##수학백과:
성공 확률이 $p$ 인 [[베르누이_시행,Bernoulli_trial]]에서 처음 성공이 일어날 때 까지 반복한 [[시행,trial]] 횟수를 $X$ 라 할 때,
$X$ 를 성공 확률이 $p$ 인 '''기하확률변수'''라 하고
 $X\sim\text{Geo}(p)$
로 나타냄.

= First Version =
$S_X=\{0,1,2,\cdots\}$
$p_k=p(1-p)^k$
 $k=0,1,\cdots$
$\text{E}[X]=\frac{1-p}{p}$
$\text{V}[X]=\frac{1-p}{p^2}$

독립적 [[베르누이_시행,Bernoulli_trial]]에서, X는 처음 성공하기 전까지 벌어진 실패의 횟수. (number of failures before the first success)
기하확률변수는 memoryless property(see [[무기억성,memorylessness]])를 가진 유일한 이산확률변수임.

= Second Version =
$S_{X'}=\{1,2,\cdots\}$
$p_k=p(1-p)^{k-1}$
 $k=1,2,\ldots$
$\text{E}[X']=\frac1p$
$\text{V}[X']=\frac{1-p}{p^2}$

독립적 베르누이 시행에서, $X'=X+1$ 은 처음 --성공하기 전까지-- 성공할 때 까지 시도한 횟수. (number of trials until the first success)

----
Source: Leon-Garcia Table 3.1

----
성공 확률이 $p$ 인 [[베르누이_시행,Bernoulli_trial]]을
성공이 나올때까지 반복한 횟수를 $X$ 라 하면,
$X$ 는 모수가 $p$ 인 [[기하분포,geometric_distribution]]를 따른다고 한다.

기하분포를 따르는 [[확률변수,random_variable]]를 '''기하확률변수''' 또는 줄여서 '''기하변수'''라고 한다.

$X_i \;(i=1,2,\cdots)$ 가 $i$ 번째 베르누이 시행의 결과이면,
$k\ge 1$ 일 때 [[사건,event]]
 $\{X=k\}$
는
 $\{X_1=0,\cdots,X_{k-1}=0,X_k=1\}$ 와 같다.

기하확률변수(geometric RV)의 성질
$X$ 가 모수(성공확률) $p$ 인 기하확률변수이면, 즉 $X\sim\text{Geo}(p)$ 이면,
 * $\text{E}(X)=\frac1p$
 * $\text{V}(X)=\frac{1-p}{p^2}$
 * $X$ 의 [[확률질량함수,probability_mass_function,PMF]]:
  $p_X(k)=p(X=k)=(1-p)^{k-1}p,\;\;\;k=1,2,3,\ldots$

Source: [[https://terms.naver.com/entry.naver?docId=3405096&cid=47324&categoryId=47324 수학백과: 베르누이 시행]] 3.2.

----
Related: [[기하분포,geometric_distribution]]

연속확률변수인 [[지수확률변수,exponential_random_variable]]와 밀접.

----
[[https://terms.naver.com/entry.naver?docId=3338153&cid=47324&categoryId=47324 수학백과: 기하변수]]

Up: [[이산확률변수,discrete_random_variable]]