#noindex
// tmp: 대수-, algebr- 라는 이름이 붙은 것들.. sub. ''이것들 pagename 정할 때 prefix를(ie algebraic의 번역을) 대수- 대수적- 중에 하나로 통일하면 좋겠는데''
// [[Date(2023-11-27T05:08:32)]] 현실적으로 매우 어려움, (바로 아랫줄) '대수적 수'를 '대수수'라고 하면 너무 이상한... 등등. -적을 붙이지 않으면 용어가 어색해지는 경우가 많음. / 무슨무슨 algebra(subfields)는 -대수학 말고 -대수 로 통일할까? 
대수적 수 algebraic_number Srch:algebraic_number WtEn:algebraic_number
 MKL [[대수적정수론,algebraic_number_theory]]
 https://oeis.org/wiki/Algebraic_numbers
 https://mathworld.wolfram.com/AlgebraicNumber.html
 https://encyclopediaofmath.org/wiki/Algebraic_number
대수방정식 algebraic_equation - see [[방정식,equation#s-1]]
대수적함수? [[대수함수,algebraic_function]] - see [[함수,function#s-9]]
[[대수구조,algebraic_structure]] - writing; [[구조,structure]]? { 대수적 구조 }
[[대수적정수론,algebraic_number_theory]] - [[정수론,number_theory]]
대수적 정수 algebraic_integer - https://oeis.org/wiki/Algebraic_integers https://ncatlab.org/nlab/show/algebraic+integer - [[정수,integer]] { 대수정수 ? }
대수(적) 곡선 algebraic_curve - writing - [[곡선,curve]] { 대수곡선? }
대수적 대상 algebraic_object - [[대상,object]]? { 대수대상 ? }
대수적 위상수학 algebraic_topology - see [[위상,topology]]
algebraically_closed_field 대수적닫힌체?? - writing // 저 아래 fta 쪽에 mentioned
algebraic_closure 대수폐포? - writing - [[폐포,closure]] { 대수적 폐포 }
[[대수학의기본정리,fundamental_theorem_of_algebra,FTA]]

// tmp: - 대수, - algebra 라는 이름이 붙은 것들
[[시그마대수,sigma-algebra]]
[[불_대수,Boolean_algebra]]
[[바나흐_대수,Banach_algebra]] - 작성중. tmp see https://proofwiki.org/wiki/Definition:Banach_Algebra
로빈스_대수 or 라빈스_대수? (미국인) [[Robbins_algebra]] - writing ... 1996년 [[불_대수,Boolean_algebra]]임이 증명됨. See [[WpEn:Robbins_algebra]]
 // mklink Claude_Shannon 논문 관련해... curr at [[논리회로,logic_circuit]] 맨 아래
[[선형대수,linear_algebra]]
[[다중선형대수,multilinear_algebra]]
[[나눗셈대수,division_algebra]] ~= [[나눗셈환,division_ring]] { WtEn:division_algebra WtEn:division_ring (hyponym: division_algebra / hypernym: noncommutative_ring / syn: WtEn:skew_field)  .... mentioned in [[나눗셈,division]], [[체,field]](skew field), [[환,ring]](division ring) }
[[exterior_algebra]] aka Grassmann_algebra (writing)
[[Hopf_algebra]] (writing) WtEn:Hopf_algebra WpEn:Hopf_algebra
 [[shuffle_algebra]] { shuffle_product WpEn:Shuffle_algebra }
[[쌍대대수,coalgebra]] (writing) WtEn:coalgebra
[[클리퍼드_대수,Clifford_algebra]] (writing)
 [[symplectic_Clifford_algebra]] - WtEn:symplectic WpEn:Symplectic ?
 [[orthogonal_Clifford_algebra]] - [[직교성,orthogonality]]?
[[기하대수,geometric_algebra]] (rel. 클리퍼드) (클리퍼드 밑에 writing)
[[결합대수,associative_algebra]] - writing WtEn:associative_algebra WpEn:Associative_algebra
[[nonassociative_algebra]] = [[non-associative_algebra]] (mentioned in [[결합법칙,associativity]])
 [[리_대수,Lie_algebra]] - writing
[[symmetric_algebra]] - writing
[[바일_대수,Weyl_algebra]] - writing
[[genetic_algebra]] { [[WpEn:Genetic_algebra]]-보면 variations가 다양하다. https://encyclopediaofmath.org/wiki/Genetic_algebra Google:genetic+algebra }
[[Huntington_Algebra]] { https://mathworld.wolfram.com/HuntingtonAxiom.html rel. [[불_대수,Boolean_algebra]] https://proofwiki.org/wiki/Definition:Huntington_Algebra Google:Huntington.Algebra }
[[star-algebra]] { '''*-algebra''' https://ncatlab.org/nlab/show/star-algebra }
[[Leibniz_algebra]] - writing { WpEn:Leibniz_algebra }
[[Zinbiel_algebra]] { 명칭은 Leibniz를 거꾸로 한 것. (we)"Zinbiel algebra or dual Leibniz algebra" rel. Koszul_dual Koszul_duality { Koszul dual / Koszul duality 
 코쥘 쌍대 / 코쥘 쌍대성 ? ... rel [[operad]] =,operad . { operad REL. [[operad_algebra]] [[multicategory]] =,multicategory . { [[범주,category]] [[arity]] [[operad]] WtEn:multicategory WpEn:Multicategory Ggl:Multicategory  } rel. [[이항연산,binary_operation]] [[일반화,generalization]] [[추상화,abstraction]] [[연산,operation]] [[연산자,operator]] [[피연산자,operand]] [[pseudoalgebra]] ... WpKo:오퍼라드 WpEn:Operad  https://ncatlab.org/nlab/show/operad Ggl:operad } WpEn:Koszul_duality https://ncatlab.org/nlab/show/Koszul+duality Naver:"코쥘 쌍대성" Ggl:"코쥘 쌍대성" Ggl:Koszul+duality } WpEn:Zinbiel_algebra }
[[pseudoalgebra]]  =,pseudoalgebra . { pseudoalgebra rel. [[operad]] ... Ggl:Pseudoalgebra Naver:pseudoalgebra Ggl:pseudoalgebra }
[[합성대수,composition_algebra]] - writing
[[graded_algebra]] - writing
[[텐서대수,tensor_algebra]] - writing
[[differential_algebra]] - writing
median_algebra - https://encyclopediaofmath.org/wiki/Median_algebra WpEn:Median_algebra
[[incidence_algebra]] - writing
[[unital_algebra]] - tmp see WpEn:Unital_algebra (redirect)
[[멱영대수,nilpotent_algebra]] - writing

