기저,basis

Sub:
기저함수,basis_function - curr see 기저,basis#s-6
basis_change or ,change_of_basis 기저바꾸기? 기저바꿈? 기저변환? - pagename TBD, writing
순서기저,ordered_basis - writing ... 특성상 보통 복수형 ordered_bases 가 많이 보임
직교기저,orthogonal_basis - writing (see also 기저,basis#s-2)
{
Excerpts
정의 7.11: 직교 기저와 직교 정규 기저
$n$ 차원 실수 유클리드 공간에 대한 기저 $\left\lbrace \vec{e_1}, \vec{e_2}, \cdots, \vec{e_n} \right\rbrace$ 을 이루는 벡터가 모두 서로 직교하면,
즉 $i\ne j$ 일 때 $\left(\vec{e_i},\vec{e_j}\right)=0$ 을 만족하면 // 내적,inner_product이 영,zero
기저 $\left\lbrace\vec{e}\right\rbrace$ 는 직교 기저라고 한다.
나아가 기저를 이루는 모든 벡터의 길이가 1이면, // 길이,length 하나,one 단위,unit
즉 $i=1,2,\cdots,n$ 에 대해 $\left| \hat{e_i} \right| = 1$ 이 성립하면,
기저 $\left\lbrace\hat{e}\right\rbrace$ 는 직교 정규 기저라고 한다. // orthonormal_basis

(중략) $n$ 차원 실수 유클리드 공간에 대해 주어진 임의의 기저로부터 직교 정규 기저를 얻어내는 그람-슈미트_과정,Gram-Schmidt_process (후략)

(이승준 p145)

직교성,orthogonality 기저,basis
}
정규직교기저 orthonormal_basis - writing
표준기저,standard_basis - 기저 set 중에서 서로 모두 orthogonal and 길이가 모두 1 (normalized, unit) 인 특수한 경우? CHK
쌍대기저,dual_basis - writing

2022-09-25
power_basis
power_basis over ℤ (정수,integer) - https://planetmath.org/powerbasisovermathbbz
integral_basis - https://planetmath.org/integralbasis

/* 기타 basis 들은 [https]kms basis [https]kms 기저 보고 추가 */
CHK: 대략, 서로 선형독립,linear_independence인데 선형결합,linear_combination을 해서 벡터공간,vector_space을 만들 수 있는 ...그런데 필요 이상의 개수는 존재하지 않는? ... 벡터,vector들의 집합,set?

linearly independent한 (아마 유한개??) 것들이 (span해서 전체를 덮으면/전체로 span하면) 그것들이 바로 기저????(notsure)

(정확한 서술 필요)
"minimum" set of vectors that spans the subspace
따라서 basis에는 중복(redundancy)이 존재하지 않는다.
(Khan)
벡터공간 V에 속한 선형독립,linear_independence인 벡터들의 최대 집합을 벡터공간 V의 기저라고 한다. 따라서, V에 속한 한 개 이상의 벡터를 기저에 첨가하면, 이 집합은 선형종속이 된다. 따라서, 기저에 속한 벡터의 개수는 dim V와 같다. (see 차원,dimension)
(Kreyszig)
집합 V가 벡터공간,vector_space일 때, 다음의 두 조건을 만족하는 집합 S⊆V를 V의 기저(basis) 라 한다.
벡터공간,vector_space $V$ 안의 벡터 집합 $B=\left\lbrace\vec{x_1},\vec{x_2},\cdots,\vec{x_n}\right\rbrace$ 을 고려한다.
집합 $B$ 가 선형독립,linear_independence이고,
$V$ 안의 모든 벡터가 이 벡터들의 선형결합,linear_combination으로 표현될 수 있다면,
$B$ 는 $V$ 를 위한 기저(basis)라고 한다.

(Zill Def 7.6.4 Basis for a Vector Space)
//from libre: 기저 TMP
{
벡터공간,vector_space $V$ 의 $n$ 개의 원소들 $\vec{x_1},\vec{x_2},\cdots,\vec{x_n}$ 이
(모두 서로??) 선형독립,linear_independence이고,
$V$ 를 생성,span할 때,
이 $n$ 개의 원소들을 $V$ 의 기저(basis)라고 한다.

'모든 벡터공간은 기저를 가진다'는 명제는 선택공리,choice_axiom와 동치,equivalence이며 Zorn's lemma Zorn_lemma 의 직접적인 결과라고.

