Sub:
 [[기저함수,basis_function]] - curr see [[기저,basis#s-6]]
 [[basis_change]] or [[,change_of_basis]] 기저바꾸기? 기저바꿈? 기저변환? - pagename TBD, writing
 [[순서기저,ordered_basis]] - writing ... 특성상 보통 복수형 ordered_bases 가 많이 보임
 [[직교기저,orthogonal_basis]] - writing (see also [[기저,basis#s-2]])
{
Excerpts
정의 7.11: 직교 기저와 직교 정규 기저
$n$ 차원 실수 유클리드 공간에 대한 기저 $\left\lbrace \vec{e_1}, \vec{e_2}, \cdots, \vec{e_n} \right\rbrace$ 을 이루는 벡터가 모두 서로 직교하면,
즉 $i\ne j$ 일 때 $\left(\vec{e_i},\vec{e_j}\right)=0$ 을 만족하면 // [[내적,inner_product]]이 [[영,zero]]
기저 $\left\lbrace\vec{e}\right\rbrace$ 는 '''직교 기저'''라고 한다.
나아가 기저를 이루는 모든 벡터의 길이가 1이면, // [[길이,length]] [[하나,one]] [[단위,unit]]
즉 $i=1,2,\cdots,n$ 에 대해 $\left| \hat{e_i} \right| = 1$ 이 성립하면,
기저 $\left\lbrace\hat{e}\right\rbrace$ 는 '''직교 정규 기저'''라고 한다. // orthonormal_basis

(중략) $n$ 차원 실수 유클리드 공간에 대해 주어진 임의의 기저로부터 직교 정규 기저를 얻어내는 [[그람-슈미트_과정,Gram-Schmidt_process]] (후략)

(이승준 p145)

[[직교성,orthogonality]] [[기저,basis]]
}
 정규직교기저 orthonormal_basis - writing
 [[표준기저,standard_basis]] - '' '''기저''' set 중에서 서로 모두 orthogonal and 길이가 모두 1 (normalized, unit) 인 특수한 경우? CHK''
 [[쌍대기저,dual_basis]] - writing

 [[Date(2022-09-24T18:14:46)]]
 power_basis
  power_basis over ℤ ([[정수,integer]]) - https://planetmath.org/powerbasisovermathbbz
 integral_basis - https://planetmath.org/integralbasis

 /* 기타 basis 들은 [[https://www.kms.or.kr/mathdict/list.html?key=ename&keyword=basis kms basis]] [[https://www.kms.or.kr/mathdict/list.html?key=kname&keyword=%EA%B8%B0%EC%A0%80 kms 기저]] 보고 추가 */
 
----
CHK: 대략, 서로 [[선형독립,linear_independence]]인데 [[선형결합,linear_combination]]을 해서 [[벡터공간,vector_space]]을 만들 수 있는 ...그런데 필요 이상의 개수는 존재하지 않는? ... [[벡터,vector]]들의 [[집합,set]]?

''linearly independent한 (아마 유한개??) 것들이 (span해서 전체를 덮으면/전체로 span하면) 그것들이 바로 기저????(notsure)''

(정확한 서술 필요)
----
"minimum" set of vectors that spans the [[부분공간,subspace|subspace]]
따라서 basis에는 중복(redundancy)이 존재하지 않는다.
(Khan)
----
벡터공간 V에 속한 [[선형독립,linear_independence]]인 벡터들의 최대 집합을 벡터공간 V의 '''기저'''라고 한다. 따라서, V에 속한 한 개 이상의 벡터를 기저에 첨가하면, 이 집합은 선형종속이 된다. 따라서, 기저에 속한 벡터의 개수는 dim V와 같다. (see [[차원,dimension]])
(Kreyszig)
----
집합 V가 [[벡터공간,vector_space]]일 때, 다음의 두 조건을 만족하는 집합 S⊆V를 V의 '''기저'''(basis) 라 한다.
 * S는 [[선형독립,linear_independence|일차독립]]이다.
 * S는 V를 [[생성,span|생성]]한다.
----
[[벡터공간,vector_space]] $V$ 안의 벡터 집합 $B=\left\lbrace\vec{x_1},\vec{x_2},\cdots,\vec{x_n}\right\rbrace$ 을 고려한다.
집합 $B$ 가 [[선형독립,linear_independence]]이고,
$V$ 안의 모든 벡터가 이 벡터들의 [[선형결합,linear_combination]]으로 표현될 수 있다면,
$B$ 는 $V$ 를 위한 '''기저(basis)'''라고 한다.