----
'''대수,algebra'''란? ''(학문 이름인 대수학=대수=algebra 말고)''

[[집합,set]] $X$ 의 [[부분집합,subset]]들의 모임''(영어로 뭐지? collection? set? family?)'' $\mathcal{A}$ 가, 다음 두''(셋 아닌가?)'' 조건을 만족시키면
이것을 $X$ 의 부분집합들이 이루는 '''대수,algebra'''라고 한다.
 $\bullet\; X\in\mathcal{A}$
 $\bullet\; A,B\in\mathcal{A}$ 이면 $A\setminus B := \left\lbrace a \in A \middle| a \not\in B \right\rbrace \in\mathcal{A}$
 $\bullet\; A,B\in\mathcal{A}$ 이면 $A\cup B\in\mathcal{A}$
''(그리고)'' 집합 $X$ 의 부분집합으로 이루어진 대수 $\mathcal{A}$ 중에서 $\mathcal{A}$ 에 있는 임의의 열''(sequence? curr see [[수열,sequence]])'' $\left\lbrace A_n \right\rbrace$ 에 대해
 $\bigcup_{n=1}^{\infty}A_n \in \mathcal{A}$
가 성립하면 [[시그마대수,sigma-algebra]]라고 한다.
// from [[https://terms.naver.com/entry.naver?docId=5668853&cid=60207&categoryId=60207 수학백과: 시그마 대수]] (이후 section 1까지 algebra)

----
[[대수구조,algebraic_structure]]
{
'''대수 구조, 대수적 구조'''

를 매우 간략히 설명하면
 1. [[집합,set]]
 2. 집합 속 원소들에 대한 각종 [[연산,operation]]들
의 묶음

[[https://terms.naver.com/entry.naver?docId=4125224&cid=60207&categoryId=60207 수학백과: 대수적 구조]]

----
Sub:
 [[군,group]]
 [[환,ring]]
 [[체,field]]
 [[벡터공간,vector_space]]
 [[마그마,magma]]

 semiring - 반환
 quasigroup - 유사군, 준군 (not in kms)
 semigroup - 반군, 준군 - 반군(kms)
 groupoid - 아군, 준군 (즉 이상 세개를 보면 한국어 단어 '준군'의 용법은 통일되지 않았다) / 준군, 버금군(kms)
 [[모노이드,monoid]] - 단위원(이) 있는 반군(kms)
 pseudoring, rng - 유사환
 subgroup - 부분군

 [[항등원,identity_element]]
 [[역원,inverse_element]]

Twins:
[[https://terms.naver.com/entry.nhn?docId=4125224&ref=y&cid=60207&categoryId=60207 수학백과: 대수적 구조]]
WpKo:대수_구조
WpEn:Algebraic_structure

