라플라스_변환,Laplace_transform

$f(t)\;\overset{\mathcal{L}}{\longrightarrow}\;F(s)$

소문자 함수 $f$ 를 대문자 함수 $F$ 로 바꾼다.
적분변환,integral_transform하여 $f(t)$$F(s)$ 로 바꾼다.
변환 전의 함수는 소문자로, 변환 후의 함수는 대문자로 표현하는 convention이 있다. Ex. $y(t)\overset{\mathcal{L}}{\longrightarrow}Y(s)$
'적분' 변환이니까?

$f$$t\ge 0$ 에서 정의된 함수일 때, 다음 적분이 수렴,convergence하면
$\mathcal{L}\left{f(t)\right}=\int_0^{\infty}e^{-st}f(t)dt$
이것을 $f$라플라스 변환이라고 한다.

$\mathcal{L}\{f\}(s) = \int_0^\infty f(t)e^{-st} \, dt$

t에 관한 식을 s에 관한 식으로 바꾼다. $\mathcal{L}\lbrace f(t) \rbrace = F(s)$
$\mathcal{L}\left{1\right}=\frac1s$
$\mathcal{L}\left{t^n\right}=\frac{n!}{s^{n+1}}$
$\mathcal{L}\left{e^{at}\right}=\frac1{s-a}$
$\mathcal{L}\left{\sin kt\right}=\frac{k}{s^2+k^2}$
$\mathcal{L}\left{\cos kt\right}=\frac{s}{s^2+k^2}$
$\mathcal{L}\left{\sinh kt\right}=\frac{k}{s^2-k^2}$
$\mathcal{L}\left{\cosh kt\right}=\frac{s}{s^2-k^2}$

(Zill Definition 4.1.1, Theorem 4.1.1)



표기법
원래 함수 그 변환
변수 t의 함수 s의 함수
함수명 소문자 대문자
e.g.
F(s)는 f(t)의 변환
Y(s)는 y(t)의 변환

https://i.imgur.com/5hvDLrt.png



연속시간 라플라스 변환 continuous time domain?
이산시간 Z변환,Z-transform discrete time domain?

라플라스 변환과 z-변환의 관계
https://angeloyeo.github.io/2020/07/23/laplace_and_z.html
를 보면 s-plane과 z-plane의 변환이 직각좌표계 ↔ 극좌표계 변환이랑 비슷한 모습이 보이는데..

Z 변환
https://angeloyeo.github.io/2019/08/13/Z_transform.html
{
Laplace 변환 Z변환
$s=\sigma+j\omega$ $z=\exp(-(\sigma+j\omega))$
}



1. 쓰이는 기호들/변수들/domains ...

t-domain = t영역 = 시간 영역 = 시간영역,time_domain { 시간,time }
s-domain = s-plane = s영역 = 복소 주파수 영역 = 복소주파수영역,complex_frequency_domain { 복소주파수,complex_frequency }

$t\in\mathbb{R}$
$s\in\mathbb{C}$

s : complex frequency domain parameter
$s=\sigma+i\omega$
그리고 물론 EE에선 허수단위,imaginary_unit$i$ 대신 $j$ 를 쓰므로
$s=\sigma+j\omega$

저자 마음이지만, 대체적으로 $\mathcal{L}\{ f \}$$F$ 는 같은 것이다
- 전자는 마치 (범함수? 함자? 뭐였지?) 암튼 함수에 대한 함수 형태고(? CHK)
- 후자는 t-domain의 함수 이름을 소문자로, s-domain의 함수 이름을 대문자로 표현하는 convention ?? (chk)

2. unilateral and bilateral

번역?
단방향 or 양방향

3. Irwin


회로해석circuit_analysis에서는 두 singularity_functions들이 중요하다.
이것들이 singularity function이라 불리는 이유는, 유한하지 않거나, 모든 곳에서 유한한 도함수(미분,derivative)를 가지고 있지 않기 때문.


