## moved from 편미분,partial_derivative
각 변수에 대한 [[편미분,partial_derivative]]을 순서쌍(tuple의 element?)으로 하는 [[벡터,vector]]를 '''기울기벡터''' 또는 그레이디언트(gradient)([[기울기,gradient]])라고 한다.

점 $A$ 에서 편미분은 아래와 같은 벡터를 만드는데
 $\nabla f(A)=\left(\frac{\partial f}{\partial x_1}(A),\cdots,\frac{\partial f}{\partial x_n}(A)\right)$
이를 점 $A$ 에서 $f$ 의 '''기울기벡터'''라고 한다.

// from 수학백과: 편도함수 # 기울기 벡터

= tmp from 수학백과: 기울기 벡터 =
일변수함수의 [[미분계수,differential_coefficient]]는 함수 그래프에서 [[접선,tangent_line]]의 [[기울기,slope]]를 나타냄.
다변수함수의 '''기울기벡터,gradient_vector'''는 함수 그래프에서 [[접평면,tangent_plane]]의 [[기울기,gradient]]를 나타냄.
- chk

= tmp; 선형계획법linear_programming에서, easy[* http://kocw.net/home/cview.do?cid=42680d24aefd80c2 허재석 4. 16m쯤] =
'가장 빨리 증가하는 방향'에 밀접.

목적함수가 $z=6x_1+3x_2$ 라면, 목적함수 값이 가장 빨리 증가하는 방향은? 벡터 $(2,1)$ 방향. 이것의 기울기는 1/2이므로, (그것과 직교인) 기울기가 −2인 직선을 실행가능영역(feasible_region, feasible_set ''...대충, simplex의 꼭짓점?'')의 정점(extreme_point)에 갖다 대서 최적해(z가 최대/최소인 점)를 찾기(i.e. z를 최대화/최소화하기)가 가능.

$z=-x_1+x_2$ 의 Max가 되는 점을 찾으려면? 가장 빨리 증가하는 방향은 벡터 $(-1,1)$ 방향. 

= tmp =
## moved from gradient
tmp videos en
https://www.youtube.com/watch?v=QQPz3eXXgQI Bazett
{
$z=f(x,y)$ 에 대한 contour plot이 있는 상황.
식 $f(x(t),y(t))=C$ 를 만족하는 (그러니까 z가 일정) 곡선 $\vec{r}(t)=x(t)\hat{\rm i}+y(t)\hat{\rm j}$ 를 따라
 $\frac{d}{dt}f \left(x(t),y(t) \right)=\frac{d}{dt}C$
이다. [[연쇄법칙,chain_rule]]을 써서
 $\frac{\partial f}{\partial x}\frac{dx}{dt}+\frac{\partial f}{\partial y}\frac{dy}{dt}=0$
두 벡터의 dot product로 나타내면
 $\left( \frac{\partial f}{\partial x}\hat{\rm i} + \frac{\partial f}{\partial y}\hat{\rm j} \right) \cdot \left( \frac{dx}{dt}\hat{\rm i} + \frac{dy}{dt}\hat{\rm j} \right) = 0$
왼쪽은 grad(f)이고 오른쪽은 r의 미분이므로 다시 쓰면
 $\nabla f\cdot \frac{d\vec{r}}{dt}=0$
내적 왼쪽은 level curve의 [[법선벡터,normal_vector|normal vector]], 오른쪽은 level curve의 [[접벡터,tangent_vector|tangent vector]]. i.e.
 $\underbrace{\nabla f}_{\uparrow\atop\textrm{normal}} \cdot \underbrace{\frac{d\vec{r}}{dt}}_{\uparrow\atop\textrm{tangent}}=0$

[[방향도함수,directional_derivative]]는
 $D_{\vec{u}}f(x_0,y_0)=\left. \nabla f \right|_{(x_0,y_0)} \cdot \vec{u} = |\nabla f| |\vec{u}| \cos\theta$
이것은 위 식과 비슷하게 ∇f 뒤에 dot product 형태....

$\theta=\frac{\pi}{2}$ 일 때 smallest magnitude.
i.e. $\frac{d\vec{r}}{dt}$ 는 최소 기울기의 방향. (dr/dt is direction of minimum slope)

$\theta=0$ 일 때 largest magnitude.
i.e. $\nabla f$ 는 최대 기울기의 방향. (∇f is direction of maximum slope)

그림으로 예를 들면 ([[안장,saddle]])
https://i.imgur.com/4cNCX0T.png

dddddddddddd
}
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## moved from vector
tmp; from https://jebae.github.io/2019/02/25/gradient-vector/
삼변수 x,y,z의 함수 f에 대해 f의 gradient vector:
 $\nabla f = \frac{\partial f}{\partial x} i + \frac{\partial f}{\partial y} j + \frac{\partial f}{\partial z} k$
(i,j,k는 단위방향벡터)
함수의 어느 지점에서 기울기가 가장 큰 벡터.


이변수 함수 $z=f(x,y)$ 에 대해서 '''기울기벡터'''의 정의는
 $\nabla f=\langle f_x,f_y \rangle = \left\langle \frac{\partial z}{\partial x},\frac{\partial z}{\partial y}\right\rangle$

기울기(gradient)와의 차이......?? 일단 기호는 둘 다 $\nabla f$ 같은데...
[[방향도함수,directional_derivative]]와의 비교??

mklink
[[라그랑주_곱셈자,Lagrange_multiplier]]
[[접평면,tangent_plane]]

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links:
방향도함수와 접평면의 방정식 https://pinkwink.kr/207
 see also [[방향도함수,directional_derivative]] [[접평면,tangent_plane]]


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Twins:
[[https://terms.naver.com/entry.naver?docId=6117897&cid=60207&categoryId=60207 수학백과: 기울기 벡터]]

https://mathinsight.org/gradient_vector

AKA '''그레이디언트 벡터, 구배 벡터'''

Up: [[기울기,gradient]] [[벡터,vector]]