∇, $\nabla$ 또는 $\vec{\nabla}$

[[벡터미적분,vector_calculus]]에서 쓰이는 기호.

정의
$\nabla\eq\left( \frac{\partial}{\partial x}, \frac{\partial}{\partial y}, \frac{\partial}{\partial z} \right)$

이거 맞나 CHK
$\nabla\eq\hat{\imath}\frac{\partial}{\partial x}+\hat{\jmath}\frac{\partial}{\partial y}+\hat{k}\frac{\partial}{\partial z}$
i,j,k를 오른쪽에 쓸 수도 있지만, 이렇게 왼쪽으로 쓰는 게 더 좋아 보임. 왜냐면 [[기울기,gradient]]를 표현할 때 대상을 바로 이렇게 오른쪽에 쓸 수 있기 때문 (중요한 건 아니지만)
$\nabla Q\eq\hat{\imath}\frac{\partial Q}{\partial x}+\hat{\jmath}\frac{\partial Q}{\partial y}+\hat{k}\frac{\partial Q}{\partial z}$

$\nabla = \mathbf{\hat{x}} {\partial \over \partial x}  + \mathbf{\hat{y}} {\partial \over \partial y} + \mathbf{\hat{z}} {\partial \over \partial z}$ (Cartesian)
TBW (cylindrical)
(spherical)
WpEn:Differential_operator

3차원 공간에서만? - No, n차원에서 정의 가능. 다음과 같이.
 $\nabla=\left(\frac{\partial}{\partial x_1},\cdots,\frac{\partial}{\partial x_n}\right)$

기하학적으로, 각 ([[축,axis]]이나 [[기저,basis]])에 대한 [[편미분,partial_derivative]] 연산자로 만든 [[벡터,vector]]??? CHK

AKA '''gradient operator'''

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직각좌표계에서
 $\nabla=\frac{\partial}{\partial x}\vec{a_x}+\frac{\partial}{\partial y}\vec{a_y} + \frac{\partial}{\partial z}\vec{a_z}$

원통좌표계에서
 $\nabla=\vec{a_{\rho}}\frac{\partial}{\partial\rho}+\vec{a_{\phi}}\frac{1}{\rho}\frac{\partial}{\partial\phi}+\vec{a_z}\frac{\partial}{\partial z}$

구좌표계에서
 $\nabla=\vec{a_r}\frac{\partial}{\partial r}+\vec{a_{\theta}}\frac{1}{r}\frac{\partial}{\partial\theta}+\vec{a_{\phi}}\frac{1}{r\sin\theta}\frac{\partial}{\partial\phi}$

(Sadiku 식 3.16, 3.19, 3.23)

= 응용 =
||$\operatorname{grad} f$ || $\nabla f$       ||[[기울기,gradient]] ||
||$\operatorname{div} f $ || $\nabla\cdot f$  ||[[발산,divergence]] ||
||$\operatorname{curl} f$ || $\nabla\times f$ ||[[회전,curl]] ||

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||스칼라 V의 기울기 ||∇V ||
||벡터 '''A'''의 발산 ||∇·'''A''' ||
||벡터 '''A'''의 회전 ||∇×'''A''' ||
||스칼라 V의 라플라시안 ||∇^^2^^V ||
(Sadiku 3.4)

= 2차원의 경우 =
정의는 이렇게 되고
 $\nabla=\left( \frac{\partial}{\partial x}, \frac{\partial}{\partial y} \right)$
[[기울기,gradient]]는
 $\nabla f(x,y) = \left( \frac{\partial f}{\partial x}, \frac{\partial f}{\partial y} \right)$

= Properties =
⑴ $\nabla(U+V)=\nabla U+\nabla V$
⑵ $\nabla(UV)=U\nabla V+V\nabla U$
⑶ $\nabla V^n=nV^{n-1}\nabla V$
(Ulaby 7e p156 3-4.2)
// 생각: [[RR:미분연산자]]와 매우 비슷.

tmp see also [[기울기,gradient#s-4]] (Thomas)

= tmp: 여러 좌표계에서 =
CLEANUP; see https://youtu.be/IMeFstR6g8Q
unit vector를 $\hat{a_x},\cdots$ 대신 편의를 위해 $\hat{x},\cdots$ 로 적음

직각
 $\nabla=\frac{\partial}{\partial x}\hat{x}+\frac{\partial}{\partial y}\hat{y}+\frac{\partial}{\partial z}\hat{z}$
원통
 $\nabla=\frac{\partial}{\partial\rho}\hat{\rho} + \frac{1}{\rho}\frac{\partial}{\partial\phi}\hat{\phi} +\frac{\partial}{\partial z}\hat{z}$
구
 $\nabla=\frac{\partial}{\partial r}\hat{r}+\frac1{r}\frac{\partial}{\partial\theta}\hat{\theta} + \frac{1}{r\sin\theta}\frac{\partial}{\partial\phi}\hat{\phi}$

즉 앞에 붙는게
||$1$ ||$1$            ||$1$ ||
||$1$ ||$\frac1{\rho}$ ||$1$ ||
||$1$ ||$\frac1{r}$    ||$\frac{1}{r\sin\theta}$ ||
이런 ..? CHK

[[좌표계,coordinate_system#s-3]](find: scale factor)에도 같은 내용 있음

= ysi (전자기학) =
직각
 $\nabla\eq \frac{\partial}{\partial x}\vec{a_{x}}+\frac{\partial}{\partial y}\vec{a_{y}}+\frac{\partial}{\partial z}\vec{a_{z}}$
분모에 거리가 있으므로 단위는 (1/m) 라 한다.
마찬가지 논리로 Laplacian은 단위가 (1/m^^2^^) 라 함.


from [[http://www.kocw.net/home/search/kemView.do?kemId=320366 ysi]] 4강 21m

= 글자 =
유니코드 U+2207
TeX \nabla

= tmp: 비교: 위치벡터와 디퍼렌셜과 델 =
[[위치벡터,position_vector]]
 $\vec{r}=x\hat{x}+y\hat{y}=z\hat{z}$
[[미분,differential]]
 $d\vec{r}=\hat{x}dx+\hat{y}dy+\hat{z}dz$
'''델 연산자'''
 $\nabla=\hat{x}\frac{\partial}{\partial x}+\hat{y}\frac{\partial}{\partial y}+\hat{z}\frac{\partial}{\partial z}$

델 연산자의 정의:
 $du=(\nabla u) \cdot d\vec{r}$

// from 차동우 https://youtu.be/IAIADoy83as?t=470 나머지 나중에 tbw

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RENAMETHISPAGE to del_operator? or just nabla?

AKA $\vec{\nabla}$

Twins:
[[WpKo:델_(연산자)]]
[[WpEn:Del]]
[[Namu:델(연산자)]]
https://ncatlab.org/nlab/show/nabla - AKA '''atled''' (delta의 철자를 거꾸로 한 것. ohm ↔ mho 와 비슷?)
Google:del+operator

Up: [[벡터미적분,vector_calculus]]
[[연산자,operator]]
[[미분연산자,differential_operator]]?