|<\epsilon$ 이다.
(생각보다 간단하지 않고 길어져서 생략. 절대부등식과 min함수 필요.)

// from 10개의 특강...에서 요약

[edit]

4. 비유

내친구가 예전에 했던 적절한 비유인데 이게 존나 그럴싸함

입델을 하나의 게임처럼 생각하는거지

갑과 을이 게임을 하며 각각의 역할은 다음과 같아

갑 : 을에게 양수 ε(입실론) 값을 아무렇게나 던져줌
을 : 갑에게 받은 ε값을 가지고 다음 명제 만족하는 δ값을 아무거나 하나 찾아내서 갑에게 돌려줌
다음 명제 : 0<|x-a|<δ 이면 |f(x)-L|<ε이다

만약 을이 대답할 수 없는 ε값을 갑이 던져주면 갑의승리
갑이 무슨짓을해도 을이 수비할수있으면 을의승리

갑이 이기면 x->a에서 f(x)의 극한은 존재하지 않음
을이 이기면 x->a에서 f(x)의 극한은 L

물론 비유니까, 뭐 갑이 모든 양의실수를 다 말할 수 없네 어쩌네 하는 태클은 사양




[edit]

5. 좌극한의 정의, Definition of Left-Hand Limit

$\lim_{x\to a^{-}}f(x)=L$
$\forall\epsilon>0,\,\exists\delta>0$ such that $a-\delta<x<a \Longrightarrow |f(x)-L|<\epsilon$

[edit]

6. 우극한의 정의

$\lim_{x\to a^{+}}f(x)=L$
$\forall\epsilon>0,\,\exists\delta>0$ such that $a<x<a+\delta \Longrightarrow |f(x)-L|<\epsilon$

[edit]

7. Infinite Limits

$\lim_{x\to a}f(x)=\infty$
$\forall M>0,\,\exists\delta>0$ such that $0<|x-a|<\delta \Longrightarrow f(x)>M$

$\lim_{x\to a}f(x)=-\infty$
$\forall N<0,\,\exists\delta>0$ such that $0<|x-a|<\delta \Longrightarrow f(x)<N$


[edit]

8. 다변수함수의 극한


일변수함수의 극한

$\forall \epsilon>0,\; \exists \delta>0$
such that
$x\in(a-\delta,a+\delta)\,\Rightarrow\,f(x)\in(L-\epsilon, L+\epsilon)$

이변수함수의 극한

$\lim_{\small(x,y)\to(a,b)}f(x,y)=L$
의 정의는
$\forall\epsilon>0,\;\exists\delta>0$
such that
$\sqrt{(x-a)^2+(y-b)^2}<\delta\,\Rightarrow\,|f(x,y)-L|<\epsilon$
즉 작은 원 안에 들어가야 함

3변수함수의 극한은 작은 구 안에 들어가야 할 것이다? CHK

Ex.
$\lim_{\small(x,y)\to(0,0)}\frac{x^2-y^2}{x^2+y^2}=?$
x축을 따라서 원점으로 갈 때 (y를 0으로 고정)
$\lim_{\small(x,0)\to(0,0)}\frac{x^2-0^2}{x^2+0^2}=1$
y축을 따라서 원점으로 갈 때 (x를 0으로 고정)
$\lim_{\small(0,y)\to(0,0)}\frac{0^2-y^2}{0^2+y^2}=-1$
따라서 극한은 존재하지 않음


[edit]

9. 벡터값함수의 극한

벡터함수,vector_function Thomas부분에 적음.



[edit]

10. 일반수학2 단국대학교 김도형