$f(t)\;\overset{\mathcal{L}}{\longrightarrow}\;F(s)$

소문자 함수 $f$ 를 대문자 함수 $F$ 로 바꾼다.
[[적분변환,integral_transform]]하여 $f(t)$ 를 $F(s)$ 로 바꾼다.
변환 전의 함수는 소문자로, 변환 후의 함수는 대문자로 표현하는 convention이 있다. Ex. $y(t)\overset{\mathcal{L}}{\longrightarrow}Y(s)$
'' '적분' 변환이니까?''

$f$ 가 $t\ge 0$ 에서 정의된 함수일 때, 다음 적분이 [[수렴,convergence]]하면
 $\mathcal{L}\left{f(t)\right}=\int_0^{\infty}e^{-st}f(t)dt$
이것을 $f$ 의 '''라플라스 변환'''이라고 한다.

> $\mathcal{L}\{f\}(s) = \int_0^\infty f(t)e^{-st} \, dt$

t에 관한 식을 s에 관한 식으로 바꾼다. $\mathcal{L}\lbrace f(t) \rbrace = F(s)$
$\mathcal{L}\left{1\right}=\frac1s$
$\mathcal{L}\left{t^n\right}=\frac{n!}{s^{n+1}}$
$\mathcal{L}\left{e^{at}\right}=\frac1{s-a}$
$\mathcal{L}\left{\sin kt\right}=\frac{k}{s^2+k^2}$
$\mathcal{L}\left{\cos kt\right}=\frac{s}{s^2+k^2}$
$\mathcal{L}\left{\sinh kt\right}=\frac{k}{s^2-k^2}$
$\mathcal{L}\left{\cosh kt\right}=\frac{s}{s^2-k^2}$

(Zill Definition 4.1.1, Theorem 4.1.1)
----

----
표기법
||       ||원래 함수 ||그 변환 ||
||변수   ||t의 함수  ||s의 함수 ||
||함수명 ||소문자    ||대문자 ||
e.g.
 F(s)는 f(t)의 변환
 Y(s)는 y(t)의 변환
----
https://i.imgur.com/5hvDLrt.png

[[합성곱,convolution]]

||연속시간 ||'''라플라스 변환''' ||continuous time domain? ||
||이산시간 ||[[Z변환,Z-transform]] ||discrete time domain? ||

라플라스 변환과 z-변환의 관계
https://angeloyeo.github.io/2020/07/23/laplace_and_z.html
를 보면 s-plane과 z-plane의 변환이 직각좌표계 ↔ 극좌표계 변환이랑 비슷한 모습이 보이는데..

Z 변환
https://angeloyeo.github.io/2019/08/13/Z_transform.html
{
||Laplace 변환 ||Z변환 ||
||$s=\sigma+j\omega$ ||$z=\exp(-(\sigma+j\omega))$ ||
}
----
<<tableofcontents>>

= 쓰이는 기호들/변수들/domains ... =
t-domain = t영역 = 시간 영역 = [[시간영역,time_domain]] { [[시간,time]] }
s-domain = s-plane = s영역 = 복소 주파수 영역 = [[복소주파수영역,complex_frequency_domain]] { [[복소주파수,complex_frequency]] }

$t\in\mathbb{R}$
$s\in\mathbb{C}$

s : complex frequency domain parameter
 $s=\sigma+i\omega$
그리고 물론 EE에선 [[허수단위,imaginary_unit]]로 $i$ 대신 $j$ 를 쓰므로
 $s=\sigma+j\omega$

저자 마음이지만, 대체적으로 $\mathcal{L}\{ f \}$ 과 $F$ 는 같은 것이다
 - 전자는 마치 (범함수? 함자? 뭐였지?) 암튼 함수에 대한 함수 형태고(? CHK)
 - 후자는 t-domain의 함수 이름을 소문자로, s-domain의 함수 이름을 대문자로 표현하는 convention ?? (chk)

= unilateral and bilateral =
번역?
 단방향 or 양방향

= Irwin =
$s:$ [[복소주파수,complex_frequency]]
 $s=\sigma+j\omega$

LT는 unilateral. $(0\le t < \infty)$
FT는 bilateral. $(-\infty<t<\infty)$ ([[푸리에_변환,Fourier_transform]])

회로해석circuit_analysis에서는 두 [[singularity_function]]s들이 중요하다.
 (1) [[단위계단함수,unit_step_function]] $u(t)$
 (2) unit impulse 또는 delta function - [[디랙_델타함수,Dirac_delta_function]] $\delta(t)$
이것들이 singularity function이라 불리는 이유는, 유한하지 않거나, 모든 곳에서 유한한 도함수([[미분,derivative]])를 가지고 있지 않기 때문.

