근사,approximation

기호 ≈ $\approx$ 등등

QQQ 완전히 정확한 것을 찾을 수 없거나 비용이 많이 들 때, '비슷한 것'을 찾는 것? - 최적의 해,solution를 구하는 대신 '충분히 좋은 해'를 구하는.
그럼 RNG로 PRNG를 쓰는 것도 근사 비슷한? or 근사에 포함?

QQQ 해가 closed-form_solution이 아니면 즉 closed-form_expression으로 나타낼 수 없으면 완벽한 해는 구할 수 없고(? 혹시 그게 아니라 '해를 간단히 식 형태로 표현할 수 없을 뿐'?) 그나마 최선의 행동이 가까운 해 (근사해)를 구하는 방법인 근사 뿐?

TODO
수치의 (실수,real_number, 값,value) 근사 ,
.vs.
함수,function/수열,sequence의 근사 로 분류해야 함. 또 있는지?

MKLINK

topic:
실제와 얼마나 같은지 - 정확도 정확성 accuracy { rel. 오차,error } ... 비슷한 표현은 similarity ? 유사성,similarity 유사도,similarity

Sub:
정적분,definite_integral의 구분구적법도 근사의 일종?

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1. 근사법 TOCLEANUP

근사법 approximation method

$a\gg b$ 일 때, $(a+b)^n$ 의 형태의 근사값을 알고자 한다. 그 형태를 $(1+x)^n$ 의 형태로 바꾸기는 간단하다. 여기서 $x=b/a$ 는 차원이 없고 1보다 훨씬 작은 값이다.
$(a+b)^n = a^n\left(1+\frac{b}{a}\right)^n = (a^n)(1+x)^n$
이제 이항정리,binomial_theorem
$(1+x)^n=1+\frac{n}{1!}x+\frac{n(n-1)}{2!}x^2+\cdots$
를 써서 .. 이하 생략

From Halliday 1권 p170

2021-05-28 이것은 베르누이_부등식,Bernoulli_inequality 참조. curr see 부등식,inequality#s-2
2023-01-02 이것의 명칭은 이항근사,binomial_approximation - writing
작은 각 근사 small angle approximation
$\theta\ll 1$ 인 경우, $\sin\theta\approx\theta$
각,angle이 0에 가까우면 $y=\sin x$ 와 $y=x$ 는 거의 같다.
더 정확한 근사를 위해서는 sin의 테일러_급수,Taylor_series 전개(테일러_전개,Taylor_expansion)가 필요.


[https]수학백과: 작은 각도 근사
"복잡한 것을 간단한 것의 섭동,perturbation으로 이해하고, 간단한 것에서 얻은 정보를 복잡한 것을 이해하는 데 활용하는 방법,method을 섭동법 Ggl:섭동법 Ndict:섭동법이라고 한다."

고딩+일반물리 레벨에선, 진자,pendulum운동(진자운동) 기술을 엄밀하게 하려면 타원적분,elliptic_integral이 필요한데, 그것까지 끌고 올 수 없으므로 거의 필수적으로 이 근사를 사용하는 듯?
오일러의 방법(Euler's Method): 접선을 이용하여 근삿값을 구하는 방법
tmp goto https://blog.naver.com/dydrogud22/220108163230
Stirling's approximation 스털링 근사: 계승,factorial을 근사
see 스털링_공식,Stirling_formula
근사에 대한 book의 draft
The Art of Approximation in Science and Engineering .pdf (mit.edu)
https://news.ycombinator.com/item?id=18099596

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2. 일차근사 first-degree approximation = 선형근사 linear approximation

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3. 이차근사 second-degree approximation, quadratic approximation

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4. n차근사?

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5. successive approximation

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6. 근사값

근사값,approximate_value
{
AKA 근삿값(표준어), 근사치, approximation

Related:
근사,approximation
값,value
오차,error
오차 = 근사값 － 참값
오차한계 error_bound - writing
근사오차,approximation_error - writing

[https]수학백과: 근삿값
WpKo:근삿값 (내용부족 at 2022-01-19)
}

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7. 근사알고리듬 근사적알고리듬?


완벽한/최선의(optimal) 답을 구하는 것을 포기하고 틀릴/오류/오차 가능성을 감수하고 근접한/차선의(suboptimal) 답을 빠르게?
정확성과 답을 얻기 위한 자원(resource, computing power 등)에 trade-off 관계가 있는 경우?

ex.
TSP traveling_salesman_problem - 최적해를 구하는 연산은 매우 비싸므로, heuristic을 사용.


