[[로그,log]] [[함수,function]] 고딩에선 [[지수함수,exponential_function]]를 먼저 가르치고 그 역함수로 정의하는데, 대1에선 이렇게. '''자연로그함수 natural logarithmic function'''의 정의 $\ln x \;:=\, \int_{1}^{x}\frac{1}{t}dt \;\;\; (x>0)$ 그 다음 [[자연로그의_밑,e]]을 $\ln e=1$ 가 되는 수 $e$ 로 정의. 위 정의 식에 따라서 $\ln(1)=0$ $\frac{d}{dx}(\ln x)=\frac1{x}$ <> = 너무 쉬운 = 당연히 밑은 0이 아닌 양수여야 함 정의역: 양의 실수 전체 치역: 실수 전체 x절편: (1, 0) = 로그함수의 미분 = [[미적분학의기본정리,FTC]]의 첫번째에 의해 $\frac{d}{dx}\ln x=\frac{d}{dx}\int_1^x \frac1t dt = \frac1x$ $a>0,a\ne1$ 일 때 $x>0$ 이면, $\frac{d}{dx}(\log_a x)=\frac1{x\ln a}$ $x\ne0$ 이면, $\frac{d}{dx}(\log_a|x|)=\frac1{x\ln a}$ [[연쇄법칙,chain_rule]]을 고려하면 $\frac{d}{dx}\ln u=\frac1u\frac{du}{dx}\;\;\;(u>0)$ [[미분,derivative]] (주의) 자연로그함수의 미분 $\ln(x)$ 와 $\ln(bx)$ 의 미분이 같다. $bx>0$ 일 때, $\frac{d}{dx}\ln(bx)=\frac1x$ pf. $=\frac{1}{bx}\cdot\frac{d}{dx}(bx)=\frac{1}{bx}\cdot b=\frac1x$ = 여러 로그 및 그 표준 표기 = ||$\log_a x$ ||log to the base $a$ of argument $x$ || ||$\ln x=\log_e x$ ||natural log of $x$ || ||$\lg x=\log_{10}x$ ||decimal/common log of $x$ || ||$\mathrm{lb}x=\log_2 x$ ||binary log of $x$ || ISO 80000-2 기준 = 로그미분법 = 양변에 [[로그,log]]를 취하면 곱셈→덧셈, 나눗셈→뺄셈, 거듭제곱→상수배로 간단히 바뀐다는 사실을 이용하는 미분법 - chk ---- 미적과행렬 p106 $x<0$ 일 때 $\frac{d}{dx}(\ln(-x))=\frac{1}{(-x)}\cdot\frac{d}{dx}(-x)=\frac1{x}$ 이므로 $x\ne 0$ 일 때 $\frac{d}{dx}(\ln|x|)=\frac1{x}$ 따라서 $\frac{d}{dx}(\ln|q(x)|)=\frac{q'(x)}{q(x)}$ 이 사실을 이용하면 여러 인수가 곱해진 복잡한 함수의 미분을 간편하게 할 수 있다. 즉 $f(x)=f_1(x)f_2(x)\cdots f_n(x)$ 에 대하여 $\ln|f(x)|=\ln|f_1(x)|+\ln|f_2(x)|+\cdots+\ln|f_n(x)|$ 이므로 $\frac{f'(x)}{f(x)}=\frac{f_1'(x)}{f_1(x)}+\frac{f_2'(x)}{f_2(x)}+\cdots+\frac{f_n'(x)}{f_n(x)}$ 이다. (분모의 함수값이 0이 아닐 때만 성립) 이러한 계산법을 '''로그미분법'''이라 하고, $\frac{f'(x)}{f(x)}$ 를 $f(x)$ 의 로그미분(logarithmic derivative)이라고 한다. [[Date(2022-01-19T00:38:47)]] see [[미분,derivative]] > logarithmic_derivative logarithmic_differentiation - WpEn:Logarithmic_differentiation = Stewart 1.5 Inverse Functions에서 = $\begin{matrix}\log_b(b^x)=x\;\;\;&\textrm{for every }x\in\mathbb{R}\\\textrm{ }\\b^{\log_b x}=x\;\;\;&\textrm{for every }x>0\end{matrix}$ 정의역에 차이가 생기는 이유를 정확히. TBW $\begin{matrix}\ln(e^x)=x\;\;\;&\textrm{for every }x\in\mathbb{R}\\\textrm{ }\\e^{\ln x}=x\;\;\;&\textrm{for every }x>0\end{matrix}$ 그리고 바로 위에서 $x>0$ 일 때 $x^r=e^{\ln(x^r)}=e^{r\ln x}$ 이므로 $x^r=e^{r\ln x}$ ''QQQ 이것의 함의는 '지수 꼴'은 무조건 '밑을 e로 하는 지수 꼴'로 변환할 수 있다는 것? CHK'' = 관련 = '''로그함수'''의 [[역함수,inverse_function]]는 [[지수함수,exponential_function]] 복소해석적 정의도 있는데 TBW. 일단은 see backlink. 복소로그함수 { [[Namu:복소로그함수]] [[MathNote:복소로그함수]] 이것은 [[다가함수,multivalued_function]]. 개수가 무한히?? 항상? ...via [[https://wiki.mathnt.net/index.php?title=I%5Ei_%EB%8A%94_%EB%AC%B4%EC%97%87%EC%9D%BC%EA%B9%8C%3F i^i는 무엇일까]] - 답은 무한히 많음. 그 중 [[주치,principal_value]]로 실수도 있다는 것이 특기할 점. } [[polylogarithmic_function]] - writing. ---- MathNote:로그_함수 Up: [[함수,function]]