pagename to 'expectation'? or [[기대,expectation]]라는 페이지를 만들?
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AKA '''기댓값'''(표준어), '''기대치, expected value, expectation value, EV, expectation'''
AKA '''first moment, mean, average''' (see [[모멘트,moment]], [[평균,mean,average]])
 '''expectation'''과 mean의 차이 => https://blog.naver.com/sw4r/221010499304

// from https://suhak.tistory.com/938
{
([[이산확률변수,discrete_random_variable]] X) [[확률질량함수,probability_mass_function,PMF]] $f$ 일 때
> $E(X)=\sum_x xf(x)$
([[연속확률변수,continuous_random_variable]] X) [[확률밀도함수,probability_density_function,PDF]] $f$ 일 때
> $E(X)=\int_{-\infty}^{\infty}xf(x)dx$
}
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// ㄷㄱㄱ
'''Expectation''': a fixed value that represents the value of a [[확률변수,random_variable|random variable]].
Discrete RV의 경우:
> $\text{E}[X]=\mu_X=\sum_{x\in S_X} x P_X (x)$
Continuous RV의 경우:
> $\text{E}[X]=\mu_X=\int_{-\infty}^{\infty} xf_X(x)dx$
Ex. rolling a dice
 1 × 1/6 + 2 × 1/6 + … + 6 × 1/6 = 3.5

[[표본평균,sample_mean]]은 '''기대값'''과 다르다. '''기대값'''은 고정된 값이며 표본평균은 무작위에 의존한다.
표본평균은 실험(see [[확률실험,random_experiment]] and [[시행,trial]])을 많이 할 수록(더 많은 [[표본,sample]]이 있을수록) '''기대값'''에 가까워진다 → 큰 수의 법칙 law of large numbers ... Google:큰수의법칙
----
Sub:
[[expectation_maximization]]
{
번역?
기대값최대화 ?

Sub:
기대값최대화 알고리듬 expectation-maximization algorithm
[[expectation-maximization_algorithm]] = EM algorithm
 MKLINK: [[반복,iteration]] [[알고리듬,algorithm]] [[최대가능도,maximum_likelihood]] [[maximum_a_posteriori]](MAP, 최대사후확률)
 WpKo:기댓값_최대화_알고리즘
 [[WpEn:Expectation–maximization_algorithm]]
 ... Google:expectation-maximization+algorithm

Up: [[기대값,expected_value]](or expectation) [[최대화,maximization]]
}
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## from 숙명여대 기초통계학
[[모평균,population_mean]], 기호 μ
 $E(X)$ 는 기대값에서 온 기호인가? 평균으로 많이 언급되는데..
{
성질
 $E(aX)=aE(X)$
 $E(b)=b$
 $E(aX+b)=aE(X)+b$
}

이산형일 경우
 $\bar{x}=\frac{x_1n_1+x_2n_2+\cdots+x_kn_k}{n}$
  $=x_1\cdot\frac{n_1}{n}+x_2\cdot\frac{n_2}{n}+\cdots+x_k\cdot\frac{n_k}{n}$
  $=x_1P(X=x_1)+x_2P(X=x_2)+\cdots+x_kP(X=x_k)$
  $=x_1f(x_1)+x_2f(x_2)+\cdots+x_kf(x_k)$
  $=\sum x_if(x_i)$
연속형일 경우
 $\int xf(x)dx$

i.e.
 $\bar{x}=\frac{x_1n_1+x_2n_2+\cdots+x_kn_k}{n}=\sum x_i\frac{n_i}{n} = \sum x_i p_i$
  $p_i={n_i}/n$ 은 [[확률,probability]]
## from 통계가 빨라지는 수학력

<<TableOfContents>>

= 확률변수 X의 기대값 또는 평균 =
[[확률변수,random_variable]]의 '''기대값''' 또는 [[평균,mean,average]]
$E(X)=\sum_{i=1}^{n}x_ip_i=x_1p_1+x_2p_2+\cdots+x_np_n$

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[[확률분포,probability_distribution]]가 이산형인지 연속형인지에 따라 구분.

//tmp from 서울과기대 http://www.kocw.net/home/search/kemView.do?kemId=1162312 4장_확률변수와분포_기대값
= 이산형분포의 기대값 =
X의 기대값:
 $E(X)=\sum_{x\in R}xf(x)$
여기서
 X: 확률변수
 R: 확률변수 X의 [[치역,range]]
 f: 확률함수 (이산형)

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[[이산확률변수,discrete_random_variable]] $X$ 에 대한 '''기대값''' $E[X]$ 는 다음과 같이 계산.
 $E{[X]=\sum_{x\in S} xP(X=x)$
(단, $S$ 는 [[표본공간,sample_space]])
## via https://drive.google.com/file/d/10nbEDP4hGkAUDSwzG6e-ldMkyYmQffy3/view

= 연속형분포의 기대값 =
X의 기대값(평균): 적분
 $\int_{-\infty}^{\infty}|x|f(x)dx$ 
가 존재할 때 $X$ 의 기대값
 $E(X)=\int_{-\infty}^{\infty}xf(x)dx$
이 존재한다.
여기서
 f: 확률변수 X의 [[확률밀도함수,probability_density_function,PDF]]

= 조건부 기대값 conditional expected value =
''Moved to [[조건부기대값,conditional_expected_value]]''

