'''로피탈 정리, l'Hôpital's rule, l'Hospital's rule'''

[[극한,limit]]
 $\lim_{x\to a}\frac{f(x)}{g(x)}$ 
가 $\frac00$ 또는 $\frac{\infty}{\infty}$ 꼴의 [[부정형,indeterminate_form]]일 때
 $\lim_{x\to a}\frac{f(x)}{g(x)}=\lim_{x\to a}\frac{f'(x)}{g'(x)}$
이다. (또 조건 있는지 CHK)
이런 부정형이 아닐 때 쓰면 '''안된다'''. CHK

----
rechk; tmp from https://www.youtube.com/watch?v=kFVuzrUZEyI

Thm. 미분가능한 함수 $f,g,$ 있고 $\lim_{x\to a}f(x)=\lim_{x\to a}g(x)=0$ 일 때
 $\lim_{x\to a}\frac{f(x)}{g(x)}=\lim_{x\to a}\frac{f'(x)}{g'(x)}$

조건 세가지임
 * 부정형 (0/0, ∞/∞ 등) <- '' '등'이 뭔지 정확히''
 * $\lim_{x\to a}\frac{f'(x)}{g'(x)}$ 존재
 * $g'(x)\ne 0$
을 만족하면

틀린 증명 (고등학교)
 $\lim_{x\to a}\frac{f(x)}{g(x)}=\lim_{x\to a}\frac{f(x)-f(a)}{g(x)-g(a)}=\lim_{x\to a}\frac{\frac{f(x)-f(a)}{x-a}}{\frac{g(x)-g(a)}{x-a}}=\frac{f'(a)}{g'(a)}$

----
$f(a)=g(a)=0$ 이고, $f,g$ 가 $a$ 를 포함하는 개구간 $I$ 에서 미분가능하며, $x\ne a$ 인 $I$ 에서 $g'(x)\ne 0$ 이면 다음이 성립
 $\lim_{x\to a}\frac{f(x)}{g(x)}=\lim_{x\to a}\frac{f'(x)}{g'(x)}$
[[부정형,indeterminate_form]]인 [[극한,limit]]에 대해서만 로피탈의 법칙을 적용 가능.
(Thomas p193)

----
미분가능한 함수 $f,g$ 에 대해 극한값
 $\lim_{x\to a}\frac{f'(x)}{g'(x)}$
가 존재한다고 하고, $a\in\mathbb{R}$ 에 대해
 $\bullet\; f(a)=g(a)=0$ 이거나
 $\bullet\; \lim_{x\to a}f(x)=\lim_{x\to a}g(x)=\pm\infty$
이면 다음 등식이 성립한다.
 $\lim_{x\to a}\frac{f(x)}{g(x)}=\lim_{x\to a}\frac{f'(x)}{g'(x)}$
## 서울대기초수학학습교재 p183 인데, 내용 중 a\in[-\infty,\infty] 가 있는데 틀린 것 같아서 a\in\mathbb{R}로 바꿔 적음.

----
$f$ 와 $g$ 가 미분가능하고, $f(a)=g(a)=0$ 이고, $g'(a)\ne0$ 이면
 $\lim_{x\to a}{f(x)\over g(x)}=\frac{f'(a)}{g'(a)}$

(더 일반적인 형식) $f$ 와 $g$ 가 미분가능하고, $f(a)=g(a)=0$ 이면,
 $\lim_{x\to a}{f(x)\over g(x)}=\lim_{x\to a}{f'(x)\over g'(x)}$
이다. (오른쪽 극한이 존재한다면)

(무한이 관련된 형식) $f$ 와 $g$ 가 미분가능하고, $a$ 는 실수이거나 $\pm\infty$ 이고,
 when $\lim_{x\to a}f(x)=\pm\infty$ and $\lim_{x\to a}g(x)=\pm\infty$
 or 
 when $\lim_{x\to\infty}f(x)=\lim_{x\to\infty}g(x)=0$
이면 다음이 성립한다. (오른쪽 극한이 존재한다면)
 $\lim_{x\to a}\frac{f(x)}{g(x)}=\lim_{x\to a}\frac{f'(x)}{g'(x)}$
## Calculus Single Variable 6e p.243

= Bmks ko =
로피탈 정리의 기하학적 의미 https://angeloyeo.github.io/2019/09/08/LHopital_rule.html

= Bmks en =
l'Hôpital's rule [[https://everything2.com/title/l%2527H%25C3%25B4pital%2527s+rule]] tmp

= Misc, History =
l'Hospital은 로피탈 생전의 프랑스어 표기, l'Hôpital은 현대 프랑스어 표기.
발견자는 로피탈이 아님.

(pagename normalization/번역어 선택 문제.) 보통 정리↔theorem으로 번역되며([[정리,theorem]]), 규칙/법칙은 유사어이며 대략 [[규칙,rule]] [[법칙,law]] 이렇지만, '''이것'''을 일컫는 영어 표현은 -rule, 한국어 표현은 -정리 가 대세. (del ok)

----
[[https://terms.naver.com/entry.naver?docId=3338517&cid=47324&categoryId=47324 수학백과: 로피탈 정리]] 또는 '''로피탈 법칙'''
[[Libre:로피탈의_정리]]
https://mathworld.wolfram.com/LHospitalsRule.html
https://proofwiki.org/wiki/L%27H%C3%B4pital%27s_Rule
https://planetmath.org/lhopitalsrule
https://planetmath.org/proofofdelhopitalsrule
https://encyclopediaofmath.org/wiki/L%27Hospital_rule - ''l'Hôpital's rule''
[[WpKo:로피탈의_정리]]
[[WpEn:L'Hôpital's_rule]]
[[Namu:로피탈의%20정리]]

Up: [[미적분,calculus]]