'''디랙 델타 함수 Dirac delta function''' AKA '''델타 함수 delta function'''

다음 두 조건을 만족하는 함수이다.
$1.\;\delta(x) = \begin{cases} +\infty & (x = 0) \\ 0 & (x \ne 0) \end{cases}$
$2.\;\int_{-\infty}^\infty \delta(x) \, dx = 1$


[[단위임펄스함수,unit_impulse_function]]와 동일?
 - wpen첫부분 "also known as the unit impulse"
[[임펄스함수,impulse_function]]
[[크로네커_델타,Kronecker_delta]]와 관련성 TBW
 '''델타함수'''의 이산형 버전(discrete version)이 크로네커 델타.[* Weisstein, Eric W. "Kronecker Delta." From MathWorld--A Wolfram Web Resource. https://mathworld.wolfram.com/KroneckerDelta.html]

[[단위계단함수,unit_step_function]]과 차이 tbw
비약 불연속(jump discontinuity)의 개념 적절한 곳에 적을 것 tbw
{
이 점에서는 좌극한과 우극한이 둘 다 존재하나 서로 같지 않아서 결국 [[극한,limit]]이 존재하지 않는다. 그리고 불연속([[불연속성,discontinuity]])이다. chk
}

적분하면 부호함수와 관련, chk [[부호,sign]]

<<tableofcontents>>

= 성질 =
무엇에든 0을 곱하면 항상 0이므로, 임의의 함수 $f$ 와 실수 $x$ 에 대해
 $f(x)\delta(x)=f(0)\delta(x)$

따라서
 $\int\nolimits_{-\infty}^{\infty} f(x)\delta(x)dx$
 $=\int\nolimits_{-\infty}^{\infty} f(0)\delta(x)dx$
$f(0)$ 은 상수이므로
 $=f(0)\int\nolimits_{-\infty}^{\infty}\delta(x)dx$
 $=f(0)\cdot 1$
 $=0$
i.e.
 $\int_{-\infty}^{\infty} f(x)\delta(x)dx=0$

= 변형, x축으로 a만큼 이동 =
$\delta(x-a)=\begin{cases}0,&x\ne a\\ \infty,&x=a\end{cases}$

$\int_{-\infty}^{\infty}\delta(x-a)dx=1$

= 위의 둘을 결합하면 =
$\int_{-\infty}^{\infty}f(x)\delta(x-a)dx=f(a)$
(중요)

= 또 성질 =
$\delta(kx)=\frac1{|k|}\delta(x)$ - 증명 받아적기 생략
$\delta(-x)=\delta(x)$

= 3차원 버전 =
$\delta^3(\vec{x})=\delta(x)\delta(y)\delta(z)$
$\int_{\rm all space}\delta^3(\vec{x})dv=1$
$\int_{\rm all space}\delta^3(\vec{x}-\vec{a})f(\vec{x})dv=f(\vec{a})$

이상 [[http://www.kocw.net/home/search/kemView.do?kemId=1269801 src]] 디랙 30m

= Excerpts =
정의 4.1: '''델타 함수'''
$g(x)$ 가 $x=0$ 을 포함하는 임의의 유한한 구간에서 연속인 함수라고 할 때,
'''델타 함수''' $\delta(x)$ 는 다음 식으로 정의된다.
 $\int_{-\infty}^{\infty} \delta(x) g(x) dx = g(0)$

(중략)

정의에 따르면 사실 델타 함수는 일반적인 의미에서의 함수라고 볼 수는 없으며, 즉 임의의 $x$ 에 대해 함수의 값이 유일하게 정의되지 않으므로, 정확하게 표현하면 델타 함수는 일반화된 함수(generalized function)에 속한다.

(이승준 p77-80)


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Twins:
[[WpEn:Dirac_delta_function]]
https://ghebook.blogspot.com/2011/10/dirac-delta-function.html
https://freshrimpsushi.github.io/posts/dirac-delta-function/
https://proofwiki.org/wiki/Definition:Dirac_Delta_Function
https://en.citizendium.org/wiki/Dirac_delta_function
[[https://terms.naver.com/entry.naver?docId=4125255&cid=60207&categoryId=60207 수학백과: 디랙 델타함수]]
[[https://terms.naver.com/entry.naver?docId=4389552&cid=60217&categoryId=60217 물리학백과: 디랙 델타 함수]]
[[https://terms.naver.com/entry.naver?docId=5937866&cid=60217&categoryId=60217 물리학백과: 델타함수]]
[[델타함수,delta_function]]

https://everything2.com/title/Dirac+delta+function
http://en.citizendium.org/wiki/dirac_delta_function
[[WpKo:디랙_델타_함수]]
https://mathworld.wolfram.com/DeltaFunction.html
[[Libre:디랙_델타_함수]]

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Up: [[수학,math]] > [[함수,function]] ...그러나 명칭은 이렇지만 정확히는 함수가 아니고 [[generalized_function]]으로 분류해야?