= 정리: X, Y가 독립일때 X×Y의 기대값 =
두 확률변수 X, Y가 독립이면
 $E(X\times Y)=E(X)\times E(Y)$

= tmp =
from http://blog.naver.com/mykepzzang/220837877074

== 기대값 ==
확률변수 X의 확률분포함수가 $f(x)$ 일 때 X의 기대값 E(X)는
[[이산확률변수,discrete_random_variable]]일 경우
 $E(X)=\sum_x x\cdot f(x)$
[[연속확률변수,continuous_random_variable]]일 경우
 $E(X)=\int_{-\infty}^{\infty}x\cdot f(x)dx$

== 결합확률분포에 대한 기대값 ==
확률변수 X, Y의 결합확률분포함수가 $f(x,y)$ 일 때 (see [[결합확률분포,joint_probability_distribution]])
이산확률변수의 경우
 $\mu_x=E(X)=\sum_x x\cdot f_X(x)$
 $\mu_y=E(Y)=\sum_y y\cdot f_Y(y)$
연속확률변수의 경우
 $\mu_x=E(X)=\int_{-\infty}^{\infty}x\cdot f_X(x)dx$
 $\mu_y=E(Y)=\int_{-\infty}^{\infty}y\cdot f_Y(x)dy$ ''..... $(y)$ 아닌가?''
여기서 $f_X(x),f_Y(x)$ 는 주변확률분포 ''.... $f_Y(y)$ 아닌가?''

== 확률변수가 함수 형태로 주어지는 경우 ==
확률변수 X와 Y의 결합확률함수가 $f(x,y)$ 일 때, 확률변수 $g(X,Y)$ 의 기대값은
이산확률변수의 경우
 $\mu_{g(X,Y)}=E(g(X,Y))=\sum_x \sum_y g(x,y)\cdot f(x,y)$
연속확률변수의 경우
 $\mu_{g(X,Y)}=E(g(X,Y))=\int_{-\infty}^{\infty}\int_{-\infty}^{\infty}g(x,y)\cdot f(x,y) dxdy$

=== ex. g(X,Y)=X+Y의 기대값 구하기 ===
''(이하 $\int_{-\infty}^{\infty}\;\to\;\int$ 로 표기)''

$E(X+Y)=\iint (x+y)f(x,y)dxdy$
 $=\iint xf(x,y)+yf(x,y)dxdy$
 $=\iint xf(x,y)dxdy+\iint yf(x,y)dxdy$
 $=E(X)+E(Y)$

=== ex. g(X,Y)=aX+b의 기대값 구하기 ===
$E(aX+b)=\int(ax+b)f(x)dx$
 $=\int ax f(x)+bf(x) dx$
 $=\int axf(x)dx+\int bf(x)dx$
 $=a\int xf(x)dx+b\int f(x)dx$
 $=aE(X)+b$

즉 기대값의 [[선형성,linearity]]이 성립.

=== ex. X와 Y 가 독립일 때, g(X,Y)=XY의 기대값 구하기 ===
$E(XY)=\iint xyf(x,y)dxdy$
 $=\iint xyf_X(x)f_Y(y)dxdy$
 $=\int xf_X(x)dx\cdot \int yf_Y(y)dy$
 $=E(X)E(Y)$

여기서 $f_X(x),f_Y(x)$ 는 주변확률분포. ''.... $f_Y(y)$ 아닌가?''

== summary ==
$E(X+Y)=E(X)+E(Y)$
$E(XY)=E(X)\cdot E(Y)$
$E(aX+b)=aE(X)+b$
$E(aX^2+bX+c)=aE(X^2)+bE(X)+c$
$E(aX+bY)=aE(X)+bE(Y)$

= 한계 =
'''기대값'''은 분포의 중심 위치에 대한 정보를 주며, 흩어진 정도를 판별하는데는 도움이 되지 않는다. 흩어지거나 밀집된 정도를 파악하려면 [[산포도,dispersion]]가 필요하다.

= 분산과의 관계 =
$(X-\mu)^2$ 의 '''기대값'''은 [[분산,variance]]이다.
따라서 (분산)≥0 이다.

= 표본평균과의 관계 =
[[표본평균,sample_mean]]: an average of random samples from repeated experiments.
표본평균은 실험을 많이 할 수록 '''기대값'''에 가깝게 된다. - law_of_large_numbers

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Related, Similar:
 [[평균,mean,average]]
  tmp; 평균값과 기대값은 같은가? 다르다고 함. 평균은 이미 일어난 것에 대한 것이고 기대값은 예측 개념을 포함하는 듯? from https://kagnouystudy.blogspot.com/2018/08/blog-post.html
 [[대표값,평균값,중앙값,최빈값]],
 [[중심성향,central_tendency]](from [* https://terms.naver.com/entry.nhn?docId=3404994&ref=y&cid=47324&categoryId=47324])(?), 무게중심(??)
 [[적률,moment]] > 일차적률

Twins:
[[WpSimple:Expected_value]]
[[WpKo:기댓값]]
 보면 [[모평균,population_mean]]과 매우 밀접, 정확한 src찾아 기술/mkl
[[WpEn:Expected_value]]
https://mathworld.wolfram.com/ExpectationValue.html
[[https://terms.naver.com/entry.naver?docId=3404994&cid=47324&categoryId=47324 수학백과: 기댓값]]
https://everything2.com/title/expectation
http://mlwiki.org/index.php/Expected_Value

Up: [[통계,statistics]]
 [[값,value]]?