Up: 범주론 category_theory - see [[범주,category]]
mklink [[추상대수,abstract_algebra]]
}

= Subfields =
[[선형대수,linear_algebra]]
[[불_대수,Boolean_algebra]]
범주론 category theory
 [[범주,category]] [[WpEn:Category_(mathematics)]] 카테고리 
  [[WpEn:Functor]] [[WpKo:함자_(수학)]]
  [[WpEn:Morphism]] [[WpKo:사상_(수학)]]
  [[사상,map]]
[[추상대수,abstract_algebra]]
{
'''추상대수학'''

//from wpen
The study of [[대수구조,algebraic_structure]]. 이것은 다음을 포함.
[[군,group]]
[[환,ring]]
[[체,field]]
[[가군,module]]
[[격자,lattice]] ([[순서론,order_theory]] 의 격자. curr see [[순서,order]]

mklink
[[집합,set]]
[[연산,operation]]

Sub:
 가환대수,commutative_algebra { [[대수기하,algebraic_geometry]]와 밀접. https://mathworld.wolfram.com/CommutativeAlgebra.html WpKo:가환대수학 }

 // via wpko (이하 대충 대수학의 sub학문 및 그 연구대상)
 군론 group_theory - [[군,group]]
 반군론 - [[반군,semigroup]]이나 [[모노이드,monoid]]등
 [[가환대수,commutative_algebra]](학) - [[가환환,commutative_ring]]과 그 위의 [[가군,module]]
  [[선형대수,linear_algebra]](학) - [[체,field]] 위의 [[가군,module]]에 대한, 가환대수(학)의 특수한 경우.
 환론 ring_theory - [[환,ring]] 및 (WpKo:유사환 = pseudoring = rng = [[WpEn:Rng_(algebra)]])과 그 위의 [[가군,module]]
 격자론 lattice_theory - [[격자,lattice]], [[헤이팅_대수,Heyting_algebra]], [[불_대수,Boolean_algebra]]
 체론 field_theory - [[체,field]]
 모든 [[대수구조,algebraic_structure]]에 공통되는 특성은 [[보편대수,universal_algebra]](보편대수학) 및 [[범주론,category_theory]]([[범주,category]]론)에서 다룬다.

Bmks en:
Mathonline: Abstract Algebra
http://mathonline.wikidot.com/abstract-algebra

Twins:
https://mathworld.wolfram.com/AbstractAlgebra.html
https://mathworld.wolfram.com/classroom/classes/AbstractAlgebra.html (MathWorld classroom: Abstract Algebra Course)
[[WpSimple:Abstract_algebra]]
[[WpKo:추상대수학]]
[[WpEn:Abstract_algebra]] (occasionally called '''modern algebra''')
https://wiki.mathnt.net/index.php?title=추상대수학
https://everything2.com/title/abstract+algebra
}

= fusion? =
[[대수기하,algebraic_geometry]] - curr see [[기하학,geometry]]

= Topics =
[[수,number]]
 esp. 대수적 수 algebraic_number
  참고로, algebraic_number_theory 는 algebraic_number + theory 가 아니라 algebraic + number_theory 이다. - '''대수적''' [[정수론,number_theory]] - [[대수적정수론,algebraic_number_theory]] - curr. see 정수론
[[함수,function]] 
[[사상,map]] - 함수를 일반화/추상화한 것? chk

[[대수학의기본정리,fundamental_theorem_of_algebra,FTA]]
{
이 표현들 대충 느낌으로 적은 건데 엄밀히 chk
 일반적인 의미의 [[수,number]]의 확장으로는 복소수가 final이다? 더 이상은 없다?
 n차 방정식의 근은 복소수 범위에서 n개?
 아무튼 사실은
  복소수체{ [[복소수,complex_number]] [[체,field]] }는 [[algebraically_closed_field]](writing) - rel. [[algebraic_closure]](writing)
  이며 실수체{ [[실수,real_number]] [[체,field]] }는 그렇지 않다는 것이고 .... tbw, chk

misc links (del)
[[Namu:공대개그/예시#s-2.28]] i.e. 복소수체와 그것의 algebraic_closure 가 일치하므로 '''fta'''가 참이다 - fta 증명방법 중 하나?

mklink
[[복소수,complex_number]] [[체,field]] [[복소수체,complex_number_field]]
 QQQ complex_field 는 complex number field 와 같은건지 아님 다른 의미가 있는지? Google:complex.field
[[근,geun,root]]

Misc
유사한 이름 (fundamental_theorem) : [[미적분학의기본정리,FTC]]

Twins:
[[http://terms.naver.com/entry.nhn?docId=3574277&cid=58944&categoryId=58970 수학산책: 대수학의 기본 정리]]
[[WpKo:대수학의_기본_정리]]
[[Namu:대수학의%20기본정리]]
https://encyclopediaofmath.org/wiki/Algebra,_fundamental_theorem_of
https://ncatlab.org/nlab/show/fundamental+theorem+of+algebra

https://artofproblemsolving.com/wiki/index.php/Fundamental_Theorem_of_Algebra

}
----
[[대수구조,algebraic_structure]]: [[집합,set]]+[[연산,operation]]의 결합?