//차원과...
기저의 수와 차원은 밀접.
기저 안의 원소(벡터)의 수가 차원,dimension. <- 여기 예전 서술
V의 한 기저에 들어 있는 벡터의 개수가 차원이며 dim V로 나타냄. <- 저기 현재 서술
(이하 차원의 존재성과 유일성 간단히 언급)
}



[edit]

1. 표준기저 standard basis

[edit]

2. 정규/직교/정규직교 기저

[edit]

3. 순서기저 ordered basis


기저들의 순서,order가 중요한 경우 이렇게??


tmp
{
https://chocobear.tistory.com/116 이 글에서 선형변환,linear_transformation의 행렬 표현을 알아보기 위해 순서기저를 먼저 정의
}

[edit]

4. 기저가 될 수 있는/없는 조건

상식적으로,
  • 영벡터는 안된다.
  • collinear하면 안된다.
이게 전부다. CHK
수식으로는
$c_1\vec{a_1}+c_2\vec{a_2}=\vec{0}$
을 만족하는 $c_1,c_2(\in\mathbb{R})$ 가 존재하면 기저벡터가 될 수 없다.
( $c_1,c_2$ 중 적어도 하나는 0이 아님 )

이유는, $c_1,c_2$ 모두 0이 아니면
$\vec{a_1}=-\frac{c_2}{c_1}\vec{a_2}$
인데 이것은 $\vec{a_1}//\vec{a_2}$ 를 뜻하며 (위에서 collinear 조건)
둘 중 하나가 0이고 다른 하나가 0이 아니면, 예를 들어 $c_1=0,c_2\ne 0$ 이면 $\vec{a_2}=\vec{0}$ 이렇게 영벡터가 되기 때문.

일차종속과 관련. (see 선형독립,linear_independence)
일반적으로 여러 요소 $\vec{a_1},\vec{a_2},\cdots,\vec{a_n}$ 에 대해
$c_1\vec{a_1}+\cdots+c_n\vec{a_n}=\vec{0}$
을 만족하는 $c_1,\cdots,c_n$ (적어도 하나는 0이 아님) 이 존재하면 $\vec{a_1},\cdots,\vec{a_n}$ 은 일차종속이다.

$\mathbb{R}^2$ 에서 세 개 이상의 요소의 조합은 반드시 일차종속이 된다. (WHY?)

요소의 조합 중에 일차종속이 아닌 것은 일차독립.

$\mathbb{R}^2$ 의 두 요소 $\vec{a_1},\vec{a_2}$ 가 일차독립이면 기저 벡터가 되며, 일차독립임을 증명하려면
$c_1\vec{a_1}+c_2\vec{a_2}=\vec{0}$
이 성립하는 것이 $c_1=c_2=0$ 일 때 뿐이라는 사실을 증명하면 됨
(나카이 에츠지)

[edit]

5. 기저벡터가 만드는 평행사변형

2D에서, 기저 벡터는 평행사변형을 만들며, 이 면적은
$e_1=\binom{a}{c},\,e_2=\binom{b}{d}$
일 때
$|ad-bc|$

즉 (행렬식의 절대값) = (일차변환의 확대율)
// 확대율이란 e1=(1,0),e2=(0,1)가 만드는 1×1=1의 cell에 비해 e1',e2'가 만드는 cell의 크기(평행사변형의 면적)가 얼마나 되는지 얘기.

e1에서
반시계 방향 쪽에 e2이면, 오른손 좌표계. ad-bc>0. //좌표계,coordinate_system
시계 방향 쪽에 e2이면, 왼손 좌표계. ad-bc<0.
CHK

(나카이 에츠지)

[edit]

6. 기저함수 basis function

[edit]

7. 단항기저 monomial basis

monomial_basis
WpEn:Monomial_basis

[edit]

8. 샤우데르 기저

[edit]

9. 하멜 기저

[edit]

10. etc

벡터공간이 있으면 기저를 항상 찾을 수 있다. (Zorn's lemma를 이용한다고)

한 벡터공간의 기저는 유일하지 않다. (기저 벡터 하나에 스칼라배를 해도 ok이므로)

한 벡터공간의 기저의 수는 유일하다.



기저 변환은 transition matrix 관련. (추이행렬,transition_matrix)

[edit]

11. tmp links ko


관련: (to link)
생성,span
차원,dimension .... 기저의 원소,element의 수, 즉 기저 속 벡터,vector의 수 - 이것이 차원? 100% 일치? chk
선형성,linearity
일차독립/일차종속 - see 선형독립,linear_independence
서로 다른 basis끼리는 independent하다. (you know.) 이것에 대해 독립과 관련지어 서술할 것. TBW
일차결합(선형결합,linear_combination)

축,axis과 분명 관련있는데... 정확히?
기저를 기하학,geometry적으로 나타낸다면, 각 축 방향으로의 단위벡터,unit_vector들이 기저와 동등?
주성분분석,principal_component_analysis,PCA은 원 data의 분산,variance을 최대한 보존(?)하는 축을/기저를 찾으면서 차원축소 dimensionality_reduction 를 하는 것.

수학적귀납법,mathematical_induction은 basis와 inductive_step s(귀납,induction적 단계,step들)로 이루어짐.
저 basis는 아마 기저로 번역될 건 아니고 base_case 와 동의어?

AKA 기저벡터 chk