$f(t)\;\overset{\mathcal{L}}{\longrightarrow}\;F(s)$ $f$ 가 $t\ge 0$ 에서 정의된 함수일 때, 다음 적분이 [[수렴,convergence]]하면 $\mathcal{L}\left{f(t)\right}=\int_0^{\infty}e^{-st}f(t)dt$ 이것을 $f$ 의 '''라플라스 변환'''이라고 한다. t에 관한 식을 s에 관한 식으로 바꾼다. $\mathcal{L}\lbrace f(t) \rbrace = F(s)$ $\mathcal{L}\left{1\right}=\frac1s$ $\mathcal{L}\left{t^n\right}=\frac{n!}{s^{n+1}}$ $\mathcal{L}\left{e^{at}\right}=\frac1{s-a}$ $\mathcal{L}\left{\sin kt\right}=\frac{k}{s^2+k^2}$ $\mathcal{L}\left{\cos kt\right}=\frac{s}{s^2+k^2}$ $\mathcal{L}\left{\sinh kt\right}=\frac{k}{s^2-k^2}$ $\mathcal{L}\left{\cosh kt\right}=\frac{s}{s^2-k^2}$ (Zill Definition 4.1.1, Theorem 4.1.1) ---- 표기법 || ||원래 함수 ||그 변환 || ||변수 ||t의 함수 ||s의 함수 || ||함수명 ||소문자 ||대문자 || e.g. F(s)는 f(t)의 변환 Y(s)는 y(t)의 변환 ---- https://i.imgur.com/5hvDLrt.png [[합성곱,convolution]] ||연속시간 ||'''라플라스 변환''' ||continuous time domain? || ||이산시간 ||[[Z변환,Z-transform]] ||discrete time domain? || 라플라스 변환과 z-변환의 관계 https://angeloyeo.github.io/2020/07/23/laplace_and_z.html 를 보면 s-plane과 z-plane의 변환이 직각좌표계 ↔ 극좌표계 변환이랑 비슷한 모습이 보이는데.. Z 변환 https://angeloyeo.github.io/2019/08/13/Z_transform.html { ||Laplace 변환 ||Z변환 || ||$s=\sigma+j\omega$ ||$z=\exp(-(\sigma+j\omega))$ || } = wpen 읽은내용 tocleanup = { '''라플라스 변환'''이란, 실변수 $t$ (대개 [[시간,time]])에 대한 함수를, 복소변수 $s$ ([[복소주파수,complex_frequency]]; see http://www.rfdh.com/bas_rf/begin/complex.htm ) 에 대한 함수로 바꾸는 [[적분변환,integral_transform]]이다. 정의 $F(s)=\int_0^{\infty}f(t)e^{-st}dt$ where $s\in\mathbb{C}$ : 복소변수, [[복소주파수,complex_frequency]]이며 두 실수 $\sigma,\omega\in\mathbb{R}$ 일 때 $s=\sigma+i\omega$ Notation: $F$ 대신 $\mathcal{L}\lbrace f\rbrace$ 를 쓰기도 한다. [[선형성,linearity]] 만족. $\mathcal{L}\left{f(t)+g(t)\right}=\mathcal{L}\{f(t)\}+\mathcal{L}\left{g(t)\right}$ $\mathcal{L}\{af(t)\}=a\mathcal{L}\{f(t)\}$ 표 함수 $f(t),g(t)$ 와 각각 그 '''라플라스 변환''' $F(s),G(s)$ $f(t)=\mathcal{L}^{-1}\{F(s)\}$ $g(t)=\mathcal{L}^{-1}\{G(s)\}$ 에 대해 Properties of the unilateral Laplace transform: || ||time domain ||s domain || ||[[선형성,linearity]] ||$af(t)+bg(t)$ ||$aF(s)+bG(s)$ || ||frequency-domain derivative ||$tf(t)$ ||$-F'(s)$ || etc. ||function ||time domain[[br]] $f(t)=\mathcal{L}^{-1}\{F(s)\}$ ||laplace s-domain [[br]] $F(s)=\mathcal{L}\{f(t)\}$ || ||unit impulse ||$\delta(t)$ ||$1$ || ||delayed impulse ||$\delta(t-\tau)$ ||$e^{-\tau s}$ || ||unit step ||$u(t)$ ||$\frac1s$ || ||delayed unit step ||$u(t-\tau)$ ||$\frac1se^{-\tau s}$ || ||ramp ||$t\cdot u(t)$ ||$\frac1{s^2}$ || etc. } = tmp from Zach Star youtube; ALSOIN fourier; CLEANUP = {{{#!html 
┌─────────────────────────────────┐
│             Laplace             │
│┌──────────────┐                 │
││    Fourier   │                 │ Fourier변환은 Laplace변환의 ‘slice’
││1) sinusoidal │ 2) exponential  │
│└──────────────┘                 │
└─────────────────────────────────┘
