디퍼렌셜예제가있는페이지

TODO 이 페이지를 나중에 미분형식,differential_form으로 rename, 내용(미분형식이 뭔지 몰랐을 때의 의문들...)도 완전히 갈아엎고.

미분,differential 예가 포함된 페이지




1. 물리에서 곱 A=BC가 적분 A=∫B·dC 로 되는 경우

가 상당히 많은데 이게 기준이 어떻게 되나?
보통 A=BC라고 표기하고 A=CB라고 하지 않는다면
A=∫B·dC 일 확률이 높은 것인가??? CHK
그런 건 아닌 것 같은데...
B가 일정하고 C가 변화할 때 (dC) 그렇게 되나?
즉 B가 상수이고 C가 변수일 때?

곱셈 꼴
or 내적 꼴
디퍼렌셜의 곱셈 꼴
or 내적 꼴
적분식 꼴
일,workW, 힘,forceF, 거리s $W=Fs$ $dW=\vec{F}\cdot d\vec{s}$ $W=\int\vec{F}\cdot d\vec{s}$
일,workW, 전하,electric_chargeq, 전위,electric_potentialV $W=qV$ $dW=dqV$
일, 일률 $w=Pt$ $w=\int_{t_0}^{t}Pdt$
전위,electric_potentialV, 전기장,electric_fieldE, 거리(s or d) $V=Es$ (V=Ed) $V=-\int\vec{E}\cdot d\vec{s}$
전압,voltage? $\Delta V=E\Delta s$ ??? $V_f-V_i=-\int_i^f \vec{E} \cdot d\vec{s}$
전속,electric_fluxΦ, 전기장,electric_fieldE, 면적A $\Phi_E=\vec{E}\cdot\vec{A}$ $d\Phi=\vec{E}\cdot d\vec{A}$ $\Phi=\oint\vec{E}\cdot d\vec{A}$
전류,electric_currenti, 전류밀도,current_densityJ, 면적A $i=\int\vec{J}\cdot d\vec{A}$
두번째 W=qV는 q가 일정한 경우랑 V가 일정한 경우가 있으므로 주의
6번째 $i=\int\vec{J}\cdot d\vec{A}$ 에서,
전류밀도 방향과 면적벡터 방향이 같다면 $i=\int JdA$
전류밀도가 균일하다면 $=J\int dA=JA$


그리고 비슷한거. dA=BdC 형태.
분수 꼴 디퍼렌셜의 비 형태 디퍼렌셜의 곱셈식 형태 적분식 형태
전류,electric_current $i=\frac{q}{t}$ $i={dq \over dt}$ $dq=idt$ $q=\int idt$ 전하,electric_charge
전위,electric_potential $v=\frac{w}{q}$ $v=\frac{dw}{dq}$ $dw=vdq$ $w=\int vdq$ 일,work

A=∫A 로 되는 경우도 많은데...


그리고 다음 두 가지로 표현하는 것도 있는데 둘 다 옳은건가?
$\vec{E}\cdot d\vec{s}$
$\vec{E}\cdot\vec{ds}$

(이 section은 아무 근거가 없으며 혹시 그런 경향성이나 관례가 있는지에 대한 개인 생각)

2. 내적(곱 형태)과 적분식의 관계

곱 → 내적 → 적분 확장.

2.1. ex 1.

직선변위 $\vec{L}$ 에 적용되는 일정한 힘 $\vec{F}$ 가 하는 일:
$FL\cos\theta=\vec{F}\cdot\vec{L}$ (스칼라곱)
위치에 따라 힘이 달라지면
일 = $\int\vec{F}\cdot d\vec{L}$

2.2. ex 2.

면적 S인 표면을 가로지르는(crossing) 전체 플럭스 $\Phi$ 는, 자속밀도 B가 표면에 수직이고 크기가 균일한 경우
$\Phi=BS$
벡터면적 $\vec{S}$ 를 그 크기는 면적 크기와 같고 면과 수직방향을 갖는 것으로 정의하면 (두 방향 중 어디인지는 생각하지 않는다)
이 면을 가로지르는 자속은
$\Phi=\vec{B}\cdot\vec{S}$
자속밀도(B)가 면 상에서 일정하지 않으면
$\Phi=\int\vec{B}\cdot d\vec{S}$

(Hayt 전자기학 p.9 내적 관련)

4. misc

고등학교 수학에서는 치환적분,integration_by_substitution을 할 때 디퍼렌셜을 강제로(?) 접하게 됨.
생각해보니 그 이전에 적분을 처음 접할 때 $\int f(x)dx$ 에서 $dx$ 가 differential이라는 것을 명확히 하지 않고 (아마, 지금은 설명이 불가능하니, 나중에 알아서 공부하고?) 일단 'x에 대해 적분한다는 표시' 정도로 설명하고 넘어감.

디퍼렌셜이 항상 인테그랄과 짝을 맞추는 게 아님. 특이한 적분식: $\int x^{dx}-1 = \int \ln(x)dx$ 이다. https://angeloyeo.github.io/2020/09/01/int_x_to_the_dx_minus_1.html