'''극한의 엄밀한 정의''': ε-δ를 이용한 '''Formal definition of limits''' 식 $\lim_{x\to a}f(x)=L$ 의 뜻은, (iff) * $e>0$ 이 주어졌을 때, * $d>0$ 이 존재한다. 어떤 $d$ 냐면, (such that) * $0<|x-a| 0, |a-b|<\epsilon$ 와 같다는 것이다. [http://tendowork.tistory.com/1]에서 잘 설명하고 있다. a = b ⇔ ∀ε > 0, |a-b| < ε a=b ⇔ ∀ε>0, |a-b|<ε ---- [[절대값,absolute_value]]과 [[부등식,inequality]]을 먼저 잘 다룰 수 있어야 한다. ex. $|x-a|2 \Leftrightarrow x<-2,x>2$ 임을 미리 상기. $|x-a|>k$ $x-a<-k,\;x-a>k$ $xa+k$ ex3. $\frac1{|2x-5|}>3\;\;(2x-5\ne 0)$ 그런데 $a>b \Leftrightarrow \frac1a<\frac1b \;\; (a,b>0)$ 이므로 $|2x-5|<\frac13$ $-\frac13 < 2x-5 < \frac13$ $\frac{14}{3} < 2x < \frac{16}{3}$ $\frac73 < x < \frac83$ ## from 부산대미적기초 http://www.kocw.net/home/cview.do?cid=1263561 2.-1 = 정의 = lim,,x→a,,f(x) = L 임의의 실수 ϵ>0에 대해, 적당한 실수 δ>0 가 존재해서, 0<∣x−a∣<δ ⇒ ∣f(x)−L∣<ϵ 이다 $\lim_{x\to a}f(x)=L$ 임의의 실수 $\epsilon>0$ 에 대해, 적당한 실수 $\delta>0$ 가 존재해서, $0 < \left| x - a \right| < \delta \Rightarrow \left| f \left( x \right) - L\right|< \epsilon$ 이다 ---------- δ는 ε에 영향을 받는 변수이다. δ = δ(ε) f(a)가 반드시 정의될 필요는 없다. 따라서 0<|x-a|<δ 의 0< 부분이 있는 것. from http://m.blog.naver.com/ooooooooooo0/220566153094 ---- 먼저 $a,L$ : 상수 $\epsilon,\delta$ : 매우 작은 양수 $x$ : 변수 $g$ : 함수 * * * "g(x)에서 x가 a에 가까이 가면, g(x)는 L에 가까이 간다"를 식으로 표현하면 $\lim_{x\to a}g(x)=L$ 위 명제가 성립할 필요충분조건은 $\forall\epsilon>0$ 에 대해 어떤 수 $\delta>0$ 가 존재하여 다음을 만족한다. $0<|x-a|<\delta$ 이면 $|g(x)-L|<\epsilon$ 이다. x가 a로 가까이 가지만 결코 a와 같을 수 없다. 하지만 $g(x)=L$ 일 가능성은 배제하지 않는다. 실제로 이렇게 가정하면, 즉 $g$ 가 상수함수라면, $|g(x)-L|=|L-L|=0<\epsilon$ 이므로 $|g(x)-L|<\epsilon$ 은 항상 성립한다. 그럼 임의의 함수 $g$ 에 대해 성립함을 보이려면 무엇을 해야 하는가? 정의에 따라, 주어진 $\epsilon>0$ 에 대해 다음 명제를 만족하는 어떤 수 $\delta>0$ 를 만들어야 할 것이다. $0<|x-a|<\delta$ 이면 $|g(x)-L|<\epsilon$ 이다. 그러므로, ε>0은 미리 주어져 있고 δ>0 값은 만들어 내야만 한다. x가 a로 충분히 가까이 (δ보다 작은 거리로) 갈 때, (a가 되지는 않음) g(x)도 얼마든지 L에 가까이 (ε보다 작은 거리로) 갈 수 있음을 보여야만 한다. ||L에 가까이 간다는 것 ||ε>0에 의해 측정됨 ||ε은 누군가로부터 주어짐 || ||a에 가까이 간다는 것 ||δ>0에 의해 측정됨 ||δ는 우리가 만드는 것 || (우리가 발견해야 할 값인) δ는 (우리에게 주어진 값인) ε에 따라 다른 값을 취할 수 있음을 이제는 예상할 수 있다. "매우 작은 값인 ε"이, 일반적으로 "매우 작은 값인 δ"를 필요로 함을 예상할 수 있다. 만일 위 (극한의) 정의를 성립하는 단 하나의 δ>0 이 존재한다면, 이 정의를 성립하도록 하는 무수히 많은 값들이 존재한다. 예를 들어 (위 극한의 정의를 만족하는) δ를 발견했다고 가정하자. 그리고 δ,,1,,을 δ보다 작은 임의의 양수라고 하자. 다시 말해 0 < δ,,1,, < δ 그러면 $0<|x-a|<\delta_1$ 일 때 $0<|x-a|<\delta$ 이다. 그러므로 $|g(x)-L|<\epsilon$ 이다. 따라서 δ,,1,,도 정의를 만족시킨다. 다시 말하면, δ는 선택의 폭이 넓다. (예를 들어 δ,,1,,=δ/2 또는 δ/3 등등) * * * 예: 다음 식 증명. $\lim_{x\to 3}x^2=9$ 정의에 따라, 주어진 $\epsilon>0$ 에 대해 다음을 만족하는 $\delta>0$ 가 있음을 증명하면 됨. $0<|x-3|<\delta$ 이면 $|x^2-9|<\epsilon$ 이다. (생각보다 간단하지 않고 길어져서 생략. 