임펄스함수의 라플라스_변환,Laplace_transform은 1.
$\mathcal{L}[\delta(t)]=F(s)=1$

$f(t)=t$ 의 LT는 $\frac1{s^2}.$

코사인,cosine함수 $\cos\omega t$ 의 LT는 $\frac{s}{s^2+\omega^2}.$
pf. $F(s)$
$=\int_0^{\infty}\cos\omega t e^{-st}dt$
$=\int_0^{\infty}\frac{e^{+j\omega t}+e^{-j\omega t}}{2}e^{-st}dt$
$=\int_0^{\infty}\frac{e^{-(s-j\omega)t}+e^{-(s+j\omega)t}}{2}dt$
$=\frac12\left(\frac1{s-j\omega}+\frac1{s+j\omega}\right)\;\;\sigma>0$
$=\frac{s}{s^2+\omega^2}$

// Src: Basic Engineering Circuit Analysis, Irwin - 13장 Laplace Transform

4. wpen 읽은내용 tocleanup

{
라플라스 변환이란, 실변수 $t$ (대개 시간,time)에 대한 함수를, 복소변수 $s$ (복소주파수,complex_frequency; see http://www.rfdh.com/bas_rf/begin/complex.htm ) 에 대한 함수로 바꾸는 적분변환,integral_transform이다.

정의
$F(s)=\int_0^{\infty}f(t)e^{-st}dt$
where
$s\in\mathbb{C}$ : 복소변수, 복소주파수,complex_frequency이며 두 실수 $\sigma,\omega\in\mathbb{R}$ 일 때 $s=\sigma+i\omega$
Notation: $F$ 대신 $\mathcal{L}\lbrace f\rbrace$ 를 쓰기도 한다.

라플라스 변환선형성,linearity을 만족.
$\mathcal{L}\left{f(t)+g(t)\right}=\mathcal{L}\{f(t)\}+\mathcal{L}\left{g(t)\right}$
$\mathcal{L}\{af(t)\}=a\mathcal{L}\{f(t)\}$


함수 $f(t),g(t)$ 와 각각 그 라플라스 변환 $F(s),G(s)$
$f(t)=\mathcal{L}^{-1}\{F(s)\}$
$g(t)=\mathcal{L}^{-1}\{G(s)\}$
에 대해 Properties of the unilateral Laplace transform:
time domain s domain
선형성,linearity $af(t)+bg(t)$ $aF(s)+bG(s)$
frequency-domain derivative $tf(t)$ $-F'(s)$
etc.

function time domain
$f(t)=\mathcal{L}^{-1}\{F(s)\}$
laplace s-domain
$F(s)=\mathcal{L}\{f(t)\}$
unit impulse $\delta(t)$ $1$
delayed impulse $\delta(t-\tau)$ $e^{-\tau s}$
unit step $u(t)$ $\frac1s$
delayed unit step $u(t-\tau)$ $\frac1se^{-\tau s}$
ramp $t\cdot u(t)$ $\frac1{s^2}$
etc.

}

5. tmp from Zach Star youtube; ALSOIN fourier; CLEANUP

┌─────────────────────────────────┐
│             Laplace             │
│┌──────────────┐                 │
││    Fourier   │                 │ Fourier변환은 Laplace변환의 ‘slice’
││1) sinusoidal │ 2) exponential  │
│└──────────────┘                 │
└─────────────────────────────────┘
$X(\omega)=\int_{-\infty}^{\infty}x(t)e^{-i\omega t}dt$
여기서
x(t) : in
X(ω) : out

Fourier $X(\omega)=\int\nolimits_{-\infty}^{\infty}x(t)e^{-i\omega t}dt$
Laplace $X(s)=\int\nolimits_0^{\infty}x(t)e^{-st}dt$
Laplace에
$s=\alpha+i\omega$
를 대입하면
$X(s)=\int\nolimits_0^{\infty}x(t)e^{-\alpha t}e^{-i\omega t}dt$
$X(s)=\int\nolimits_0^{\infty}[x(t)e^{-\alpha t}]e^{-i\omega t}dt$

그래서,
Laplace transform of $x(t)$ is the
Fourier transform of $x(t)e^{-\alpha t}$

// from What does the Laplace Transform really tell us? A visual explanation https://youtu.be/n2y7n6jw5d0

// Misc.
// 위에 text block은 inline html ( pre padding:0 line-height:1 )
// Q: box drawing character로 편하게 간단한 diagram 그리는 도구 없나?