}}} $X(\omega)=\int_{-\infty}^{\infty}x(t)e^{-i\omega t}dt$ 여기서 x(t) : in X(ω) : out ||Fourier ||$X(\omega)=\int\nolimits_{-\infty}^{\infty}x(t)e^{-i\omega t}dt$ || ||Laplace ||$X(s)=\int\nolimits_0^{\infty}x(t)e^{-st}dt$ || Laplace에 $s=\alpha+i\omega$ 를 대입하면 $X(s)=\int\nolimits_0^{\infty}x(t)e^{-\alpha t}e^{-i\omega t}dt$ $X(s)=\int\nolimits_0^{\infty}[x(t)e^{-\alpha t}]e^{-i\omega t}dt$ 그래서, Laplace transform of $x(t)$ is the Fourier transform of $x(t)e^{-\alpha t}$ // from What does the Laplace Transform really tell us? A visual explanation https://youtu.be/n2y7n6jw5d0 // Misc. // 위에 text block은 inline html ( pre padding:0 line-height:1 ) // Q: box drawing character로 편하게 간단한 diagram 그리는 도구 없나? = tmp links ko = 1 https://blog.naver.com/sallygarden_ee/221287818061 2 https://blog.naver.com/sallygarden_ee/221289372762 기타 블로그에 라플라스변환을 이용한 회로해석 내용 있음 = Kreyszig Ch6 Laplace 변환 = (앞부분 요약) [[상미분방정식,ordinary_differential_equation,ODE]] 풀이를 쉽게 만듦. Laplace 변환을 써서 ODE를 푸는 3단계 1. 주어진 ODE를 보조방정식(subsidiary equation)이라 부르는 대수방정식으로 변환한다. 2. 순수한 대수적 연산을 통해 이 보조방정식을 푼다. 3. 2단계의 해를 역변환하면 주어진 문제의 해가 된다. 미적분의 문제를 대수적인 문제로 전환하는 종류의 수학은 연산자법(operational calculus)이라고 알려져 있다. == 6.1 선형성. 제 1이동정리(s-이동) == $f$ 는 모든 $t\ge 0$ 에 대해 정의된 함수. 이것의 Laplace 변환은 $f(t)$ 와 $e^{-st}$ 의 곱을 t=0에서 ∞까지 적분한 것. 그 결과는 s의 함수, 즉 $F(s)$ 가 되며, $\mathcal{L}(f)$ 로 표기함. 따라서, $F(s)=\mathcal{L}(f)=\int_0^{\infty}e^{-st}f(t)dt$ 이다. (명칭) 연산 결과의 함수 $F(s)$ 를 Laplace 변환이라 부를 뿐만 아니라, 주어진 $f(t)$ 로부터 $F(s)$ 를 얻는 방금 설명한 연산도 또한 Laplace 변환이라 부른다. 위 식의 $f(t)$ 를 $F(s)$ 의 [[역변환,inverse_transform]]이라 부르고 $\mathcal{L}^{-1}(F)$ 로 표기한다. 즉, $f(t)=\mathcal{L}^{-1}(F)$ 아울러 당연히 다음도 성립. $\mathcal{L}^{-1}(\mathcal{L}(f))=f$ $\mathcal{L}(\mathcal{L}^{-1}(F))=F$ Laplace 변환은 $k(s,t)=e^{-st}$ 를 [[핵,kernel]]으로 갖는 [[적분변환,integral_transform]] { [[핵,kernel]]을 포함하는 적분과정을 통해, 한 공간에서의 함수를 다른 공간에서의 함수로 변환한다(바꾼다). } $F(s)=\int_0^{\infty}k(s,t)f(t)dt$ 이다. (중략) Laplace 변환은 [[선형성,linearity]]을 만족하는 선형연산이다. 따라서 $\mathscr{L}[af(t)+bg(t)]=a\mathscr{L}[f(t)]+b\mathscr{L}[g(t)]$ 기타 TBW: ||$f(t)$ ||$\mathcal{L}(f)$ || ||$1$ ||$1/s$ || ||$t$ ||$1/s^2$ || ||$t^2$ ||$2!/s^3$ || ||$t^n\;(n\in\mathbb{N}_0)$ ||$\frac{n!}{s^{n+1}}$ || ||$t^a\;(a\in\mathbb{R}_{>0})$ ||$\frac{\mathrm{\Gamma}(a+1)}{s^{a+1}}$ ([[감마함수,gamma_function]] 참조)|| ||$e^{at}$ ||$\frac{1}{s-a}$ || ||$\cos\omega t$ || || ||$\sin\omega t$ || || ||$\cosh at$ || || ||$\sinh at$ || || ||$e^{at}\cos\omega t$ || || ||$e^{at}\sin\omega t$ || || p256 s-이동, 변환에서 s를 s-a로 대체, 제1이동정리(first shifting theorem) 존재성(존재정리 언급). 유일성(uniqueness). == 6.2 == 적분의 라플라스변환. 미방에의 적용. == 6.3 == 단위계단함수 unit_step_function/Heaviside_function $u(t-a)$ 와 [[디랙_델타함수,Dirac_delta_function]] $\delta(t-a)$ 도입. 제2이동정리(t-이동). ---- Compare: [[푸리에_변환,Fourier_transform]] [[Z변환,z-transform]] Twins: [[WpKo:라플라스_변환]] [[WpEn:Laplace_transform]] [[RR:라플라스변환Laplace_transform]] https://angeloyeo.github.io/2019/08/12/Laplace_transform.html [[https://terms.naver.com/entry.naver?docId=3405053&cid=47324&categoryId=47324 수학백과: 라플라스 변환]] https://everything2.com/title/Laplace+Transform https://encyclopediaofmath.org/wiki/Laplace_transform https://mathworld.wolfram.com/LaplaceTransform.html Up: [[변환,transformation]] > [[적분변환,integral_transform]] [[Class_2020_1]]