절대부등식과 min함수 필요.) // from 10개의 특강...에서 요약 = 비유 = 내친구가 예전에 했던 적절한 비유인데 이게 존나 그럴싸함 입델을 하나의 게임처럼 생각하는거지 갑과 을이 게임을 하며 각각의 역할은 다음과 같아 갑 : 을에게 양수 ε(입실론) 값을 아무렇게나 던져줌 을 : 갑에게 받은 ε값을 가지고 다음 명제 만족하는 δ값을 아무거나 하나 찾아내서 갑에게 돌려줌 다음 명제 : 0<|x-a|<δ 이면 |f(x)-L|<ε이다 만약 을이 대답할 수 없는 ε값을 갑이 던져주면 갑의승리 갑이 무슨짓을해도 을이 수비할수있으면 을의승리 갑이 이기면 x->a에서 f(x)의 극한은 존재하지 않음 을이 이기면 x->a에서 f(x)의 극한은 L 물론 비유니까, 뭐 갑이 모든 양의실수를 다 말할 수 없네 어쩌네 하는 태클은 사양 from http://gall.dcinside.com/board/view/?id=mathematics&no=47211&page = 좌극한의 정의, Definition of Left-Hand Limit = $\lim_{x\to a^{-}}f(x)=L$ $\forall\epsilon>0,\,\exists\delta>0$ such that $a-\delta0,\,\exists\delta>0$ such that $a0,\,\exists\delta>0$ such that $0<|x-a|<\delta \Longrightarrow f(x)>M$ $\lim_{x\to a}f(x)=-\infty$ $\forall N<0,\,\exists\delta>0$ such that $0<|x-a|<\delta \Longrightarrow f(x)0,\; \exists \delta>0$ such that $x\in(a-\delta,a+\delta)\,\Rightarrow\,f(x)\in(L-\epsilon, L+\epsilon)$ 이변수함수의 극한 $\lim_{\small(x,y)\to(a,b)}f(x,y)=L$ 의 정의는 $\forall\epsilon>0,\;\exists\delta>0$ such that $\sqrt{(x-a)^2+(y-b)^2}<\delta\,\Rightarrow\,|f(x,y)-L|<\epsilon$ 즉 작은 원 안에 들어가야 함 3변수함수의 극한은 작은 구 안에 들어가야 할 것이다? CHK Ex. $\lim_{\small(x,y)\to(0,0)}\frac{x^2-y^2}{x^2+y^2}=?$ x축을 따라서 원점으로 갈 때 (y를 0으로 고정) $\lim_{\small(x,0)\to(0,0)}\frac{x^2-0^2}{x^2+0^2}=1$ y축을 따라서 원점으로 갈 때 (x를 0으로 고정) $\lim_{\small(0,y)\to(0,0)}\frac{0^2-y^2}{0^2+y^2}=-1$ 따라서 극한은 존재하지 않음 = 벡터값함수의 극한 = [[벡터함수,vector_function]] Thomas부분에 적음. = 일반수학2 단국대학교 김도형 = http://www.kocw.net/home/search/kemView.do?kemId=1141060&ar=relateCourse 1강 $f:\mathbb{N}\rightarrow X$ : [[수열,sequence]] $\lim_{x \to a}f(x)=L \quad \Leftrightarrow \quad \forall \epsilon > 0, \, \exists \delta > 0 \, \textrm{ s.t. } \, 0<|x-a|<\delta \Rightarrow |f(x)-L| < \epsilon$ $\lim_{x \to \infty}f(x)=L \quad \Leftrightarrow \quad \forall \epsilon > 0,\, \exists M > 0 \, \textrm{ s.t. } \, x>M \Rightarrow |f(x)-L|<\epsilon$ $\lim_{n\to\infty}a_n=L$ ⇔ ∀ε>0, ∃N>0 s.t. $n>N \Rightarrow |a_n-L|<\epsilon$ $\lim_{n\to\infty}a_n=\infty$ ⇔ ∀n>0, ∃N>0 such that $n>N \Rightarrow a_n>M$ 함수 f가 L에서 연속 $\forall\epsilon>0,\,\exists\delta>0$ such that $|x-L|<\delta \Rightarrow |f(x)-f(L)|<\epsilon$ ---- https://mathworld.wolfram.com/Epsilon-DeltaDefinition.html https://mathworld.wolfram.com/Epsilon-DeltaProof.html [[WpKo:엡실론-델타_논법]] ---- See also [[RR:극한(limit)]] (연습장)