$P(x)=a_n x^n + a_{n-1}x^{n-1}+\cdots+a_2x^2+a_1x+a_0$
 $n\in\mathbb{Z}^*$ (n is a nonnegative integer)
일 때 [[함수,function|함수]] $P$ 를 '''다항식'''이라고 한다.
 * [[상수,constant|상수]] $a_0,a_1,\cdots,a_n$ 은 다항식의 [[계수,coefficient]]이다.
 * $a_n\ne 0$ 일 때, [[차수,degree]]는 $n$ 이다. 다항식 $P$ 의 차수가 $n$ 인 것을 식으로 나타내면 $\operatorname{deg}(P)=n$ 이다.
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The sums of [[멱함수,power_function|power function]]s with nonnegative integer exponents.
 $P(x)=a_n\cdot x^n+a_{n-1}\cdot x^{n-1}+\cdots+a_1\cdot x + a_0 \qquad\qquad (a_n\neq 0)$
여기서
 $n$ : [[차수,degree]] - https://mathworld.wolfram.com/PolynomialDegree.html
 $x$ : [[변수,variable]]
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모든 '''다항식'''의 [[정의역,domain]]은
 $\mathbb{R}=(-\infty,\infty)$
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'''다항식,polynomial'''은, [[단항식,monomial]](들)의 [[합,sum]].

'''다항식''' 중에서, 더해지는 [[항,term]]의 개수가 1이면 단항식. (이름과는 좀 맞지 않지만) (i.e. 다항식은 항상 '많은 수의 항, 여러 개의 항'이 아님. 단항식도 다항식의 일종. 다항식의 특수한 경우(항이 한 개인 경우)가 단항식.)
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See also [[다항함수,polynomial_function]]
{
다음과 같이 표현되는 함수 $P$ 를 '''다항함수'''라고 한다.
 $P(x)=a_nx^n+a_{n-1}x^{n-1}+\cdots+a_2x^2+a_1x+a_0$
여기서 $n$ 은 음이 아닌 정수이고
$a_0,a_1,a_2,\ldots,a_n$ 은 상수로서 다항함수의 [[계수,coefficient]]라 한다.
임의의 다항함수의 정의역은 $\mathbb{R}=(-\infty,\infty)$ 이다.
최고차항 계수가 $a_n\ne 0$ 이면, 다항함수의 [[차수,degree]]는 $n$ 이다.
1차 다항함수는 일차함수(선형함수)
2차 다항함수는 [[이차함수,quadratic_function]]
3차 다항함수는 [[삼차함수,cubic_function]]
(Stewart 8e 번역서)

MKLINK
[[다항식,polynomial]]

두 [[다항식,polynomial]] 또는
두 다항함수의 [[비,ratio]]는 [[유리함수,rational_function]]

$f$ 가 $n$ 차(degree) 다항함수라면, $f$ 의 그래프는 최대 $n-1$ 개의 turning points(증감이 바뀌는 점)를 갖는다. CHK

Up:
 [[다항식,polynomial]]
 [[함수,function]]
}

----
선형대수적 관점에서, [* https://www.youtube.com/watch?v=TgKwz5Ikpc8 7:50]
[[공간,space]]: all polynomials
[[기저,basis]] functions:
 $b_0(x)=1$
 $b_1(x)=x$
 $b_2(x)=x^2$
 $b_3(x)=x^3$
 $\vdots$
그리고 이것들의 [[선형결합,linear_combination]]이 '''polynomial'''...
''QQQ 명칭이 [[기저함수]] ? Ndict:기저함수 ([[LCAO]]언급) Ggl:기저함수 WtEn:basis_function WpEn:basis_function ? 
----
Sub:
 [[테일러_다항식,Taylor_polynomial]]
 [[특성다항식,characteristic_polynomial]] - [[특성방정식,characteristic_equation]]의 LHS
 [[직교다항식,orthogonal_polynomial]] - curr at [[직교성,orthogonality]]
 [[르장드르_다항식,Legendre_polynomial]] - writing
 [[최소다항식,minimal_polynomial]] - writing
{
[[https://terms.naver.com/entry.naver?docId=3405353&cid=47324&categoryId=47324 수학백과: 최소다항식]]에는 다음 두 뜻이.
[[https://terms.naver.com/entry.naver?docId=3405354&cid=47324&categoryId=47324 수학백과: 최소다항식(선형대수학)]]
[[https://terms.naver.com/entry.naver?docId=3405355&cid=47324&categoryId=47324 수학백과: 최소다항식(체론)]]
}
 [[라그랑주_다항식,Lagrange_polynomial]] - writing ... rel. [[보간,interpolation]] > [[라그랑주_보간,Lagrange_interpolation]]
 [[방데르몽드_다항식,Vandermonde_polynomial]] - [[방데르몽드_행렬,Vandermonde_matrix]]의 [[행렬식,determinant]]. (curr see [[행렬,matrix]])
 [[monic_polynomial]] - 최고차항 계수가 1인 다항식. 작성중.
 [[Laguerre_polynomial]] - 작성중
 [[Jacobi_polynomial]] - 〃
 [[기약다항식,irreducible_polynomial]] - 〃
 [[가약다항식,reducible_polynomial]] - 〃