// MKLINK [[임펄스함수,impulse_function]] - curr at [[함수,function#s-13]]

임펄스함수의 [[라플라스_변환,Laplace_transform]]은 1.
 $\mathcal{L}[\delta(t)]=F(s)=1$

$f(t)=t$ 의 LT는 $\frac1{s^2}.$

[[코사인,cosine]]함수 $\cos\omega t$ 의 LT는 $\frac{s}{s^2+\omega^2}.$
pf. $F(s)$
 $=\int_0^{\infty}\cos\omega t e^{-st}dt$
 $=\int_0^{\infty}\frac{e^{+j\omega t}+e^{-j\omega t}}{2}e^{-st}dt$
 $=\int_0^{\infty}\frac{e^{-(s-j\omega)t}+e^{-(s+j\omega)t}}{2}dt$
 $=\frac12\left(\frac1{s-j\omega}+\frac1{s+j\omega}\right)\;\;\sigma>0$
 $=\frac{s}{s^2+\omega^2}$

// Src: Basic Engineering Circuit Analysis, Irwin - 13장 Laplace Transform

= wpen 읽은내용 tocleanup =
{
'''라플라스 변환'''이란, 실변수 $t$ (대개 [[시간,time]])에 대한 함수를, 복소변수 $s$ ([[복소주파수,complex_frequency]]; see http://www.rfdh.com/bas_rf/begin/complex.htm ) 에 대한 함수로 바꾸는 [[적분변환,integral_transform]]이다.

정의
 $F(s)=\int_0^{\infty}f(t)e^{-st}dt$
where
 $s\in\mathbb{C}$ : 복소변수, [[복소주파수,complex_frequency]]이며 두 실수 $\sigma,\omega\in\mathbb{R}$ 일 때 $s=\sigma+i\omega$
Notation: $F$ 대신 $\mathcal{L}\lbrace f\rbrace$ 를 쓰기도 한다.

'''라플라스 변환'''은 [[선형성,linearity]]을 만족.
 $\mathcal{L}\left{f(t)+g(t)\right}=\mathcal{L}\{f(t)\}+\mathcal{L}\left{g(t)\right}$
 $\mathcal{L}\{af(t)\}=a\mathcal{L}\{f(t)\}$

표
함수 $f(t),g(t)$ 와 각각 그 '''라플라스 변환''' $F(s),G(s)$
$f(t)=\mathcal{L}^{-1}\{F(s)\}$
$g(t)=\mathcal{L}^{-1}\{G(s)\}$
에 대해 Properties of the unilateral Laplace transform:
|| ||time domain ||s domain ||
||[[선형성,linearity]] ||$af(t)+bg(t)$ ||$aF(s)+bG(s)$ ||
||frequency-domain derivative ||$tf(t)$ ||$-F'(s)$ ||
etc.

||function ||time domain[[br]] $f(t)=\mathcal{L}^{-1}\{F(s)\}$ ||laplace s-domain [[br]] $F(s)=\mathcal{L}\{f(t)\}$ ||
||unit impulse ||$\delta(t)$ ||$1$ ||
||delayed impulse ||$\delta(t-\tau)$ ||$e^{-\tau s}$ ||
||unit step ||$u(t)$ ||$\frac1s$ ||
||delayed unit step ||$u(t-\tau)$ ||$\frac1se^{-\tau s}$ ||
||ramp ||$t\cdot u(t)$ ||$\frac1{s^2}$ ||
etc.

}

= tmp from Zach Star youtube; ALSOIN fourier; CLEANUP =
{{{#!html
<pre style="monospace; padding: 0; line-height: 1;">
┌─────────────────────────────────┐
│             Laplace             │
│┌──────────────┐                 │
││    Fourier   │                 │ Fourier변환은 Laplace변환의 ‘slice’
││1) sinusoidal │ 2) exponential  │
│└──────────────┘                 │
└─────────────────────────────────┘</pre>
}}}
 $X(\omega)=\int_{-\infty}^{\infty}x(t)e^{-i\omega t}dt$
여기서
 x(t) : in
 X(ω) : out

||Fourier ||$X(\omega)=\int\nolimits_{-\infty}^{\infty}x(t)e^{-i\omega t}dt$ ||
||Laplace ||$X(s)=\int\nolimits_0^{\infty}x(t)e^{-st}dt$ ||
Laplace에
 $s=\alpha+i\omega$
를 대입하면
 $X(s)=\int\nolimits_0^{\infty}x(t)e^{-\alpha t}e^{-i\omega t}dt$
 $X(s)=\int\nolimits_0^{\infty}[x(t)e^{-\alpha t}]e^{-i\omega t}dt$

그래서,
 Laplace transform of $x(t)$ is the
 Fourier transform of $x(t)e^{-\alpha t}$

// from What does the Laplace Transform really tell us? A visual explanation https://youtu.be/n2y7n6jw5d0

// Misc.
// 위에 text block은 inline html ( pre padding:0 line-height:1 )
// Q: box drawing character로 편하게 간단한 diagram 그리는 도구 없나?

