로피탈_정리,L_Hopital_s_rule

로피탈 정리, l'Hôpital's rule, l'Hospital's rule

극한,limit
$\lim_{x\to a}\frac{f(x)}{g(x)}$
$\frac00$ 또는 $\frac{\infty}{\infty}$ 꼴의 부정형,indeterminate_form일 때
$\lim_{x\to a}\frac{f(x)}{g(x)}=\lim_{x\to a}\frac{f'(x)}{g'(x)}$
이다. (또 조건 있는지 CHK)
이런 부정형이 아닐 때 쓰면 안된다. CHK



Thm. 미분가능한 함수 $f,g,$ 있고 $\lim_{x\to a}f(x)=\lim_{x\to a}g(x)=0$ 일 때
$\lim_{x\to a}\frac{f(x)}{g(x)}=\lim_{x\to a}\frac{f'(x)}{g'(x)}$

조건 세가지임
  • 부정형 (0/0, ∞/∞ 등) <- '등'이 뭔지 정확히
  • $\lim_{x\to a}\frac{f'(x)}{g'(x)}$ 존재
  • $g'(x)\ne 0$
을 만족하면

틀린 증명 (고등학교)
$\lim_{x\to a}\frac{f(x)}{g(x)}=\lim_{x\to a}\frac{f(x)-f(a)}{g(x)-g(a)}=\lim_{x\to a}\frac{\frac{f(x)-f(a)}{x-a}}{\frac{g(x)-g(a)}{x-a}}=\frac{f'(a)}{g'(a)}$


$f(a)=g(a)=0$ 이고, $f,g$$a$ 를 포함하는 개구간 $I$ 에서 미분가능하며, $x\ne a$$I$ 에서 $g'(x)\ne 0$ 이면 다음이 성립
$\lim_{x\to a}\frac{f(x)}{g(x)}=\lim_{x\to a}\frac{f'(x)}{g'(x)}$
부정형,indeterminate_form극한,limit에 대해서만 로피탈의 법칙을 적용 가능.
(Thomas p193)


미분가능한 함수 $f,g$ 에 대해 극한값
$\lim_{x\to a}\frac{f'(x)}{g'(x)}$
가 존재한다고 하고, $a\in\mathbb{R}$ 에 대해
$\bullet\; f(a)=g(a)=0$ 이거나
$\bullet\; \lim_{x\to a}f(x)=\lim_{x\to a}g(x)=\pm\infty$
이면 다음 등식이 성립한다.
$\lim_{x\to a}\frac{f(x)}{g(x)}=\lim_{x\to a}\frac{f'(x)}{g'(x)}$


$f$$g$ 가 미분가능하고, $f(a)=g(a)=0$ 이고, $g'(a)\ne0$ 이면
$\lim_{x\to a}{f(x)\over g(x)}=\frac{f'(a)}{g'(a)}$

(더 일반적인 형식) $f$$g$ 가 미분가능하고, $f(a)=g(a)=0$ 이면,
$\lim_{x\to a}{f(x)\over g(x)}=\lim_{x\to a}{f'(x)\over g'(x)}$
이다. (오른쪽 극한이 존재한다면)

(무한이 관련된 형식) $f$$g$ 가 미분가능하고, $a$ 는 실수이거나 $\pm\infty$ 이고,
when $\lim_{x\to a}f(x)=\pm\infty$ and $\lim_{x\to a}g(x)=\pm\infty$
or
when $\lim_{x\to\infty}f(x)=\lim_{x\to\infty}g(x)=0$
이면 다음이 성립한다. (오른쪽 극한이 존재한다면)
$\lim_{x\to a}\frac{f(x)}{g(x)}=\lim_{x\to a}\frac{f'(x)}{g'(x)}$

Bmks ko

로피탈 정리의 기하학적 의미 https://angeloyeo.github.io/2019/09/08/LHopital_rule.html

Misc, History

l'Hospital은 로피탈 생전의 프랑스어 표기, l'Hôpital은 현대 프랑스어 표기.
발견자는 로피탈이 아님.

(pagename normalization/번역어 선택 문제.) 보통 정리↔theorem으로 번역되며(정리,theorem), 규칙/법칙은 유사어이며 대략 규칙,rule 법칙,law 이렇지만, 이것을 일컫는 영어 표현은 -rule, 한국어 표현은 -정리 가 대세. (del ok)