디랙 델타 함수 Dirac delta function AKA 델타 함수 delta function

다음 두 조건을 만족하는 함수이다.
$1.\;\delta(x) = \begin{cases} +\infty & (x = 0) \\ 0 & (x \ne 0) \end{cases}$
$2.\;\int_{-\infty}^\infty \delta(x) \, dx = 1$

단위임펄스함수,unit_impulse_function와 동일?

- wpen첫부분 "also known as the unit impulse"

임펄스함수,impulse_function
크로네커_델타,Kronecker_delta와 관련성 TBW

델타함수의 이산형 버전(discrete version)이 크로네커 델타.[1]

단위계단함수,unit_step_function과 차이 tbw
비약 불연속(jump discontinuity)의 개념 적절한 곳에 적을 것 tbw
{
이 점에서는 좌극한과 우극한이 둘 다 존재하나 서로 같지 않아서 결국 극한,limit이 존재하지 않는다. 그리고 불연속(불연속성,discontinuity)이다. chk
}

적분하면 부호함수와 관련, chk 부호,sign

1. 성질
2. 변형, x축으로 a만큼 이동
3. 위의 둘을 결합하면
4. 또 성질
5. 3차원 버전
6. Excerpts

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1. 성질 ¶

무엇에든 0을 곱하면 항상 0이므로, 임의의 함수 $f$ 와 실수 $x$ 에 대해

$f(x)\delta(x)=f(0)\delta(x)$

따라서

$\int\nolimits_{-\infty}^{\infty} f(x)\delta(x)dx$
$=\int\nolimits_{-\infty}^{\infty} f(0)\delta(x)dx$

$f(0)$ 은 상수이므로

$=f(0)\int\nolimits_{-\infty}^{\infty}\delta(x)dx$
$=f(0)\cdot 1$
$=0$

i.e.

$\int_{-\infty}^{\infty} f(x)\delta(x)dx=0$

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2. 변형, x축으로 a만큼 이동 ¶

$\delta(x-a)=\begin{cases}0,&x\ne a\\ \infty,&x=a\end{cases}$

$\int_{-\infty}^{\infty}\delta(x-a)dx=1$

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3. 위의 둘을 결합하면 ¶

$\int_{-\infty}^{\infty}f(x)\delta(x-a)dx=f(a)$
(중요)

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4. 또 성질 ¶

$\delta(kx)=\frac1{|k|}\delta(x)$ - 증명 받아적기 생략
$\delta(-x)=\delta(x)$

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5. 3차원 버전 ¶

$\delta^3(\vec{x})=\delta(x)\delta(y)\delta(z)$
$\int_{\rm all space}\delta^3(\vec{x})dv=1$
$\int_{\rm all space}\delta^3(\vec{x}-\vec{a})f(\vec{x})dv=f(\vec{a})$

이상