AKA '''라플라스 연산자, Laplace operator'''. ([[라플라스_연산자,Laplace_operator]])

스칼라장의 기울기의 발산
[[스칼라장,scalar_field]]에 [[기울기,gradient]]와 [[발산,divergence]]을 차례로 적용한 것
divergence of gradient of scalar_field
div(grad(f))

기호:
 $\nabla^2$ 또는 $\nabla\cdot\nabla$ (어떤 책에서는 $\triangle$ )

 $\nabla^2f=\nabla\cdot\nabla f=\nabla\cdot(\nabla f)=\text{div}(\text{grad}(f))$
 ∇: [[델,del,나블라,nabla]] 연산자
 이 기호는 Laplacian 말고도 다른 이계미분에서도 쓰임 - [[헤세_행렬,Hessian_matrix]]

3차원 직교좌표에서
 $\nabla^2=\frac{\partial^2}{\partial x^2}+\frac{\partial^2}{\partial y^2}+\frac{\partial^2}{\partial z^2}$
 $\nabla^2 f=\frac{\partial^2 f}{\partial x^2}+\frac{\partial^2 f}{\partial y^2}+\frac{\partial^2 f}{\partial z^2}$
cyl, sph에서는 [[http://hyperphysics.phy-astr.gsu.edu/hbase/lapl.html]] 참조.

<<tableofcontents>>

= 벡터 라플라시안 =
$\nabla^2\vec{A}=\nabla(\nabla\cdot\vec{A})-\nabla\times(\nabla\times\vec{A})$

https://mathworld.wolfram.com/VectorLaplacian.html
[[WpEn:Vector_Laplacian]]


= 텐서 라플라시안 =
vector laplacian의 일반화.

https://mathworld.wolfram.com/TensorLaplacian.html

= 라플라스-벨트라미 연산자(Laplace-Beltrami operator) =
see 수학백과: 달랑베르 연산자

= 달랑베르시안, d’Alembertian, 달랑베르 연산자, d'Alembert operator =
□ ㅁ+한자에서 나온거....
☐ wpen에서 복사 U+2610 BALLOT BOX <- wpen에서 쓰는 문자인데 emoji에서는 투표박스? 로 나온다.
is the Laplace operator of Minkowski space.
AKA wave operator, box operator
관련: [[파동방정식,wave_equation]]

Twins:
[[https://terms.naver.com/entry.naver?docId=5668976&cid=60207&categoryId=60207 수학백과: 달랑베르 연산자]]
{
## 여기 mimeTeX에서 \square 지원 안해서 일단 \qed를 사용했음.
변수 $(x,y,z,t)$ 를 갖는 함수에 대한, 다음과 같은 [[RR:미분연산자]].
 $\qed=\frac{1}{c^2}\frac{\partial^2}{\partial t^2}-\triangle = \frac{1}{c^2}\frac{\partial^2}{\partial t^2}-\frac{\partial^2}{\partial x^2}-\frac{\partial^2}{\partial y^2}-\frac{\partial^2}{\partial z^2}$

그리고 [[파동방정식,wave_equation]]을
 $\qed u(x,y,z,t)=0$
으로 표현하는 경우가 많다.

라플라스 연산자를 리만_다양체,Riemannian_manifold에서 리만_계량,Riemannian_metric을 써서 확장한 것이 라플라스-벨트라미 연산자,
라플라스-벨트라미 연산자를 민코프스키 계량(Minkowski_metric)을 써서 확장한 것이 달랑베르 연산자.
}
[[WpEn:D%27Alembert_operator]]
[[WpKo:달랑베르_연산자]]

여기선 ☐² .......chk
https://mathworld.wolfram.com/dAlembertian.html
https://everything2.com/title/D%2527Alembertian+operator

= 이산 라플라시안, 그래프 라플라시안 =
고전적인 연속(?) 라플라시안에 해당하는 것의 [[이산성,discreteness]] 버전?
대충 [[그래프,graph]] [[네트워크,network]] [[행렬,matrix]] [[이산수학,discrete_math]] 관련인데...
일단 see:
WpEn:Discrete_Laplace_operator
WpEn:Laplacian_matrix
 Laplacian_matrix = graph_Laplacian = admittance_matrix = Kirchhoff_matrix = discrete_Laplacian ? 표현이 많다...

= tmp links ko =
https://micropilot.tistory.com/2970

= 관련 =
[[라플라스_방정식,Laplace_equation]]
 curr goto [[방정식,equation#s-11]]
[[조화함수,harmonic_function]]

헤세 행렬의 대각합과 같음.
[[헤세_행렬,Hessian_matrix]]의 [[대각합,trace]]

----
Twins:
https://angeloyeo.github.io/2019/08/28/laplacian.html
[[https://terms.naver.com/entry.naver?docId=3405054&cid=47324&categoryId=47324 수학백과: 라플라스 연산자]]
[[WpKo:라플라스_연산자]]
[[WpSimple:Laplace_operator]]
[[WpEn:Laplace_operator]]
https://encyclopediaofmath.org/wiki/Laplace_operator
https://mathworld.wolfram.com/Laplacian.html
https://math.fandom.com/wiki/Laplace_operator

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Up: [[벡터미적분,vector_calculus]], [[연산자,operator]]