누적분포함수,cumulative_distribution_function,CDF

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1. 설명

실수 $x$ 에 대해,
$F(x)=P(X\le x)=P(\left{s\in S \middle| X(s)\le x\right})$
로 정의된 함수 $F$ 는 확률변수 $X$누적분포함수 또는 분포함수

확률변수 $X$ 가 연속형 분포를 갖는 경우 확률밀도함수 $f$ 에 대해 $X$누적분포함수 $F$
$F(x)=P(X\le x)=\int_{-\infty}^{x}f(t)dt$
이산형 분포를 갖는 경우

The CDF, $F_X(x),$ is defined by
$F_X(x)=P[\left{\zeta:X(\zeta)\le x\right}]=P_X[(-\infty,x]]$
where
$\left{\zeta:X(\zeta)\le x\right}\subset\Omega$ : Subset of outcome
대문자 $X,Y,Z$ : random variable(s) (확률변수,random_variable)
소문자 $x,y,z$ : Values that random variable(s) can take

ex. $F_X(y)$ means the CDF of random variable $X$ evaluated at the real number $y$
$F_X(y)=P[X\le y]$

2. PDF와의 관계

누적분포함수확률밀도함수의 관계:
$\frac{dF(x)}{dx}=f(x)$
누적분포함수 $F$ 의 도함수(미분,derivative) $f$ 가 PDF.

3. 성질

1. 비감소함수(nondecreasing function)
$x_1<x_2\,\Rightarrow\,F(x_1)\le F(x_2)$
2.
$F(-\infty)=\lim_{\small x\to-\infty}F(x)=0,$
$F(\infty)=\lim_{\small x\to\infty}F(x)=1$
3. 우측 연속 함수
모든 점 $x$ 에 대해, $F(x)=\lim_{\small y\to x, y>x}F(y)=F(x)$

Properties of CDF
1) $0\le F(x)\le 1$
2) $\lim_{x\to\infty}F(x)=1$
3) $\lim_{x\to -\infty}F(x)=0$
4) 비감소함수.
$F(a)\le F(b) \textrm{ if } a<b$
5) 우측에서 연속.
$F(b)=\lim_{h\to 0}F(b+h)=F(b^+)\textrm{ for }h>0$
from 성대 안창욱 http://kocw.net/home/search/kemView.do?kemId=444781 04_2 확률분포함수, 랜덤변수의 변환 55분

Properties of FX(x)
  • $F_X(\infty)=1,\;F_X(-\infty)=0$
  • $x_1\le x_2\to F_X(x_1)\le F_X(x_2)$
    $:F_X(x)$ is a nondecreasing function of $x$
  • $P[a <  X\le b]=F_X(b)-F_X(a)$
  • $P[a\le X\le b]=F_X(b)-F_X(a)+P[X=a]$
  • $P[a <  X  < b]=F_X(b)-F_X(a)-P[X=b]$
  • $P[a\le X  < b]=F_X(b)-F_X(a)+P[X=a]-P[X=b]$
마지막 세 개는 RV가 continuous인 경우에는 고려하지 않아도 됨.
from 금오공과대학교 임완수 http://kocw.net/home/search/kemView.do?kemId=1265854 확률변수 정의 설명 8:45


$F(x)=\int_{-\infty}^{x}f(t)dt$
$F_X(x)=\int_{-\infty}^{x}f_X(t)dt$



cdf는 X가 x 이하일 확률,....?
$F_X(x)=P(X\le x)$
$P(a < X \le b)=F_X(b)-F_X(a)$
$P(X>a)=1-F_X(a)$

via wikipedia english