 [[다항식높이,polynomial_height]] (? tentative pagename) - w
  https://mathworld.wolfram.com/PolynomialHeight.html

= TBW - 용어/분류 임시 =
다항식의 용어들이나 분류 - 서술예정, 개요만 간략히 적어둠 (고급수학.pdf p35)
{
다항식
 $f(x)=a_nx^n+a_{n-1}x^{n-1}+\cdots+a_1x+a_0$
where
 $n$ : 음이 아닌 정수, $\mathbb{Z}^\star$
 $a_0,a_1,\cdots,a_n$ : $\mathbb{Q,R,C}$ 중 하나, 계수
에서,
 $a_n\ne 0$ 일 때,
  $\operatorname{deg}(f)=n$ : 차수
  $a_n$ : 최고차항의 계수
 $a_1=a_2=\cdots=a_{n-1}=a_n=0,$ 즉 $f=a_0$ 일 때 $f$ 는 '''상수다항식'''.
  $a_0\ne0$ 이면 $f$ 의 차수는 0
  $a_0=0$ 이면 $f$ 의 차수는 -∞이며 $f$ 는 '''영다항식'''.

$g=qf$ 만족시키면 $f$ 가 $g$ 를 나눈다고 하며 $f|g$ 로 나타냄. 이 때
 $f$ 는 $g$ 의 '''약다항식'''
 $g$ 는 $f$ 의 '''배다항식'''

나눗셈정리 - 몫과 나머지가 유일하게 존재한다는..
나머지정리 - $f(c)=0$ 이면 $f(x)=(x-c)q(x)$ 를 만족하는 $q(x)$ 가 유일하게 존재
최대공약다항식
기약다항식 - 곱으로 나타낼 수 없을 때..
다항식의 인수분해 정리 - 다항식은 기약다항식들의 곱으로 표시되고 그 표시 방법은 유일..
근본다항식 - 계수들을 모두 나누는 정수가 ±1 뿐일 때
가우스의 정리 - 다항식의 기약성에 관한
}

= TBW : polynomial representation (by points?) =
$(d+1)$ points uniquely define a degree $d$ polynomial
https://www.youtube.com/watch?v=h7apO7q16V0 4:25

이건 아마도 '결정조건'? (note.txt에서 결정조건 검색)

= 계산 알고리즘 - Horner's method =
호너_방법? [[Horner_method]]
다항식
 $p(x)=a_n x^n + a_{n-1} x^{n-1} + \cdots + a_1 x + a_0$
의 값을 계산(calculation, evaluation)할 때 연산을 줄이는 방법.
다음과 같이 변형하여 가장 안쪽 괄호부터 계산.
 $p(x)=(\cdots((a_n x + a_{n-1})\times x + a_{n-2})\times x + \cdots + a-1)\times x + a_0$

단순한 방법으로는
 $b_n=a_n\times x_0\times \cdots \times x_0$ (곱셈 $n$ 번)
 $b_{n-1}=a_{n-1}\times x_0\times \cdots \times x_0$ (곱셈 $n-1$ 번)
 $\vdots$
 $b_2=a_2\times x_0\times x_0$ (곱셈 2번)
 $b_1=a_1\times x_0$ (곱셈 1번)
 $p(x)=b_n+b_{n-1}+\cdots+b_1+a_0$
호너 방법으로는
 $c_n=a_n\times x_0+a_{n-1}$
 $c_{n-1}=c_n\times x_0+a_{n-2}$
 $\vdots$
 $c_3=c_4\times x_0+a_2$
 $c_2=c_3\times x_0+a_1$
 $p(x)=c_2\times x_0+a_0$

이렇게 연산하게 되므로,

단순한 방법으로는 덧셈 $n$ 번과 곱셈 $n(n+1)/2$ 번,
호너 방법으로는 덧셈 곱셈 각각 $n$ 번.

(컴퓨터 알고리즘, 박정호)

WpKo:호너의_방법
[[WpEn:Horner's_method]]
다만 MW에서 쓰는 용어는 https://mathworld.wolfram.com/HornersRule.html 이다. https://mathworld.wolfram.com/HornersMethod.html 가 아니고.
 ''[[Date(2023-08-16T03:43:46)]]: found [[WtEn:Horner's_method]] & [[WtEn:Horner's_rule]]''
  ''is_a 다항식평가 polynomial_evaluation ? { Up: [[다항식,polynomial]] [[평가,evaluation]] }''

= w =
Sub:
[[매듭다항식,knot_polynomial]]

----
Twins:
https://en.citizendium.org/wiki/Polynomial
https://mathworld.wolfram.com/Polynomial.html
https://artofproblemsolving.com/wiki/index.php/Polynomial
https://everything2.com/title/Polynomial
Libre:다항식

http://oeis.org/wiki/Polynomials

Up: [[식,expression]]?