(Zill Def 7.6.4 Basis for a Vector Space)
----
//from libre: 기저 TMP
{
[[벡터공간,vector_space]] $V$ 의 $n$ 개의 원소들 $\vec{x_1},\vec{x_2},\cdots,\vec{x_n}$ 이
 ''(모두 서로??)'' [[선형독립,linear_independence]]이고,
 $V$ 를 [[생성,span]]할 때, 
이 $n$ 개의 원소들을 $V$ 의 '''기저'''(basis)라고 한다.

'모든 벡터공간은 기저를 가진다'는 명제는 [[선택공리,choice_axiom]]와 [[동치,equivalence]]이며 Zorn's lemma Zorn_lemma 의 직접적인 결과라고.

//차원과...
기저의 수와 차원은 밀접.
기저 안의 원소(벡터)의 수가 [[차원,dimension]]. <- 여기 예전 서술
V의 한 기저에 들어 있는 벡터의 개수가 차원이며 dim V로 나타냄. <- 저기 현재 서술
''(이하 차원의 존재성과 유일성 간단히 언급)''
}

<<tableofcontents>>

= 표준기저 standard basis =
[[표준기저,standard_basis]]

= 정규/직교/정규직교 기저 =
[[정규기저,normal_basis]]
 [[WpEn:Normal_basis]]
[[직교기저,orthogonal_basis]]
 [[https://terms.naver.com/entry.naver?docId=4125449&cid=60207&categoryId=60207 수학백과: 직교기저]]
 https://mathworld.wolfram.com/OrthogonalBasis.html
 [[WpEn:Orthogonal_basis]]
 https://encyclopediaofmath.org/wiki/Orthogonal_basis
[[정규직교기저,orthonormal_basis]]
 [[https://terms.naver.com/entry.naver?docId=4125434&cid=60207&categoryId=60207 수학백과: 정규직교기저]]
 https://mathworld.wolfram.com/OrthonormalBasis.html
 [[WpEn:Orthonormal_basis]]
 [[WpKo:정규_직교_기저]]

정규기저(normal basis) : 노름이 1, [[노름,norm]]
직교기저(orthogonal basis) : 모두 서로 수직,
정규직교기저(orthonormal basis) : 정규직교이자 직교기저인 기저
 항상 서로 수직이고 길이가 1

인 것 같다. CHK; from [[WpKo:기저_(선형대수학)]]

정규직교기저는 [[그람-슈미트_과정,Gram-Schmidt_process]] 관련.

= 순서기저 ordered basis =
[[순서기저,ordered_basis]]

기저들의 [[순서,order]]가 중요한 경우 이렇게??

[[순서집합,ordered_set]]의 일종?

tmp
{
https://chocobear.tistory.com/116 이 글에서 [[선형변환,linear_transformation]]의 행렬 표현을 알아보기 위해 순서기저를 먼저 정의
}

= 기저가 될 수 있는/없는 조건 =
상식적으로,
 * 영벡터는 안된다.
 * collinear하면 안된다.
이게 전부다. CHK
수식으로는
 $c_1\vec{a_1}+c_2\vec{a_2}=\vec{0}$
을 만족하는 $c_1,c_2(\in\mathbb{R})$ 가 존재하면 '''기저벡터'''가 될 수 없다.
( $c_1,c_2$ 중 적어도 하나는 0이 아님 )

이유는, $c_1,c_2$ 모두 0이 아니면
 $\vec{a_1}=-\frac{c_2}{c_1}\vec{a_2}$
인데 이것은 $\vec{a_1}//\vec{a_2}$ 를 뜻하며 (위에서 collinear 조건)
둘 중 하나가 0이고 다른 하나가 0이 아니면, 예를 들어 $c_1=0,c_2\ne 0$ 이면 $\vec{a_2}=\vec{0}$ 이렇게 영벡터가 되기 때문.

일차종속과 관련. (see [[선형독립,linear_independence]])
일반적으로 여러 요소 $\vec{a_1},\vec{a_2},\cdots,\vec{a_n}$ 에 대해
 $c_1\vec{a_1}+\cdots+c_n\vec{a_n}=\vec{0}$
을 만족하는 $c_1,\cdots,c_n$ (적어도 하나는 0이 아님) 이 존재하면 $\vec{a_1},\cdots,\vec{a_n}$ 은 일차종속이다.

$\mathbb{R}^2$ 에서 세 개 이상의 요소의 조합은 반드시 일차종속이 된다. (WHY?)

요소의 조합 중에 일차종속이 아닌 것은 일차독립.