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8. Related

정확한 근사를 위해서는 오차,error를 줄이는 것이 중요

점진적으로 근사 - 점근 - asymtotic(점근선,asymptote 등)
이렇게 관련?

유사도,similarity or 유사성? 과 비슷한 느낌?

모델,model 모형,model , simulation ...이런 것들은 실제로 존재하는 어떤 것을 완벽히 모사하기보다는(할 수 있으면 좋지만 불가능한 경우가 많아서) 근사하여 분석,analysis하기 위한?

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9. 근사식 및 그 확장? 일반화? esp. 이변수함수의 근사식 and Hessian matrix

근사식
일차근사식, 이차근사식, ...
일변수함수의 근사식, 이변수함수의 근사식, ...
이런식으로 확장/분류 가능.

점 $x_0$ 에서 일변수함수 $f(x)$ 의 이차근사식:
$f(x)\sim f(x_0)+f'(x_0)(x-x_0)+\frac12 f''(x_0)(x-x_0)^2$
점 $x=x_0$ 에서 함수 $f$ 의 그래프가 위 이차식의 그래프와 유사해진다.

이 글은 이변수함수는 좀 간단하게 함
이변수함수의 경우, 기호를 간단하게 하기 위해 $(x_0,y_0)=(0,0)$ 인 경우의 이차근사식을 봄. $D_1=\frac{\partial}{\partial x},\,D_2=\frac{\partial}{\partial y}$ 이다.
$f(x,y)\sim f(0,0)+D_1 f(0,0)x + D_2 f(0,0)y$
$+\frac12\left( D_1^2 f(0,0)x^2 + 2 D_1 D_2 f(0,0) xy + D_2^2 f(0,0) y^2 \right)$
그래서 원점에서 $f$ 의 헤세 행렬 $H$ 는
$H=\begin{bmatrix} D_1^2 f(0,0) & D_2 D_1 f(0,0) \\ D_1 D_2 f(0,0) & D_2^2 f(0,0) \end{bmatrix}$
이 행렬을 보면
1행은 $D_1 f$ 의 기울기벡터,gradient_vector,
2행은 $D_2 f$ 의 기울기벡터.

from [https]수학백과: 헤세 행렬 (헤세_행렬,Hessian_matrix)

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10. 근사다항식

김홍종 미적1+에선 '테일러 다항식' = '근사다항식'으로 적어놓음. 근데 근사를 위한 다항식,polynomial이 이것뿐만이 아닐텐데 책이 다루는 범위를 생각해서 그런건지...


KWs: 다항식근사

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11. 물리: 맥스웰-볼츠만 근사 Maxwell-Boltzmann Approximation

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12. 화학, 물리: 보른-오펜하이머 근사 Born-Oppenheimer approximation


원자핵이 전자보다 훨씬 무겁다는 것을 이용?
via 분자오비탈,molecular_orbital 관련 보다가


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13. Weierstrass approximation theorem

정리 2.21: Weierstrass의 근사 정리(Weierstrass approximation theorem)

만약 $f(x)$ 가 실수의 값을 가지고 구간 $x\in[a,b]$ 에서 연속이면,
아무리 작다고 하더라도 양의 $\epsilon$ 이 주어질 때,
생각하는 구간 내의 모든 $x$ 들에 대해
$|f(x)-p(x)|<\epsilon$ 인 다항식 $p(x)$ 가 존재한다.

(이승준 p46)

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14. CS: tilde approximation

big O와 용도가 비슷한 또 다른 표기법,notation임.

틸다 근사 (Tilde approximations) - 기계인간 John Grib
https://johngrib.github.io/wiki/tilde-approximations/
(Sedgewick)
rel. big_O_notation(curr. 복잡도,complexity#s-1, Landau 그거), 복잡도,complexity, complexity_class

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15. Misc

Fast Inverse Square Root (2020)
https://timmmm.github.io/fast-inverse-square-root/
https://news.ycombinator.com/item?id=24959157
Logarithmic Number System (LNS) 관련임. logarithmic_number_system - 디지털 컴퓨터의 숫자 표현 방식. 로그,log와 어떤관련인지 tbw



신경망,neural_network(인공신경망 artificial_neural_network ANN)은 거의 모든 것을 근사할 수 있다 - universal_approximation_theorem... curr mentioned at 신경망,neural_network