// magma와 groupoid의 용법이 완전히 확립+독립 된 게 아니라 페이지 만들기가 꺼려지는데..
[[마그마,magma]] or groupoid ([[http://www.kms.or.kr/mathdict/list.html?key=ename&keyword=groupoid 준군, 버금군]])
{
[[집합,set]]과 한 [[이항연산,binary_operation]]에 대해 닫힘closed 외의 추가 조건이 없는 대수구조.

[[WpKo:마그마_(수학)]]
[[WpEn:Magma_(algebra)]]
https://ncatlab.org/nlab/show/magma
https://groupprops.subwiki.org/wiki/Magma
https://proofwiki.org/wiki/Definition:Magma - Also known as 에 groupoid 언급 참조.

https://planetmath.org/groupoid
https://mathworld.wolfram.com/Groupoid.html
https://ncatlab.org/nlab/show/groupoid
https://groupprops.subwiki.org/wiki/Groupoid

Up: [[대수구조,algebraic_structure]]
}

[[반군,semigroup]]
{
## semigroup, semi-group
한 [[이항연산,binary_operation]]에 대해 [[닫힘성,closure]]과 [[결합법칙,associativity]]만이 성립? chk
https://ncatlab.org/nlab/show/semigroup
 [[모노이드,monoid]]인데 [[항등원,identity_element]]이 없어도 된다
 "semigroup"이 표준 용어지만 "semimonoid"가 더 체계적 명칭. systematic name.
https://proofwiki.org/wiki/Definition:Semigroup
}
[[모노이드,monoid]]
{
[[반군,semigroup]]에 더해 [[항등원,identity_element]]까지 갖는 경우? chk

Sub: [[자유모노이드,free_monoid]]

https://proofwiki.org/wiki/Definition:Monoid
}
[[군,group]]
{
[[모노이드,monoid]]에 더해 임의 원소의 [[역원,inverse_element]]까지 갖는 경우? chk
}
[[가환군,commutative_group]]
{
[[군,group]]에 더해 [[교환법칙,commutativity]]까지 만족하는 경우? chk

groupoid = 준군, 버금군

닫힘 - 이라는 건 이항연산이 항상 정의됨을 함의?

||[[마그마,magma]]||닫힘 이항연산만? [[WpKo:마그마_(수학)]] ||
||[[,groupoid]]?? ||이항연산+역원? [[WpKo:준군]] ||
||[[반군,semigroup]] ||닫힘+결합법칙 [[Namu:반군(수학)]] ||
||[[모노이드,monoid]] ||닫힘+결합법칙+항등원 ||
||[[군,group]]        ||닫힘+결합법칙+항등원+역원 ||
||[[가환군,commutative_group]] ||닫힘+결합법칙+항등원+역원+교환법칙 ||

// 이상 via http://www.ktword.co.kr/test/view/view.php?m_temp1=5682&id=1084
}
가군,module
[[환,ring]]
[[체,field]]
[[아이디얼,ideal]]
..
마그마 ⊊ 반군 ⊊ 모노이드 ⊊ 군

----
표현
algebraist n. 대수학자

----
Twins:
https://en.citizendium.org/wiki/Algebra
https://everything2.com/title/algebra
[[https://terms.naver.com/entry.naver?docId=4125227&cid=60207&categoryId=60207 수학백과: 대수학]] - 역사 위주
 목차 바로 전 "참고로, 대수(algebra)라는 용어가 수학의 한 분과인 대수학과 대수적 구조인 대수를 나타내는 데 혼용되고 있어서"
 ''[[대수,algebra]]라는 별도 페이지 mk? - wpen에선 [[algebraic_structure]]의 일종인 [[WpEn:Algebra_over_a_field]]([[Date(2022-03-26T19:00:20)]] 현재 corresp wpko 없)'' 
[[WpKo:대수학]]
[[WpSimple:Algebra]]
[[WpEn:Algebra]]

https://artofproblemsolving.com/wiki/index.php/Algebra
https://www.euclideanspace.com/maths/algebra/index.htm

----
Up: [[수학,math]]