= tmp links ko =
1 https://blog.naver.com/sallygarden_ee/221287818061
2 https://blog.naver.com/sallygarden_ee/221289372762
기타 블로그에 라플라스변환을 이용한 회로해석 내용 있음

= Kreyszig Ch6 Laplace 변환 =
(앞부분 요약)
[[상미분방정식,ordinary_differential_equation,ODE]] 풀이를 쉽게 만듦.

Laplace 변환을 써서 ODE를 푸는 3단계
 1. 주어진 ODE를 보조방정식(subsidiary equation)이라 부르는 대수방정식으로 변환한다.
 2. 순수한 대수적 연산을 통해 이 보조방정식을 푼다.
 3. 2단계의 해를 역변환하면 주어진 문제의 해가 된다.

미적분의 문제를 대수적인 문제로 전환하는 종류의 수학은 연산자법(operational calculus)이라고 알려져 있다.

== 6.1 선형성. 제 1이동정리(s-이동) ==
$f$ 는 모든 $t\ge 0$ 에 대해 정의된 함수.
이것의 Laplace 변환은 $f(t)$ 와 $e^{-st}$ 의 곱을 t=0에서 ∞까지 적분한 것.
그 결과는 s의 함수, 즉 $F(s)$ 가 되며, $\mathcal{L}(f)$ 로 표기함. 따라서,
 $F(s)=\mathcal{L}(f)=\int_0^{\infty}e^{-st}f(t)dt$
이다.

(명칭)
연산 결과의 함수 $F(s)$ 를 Laplace 변환이라 부를 뿐만 아니라,
주어진 $f(t)$ 로부터 $F(s)$ 를 얻는 방금 설명한 연산도 또한 Laplace 변환이라 부른다.

위 식의 $f(t)$ 를 $F(s)$ 의 [[역변환,inverse_transform]]이라 부르고 $\mathcal{L}^{-1}(F)$ 로 표기한다. 즉, 
 $f(t)=\mathcal{L}^{-1}(F)$
아울러 당연히 다음도 성립.
 $\mathcal{L}^{-1}(\mathcal{L}(f))=f$
 $\mathcal{L}(\mathcal{L}^{-1}(F))=F$

Laplace 변환은 $k(s,t)=e^{-st}$ 를 [[핵,kernel]]으로 갖는 [[적분변환,integral_transform]]
 $F(s)=\int_0^{\infty}k(s,t)f(t)dt$
이다.

(중략)

Laplace 변환은 [[선형성,linearity]]을 만족하는 선형연산이다. 따라서
 $\mathscr{L}[af(t)+bg(t)]=a\mathscr{L}[f(t)]+b\mathscr{L}[g(t)]$

기타 TBW:
||$f(t)$ ||$\mathcal{L}(f)$ ||
||$1$ ||$1/s$ ||
||$t$ ||$1/s^2$ ||
||$t^2$ ||$2!/s^3$ ||
||$t^n\;(n\in\mathbb{N}_0)$ ||$\frac{n!}{s^{n+1}}$ ||
||$t^a\;(a\in\mathbb{R}_{>0})$ ||$\frac{\mathrm{\Gamma}(a+1)}{s^{a+1}}$ ([[감마함수,gamma_function]] 참조)||
||$e^{at}$ ||$\frac{1}{s-a}$ ||
||$\cos\omega t$ || ||
||$\sin\omega t$ || ||
||$\cosh at$ || ||
||$\sinh at$ || ||
||$e^{at}\cos\omega t$ || ||
||$e^{at}\sin\omega t$ || ||
p256

s-이동, 변환에서 s를 s-a로 대체, 제1이동정리(first shifting theorem)

존재성(존재정리 언급). 유일성(uniqueness).

== 6.2 ==
적분의 라플라스변환.
미방에의 적용.
== 6.3 ==
단위계단함수 unit_step_function/Heaviside_function $u(t-a)$ 와 [[디랙_델타함수,Dirac_delta_function]] $\delta(t-a)$ 도입.
제2이동정리(t-이동).

----
Compare:
[[푸리에_변환,Fourier_transform]]
[[Z변환,z-transform]]

Twins:
[[WpKo:라플라스_변환]]
[[WpEn:Laplace_transform]]
[[RR:라플라스변환Laplace_transform]]
https://angeloyeo.github.io/2019/08/12/Laplace_transform.html
[[https://terms.naver.com/entry.naver?docId=3405053&cid=47324&categoryId=47324 수학백과: 라플라스 변환]]
https://everything2.com/title/Laplace+Transform
https://encyclopediaofmath.org/wiki/Laplace_transform
https://mathworld.wolfram.com/LaplaceTransform.html
Namu:라플라스%20변환

Up:
 [[변환,transformation]] > [[적분변환,integral_transform]]
 [[Class_2020_1]]