6. tmp links ko

1 https://blog.naver.com/sallygarden_ee/221287818061
2 https://blog.naver.com/sallygarden_ee/221289372762
기타 블로그에 라플라스변환을 이용한 회로해석 내용 있음

7. Kreyszig Ch6 Laplace 변환

(앞부분 요약)
상미분방정식,ordinary_differential_equation,ODE 풀이를 쉽게 만듦.

Laplace 변환을 써서 ODE를 푸는 3단계
  1. 주어진 ODE를 보조방정식(subsidiary equation)이라 부르는 대수방정식으로 변환한다.
  2. 순수한 대수적 연산을 통해 이 보조방정식을 푼다.
  3. 2단계의 해를 역변환하면 주어진 문제의 해가 된다.

미적분의 문제를 대수적인 문제로 전환하는 종류의 수학은 연산자법(operational calculus)이라고 알려져 있다.

7.1. 6.1 선형성. 제 1이동정리(s-이동)

$f$ 는 모든 $t\ge 0$ 에 대해 정의된 함수.
이것의 Laplace 변환은 $f(t)$$e^{-st}$ 의 곱을 t=0에서 ∞까지 적분한 것.
그 결과는 s의 함수, 즉 $F(s)$ 가 되며, $\mathcal{L}(f)$ 로 표기함. 따라서,
$F(s)=\mathcal{L}(f)=\int_0^{\infty}e^{-st}f(t)dt$
이다.

(명칭)
연산 결과의 함수 $F(s)$ 를 Laplace 변환이라 부를 뿐만 아니라,
주어진 $f(t)$ 로부터 $F(s)$ 를 얻는 방금 설명한 연산도 또한 Laplace 변환이라 부른다.

위 식의 $f(t)$$F(s)$역변환,inverse_transform이라 부르고 $\mathcal{L}^{-1}(F)$ 로 표기한다. 즉,
$f(t)=\mathcal{L}^{-1}(F)$
아울러 당연히 다음도 성립.
$\mathcal{L}^{-1}(\mathcal{L}(f))=f$
$\mathcal{L}(\mathcal{L}^{-1}(F))=F$

Laplace 변환은 $k(s,t)=e^{-st}$핵,kernel으로 갖는 적분변환,integral_transform
$F(s)=\int_0^{\infty}k(s,t)f(t)dt$
이다.

(중략)

Laplace 변환은 선형성,linearity을 만족하는 선형연산이다. 따라서
$\mathscr{L}[af(t)+bg(t)]=a\mathscr{L}[f(t)]+b\mathscr{L}[g(t)]$

기타 TBW:
$f(t)$ $\mathcal{L}(f)$
$1$ $1/s$
$t$ $1/s^2$
$t^2$ $2!/s^3$
$t^n\;(n\in\mathbb{N}_0)$ $\frac{n!}{s^{n+1}}$
$t^a\;(a\in\mathbb{R}_{>0})$ $\frac{\mathrm{\Gamma}(a+1)}{s^{a+1}}$ (감마함수,gamma_function 참조)
$e^{at}$ $\frac{1}{s-a}$
$\cos\omega t$
$\sin\omega t$
$\cosh at$
$\sinh at$
$e^{at}\cos\omega t$
$e^{at}\sin\omega t$
p256

s-이동, 변환에서 s를 s-a로 대체, 제1이동정리(first shifting theorem)

존재성(존재정리 언급). 유일성(uniqueness).

7.2. 6.2

적분의 라플라스변환.
미방에의 적용.