$\mathbb{R}^2$ 의 두 요소 $\vec{a_1},\vec{a_2}$ 가 일차독립이면 '''기저 벡터'''가 되며, 일차독립임을 증명하려면
 $c_1\vec{a_1}+c_2\vec{a_2}=\vec{0}$
이 성립하는 것이 $c_1=c_2=0$ 일 때 뿐이라는 사실을 증명하면 됨
(나카이 에츠지)

= 기저벡터가 만드는 평행사변형 =
2D에서, 기저 벡터는 평행사변형을 만들며, 이 면적은
 $e_1=\binom{a}{c},\,e_2=\binom{b}{d}$
일 때
 $|ad-bc|$

즉 (행렬식의 절대값) = (일차변환의 확대율)
// 확대율이란 e1=(1,0),e2=(0,1)가 만드는 1×1=1의 cell에 비해 e1',e2'가 만드는 cell의 크기(평행사변형의 면적)가 얼마나 되는지 얘기.

e,,1,,에서
 반시계 방향 쪽에 e,,2,,이면, 오른손 좌표계. ad-bc>0. //[[좌표계,coordinate_system]]
 시계 방향 쪽에 e,,2,,이면, 왼손 좌표계. ad-bc<0.
CHK

(나카이 에츠지)

= 기저함수 basis function =
[[WpKo:기저_함수]]
[[WpEn:Basis_function]]
Up: [[기저,basis]] [[함수,function]]

= 단항기저 monomial basis =
monomial_basis
[[WpEn:Monomial_basis]]

= 샤우데르 기저 =
Ggl:"샤우데르 기저" Bing:"샤우데르 기저"

= 하멜 기저 =
Ggl:"하멜 기저" Bing:"하멜 기저"

= etc =
벡터공간이 있으면 기저를 항상 찾을 수 있다. (Zorn's lemma를 이용한다고)

한 벡터공간의 기저는 유일하지 않다. (기저 벡터 하나에 스칼라배를 해도 ok이므로)

한 벡터공간의 기저의 수는 유일하다.

[[https://blog.naver.com/er7812/221369104387 src]]


기저 변환은 transition matrix 관련. ([[추이행렬,transition_matrix]])

= tmp links ko =
https://rfriend.tistory.com/164

----
관련: (to link)
[[생성,span]]
[[차원,dimension]] .... '''기저'''의 [[원소,element]]의 수, 즉 기저 속 [[벡터,vector]]의 수 - 이것이 차원? 100% 일치? chk
[[선형성,linearity]]
일차독립/일차종속 - see [[선형독립,linear_independence]]
 서로 다른 '''basis'''끼리는 independent하다. (you know.) 이것에 대해 독립과 관련지어 서술할 것. TBW
일차결합([[선형결합,linear_combination]])

[[축,axis]]과 분명 관련있는데... 정확히?
'''기저'''를 [[기하학,geometry]]적으로 나타낸다면, 각 축 방향으로의 [[단위벡터,unit_vector]]들이 '''기저'''와 동등?
[[주성분분석,principal_component_analysis,PCA]]은 원 data의 [[분산,variance]]을 최대한 보존(?)하는 축을/'''기저'''를 찾으면서 차원축소 dimensionality_reduction 를 하는 것.

[[수학적귀납법,mathematical_induction]]은 '''basis'''와 inductive_step s([[귀납,induction]]적 [[단계,step]]들)로 이루어짐.
''저 basis는 아마 기저로 번역될 건 아니고 base_case 와 동의어?''

----
AKA '''기저벡터''' chk

Twins:
[[https://terms.naver.com/entry.naver?docId=3338457&cid=47324&categoryId=47324 수학백과: 기저]]
[[https://terms.naver.com/entry.naver?docId=5669250&cid=60207&categoryId=60207 수학백과: 기저(위상수학)]] <- ''[[위상,topology]]? chk''
[[WpSimple:Basis_(linear_algebra)]]
[[WpEn:Basis_(linear_algebra)]]
[[WpKo:기저_(선형대수학)]]
https://mathworld.wolfram.com/Basis.html - 뜻이 많으므로 설명을 하지 않고,
https://mathworld.wolfram.com/VectorBasis.html - 여기서 설명함.
https://everything2.com/title/basis+for+a+vector+space
[[https://en.citizendium.org/wiki/Basis_(linear_algebra)]]
[[Libre:기저]]
[[https://terms.naver.com/entry.naver?docId=5810743&cid=60217&categoryId=60217 물리학백과: 기저]]

Up: [[수학,math]] > [[선형대수,linear_algebra]]

----
wikiadmin
여기 '''기저,basis'''는 linalg의 기저,
[[위상수학,topology]] [[위상,topology]]의 기저는 [[기저,base]]로 pagerole 나누면 좋을까? 위상에서도 basis라고 하고 linalg에서도 base라고 하는 듯 하다만... WtEn:basis#Noun WtEn:base#Noun
{
가산기저 Ggl:가산기저
국소기저 Ggl:국소기저
부분기저 Ggl:부분기저
} ...(각종 Ggl:"위상수학 기저") 뭐 이런것들