'''Rolle's theorem'''

$f$ 가 세 조건
 $[a,b]$ 에서 연속 ([[연속성,continuity]])
 $(a,b)$ 에서 미분가능 ([[미분가능성,differentiability]])
 $f(a)=f(b)$
을 만족하면
 $\Rightarrow \; \exists c \in (a,b)$ such that $f'(c)=0$
(단대 김도형)
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함수 $f$ 가 폐구간 $[a,b]$ 에서 [[미분가능,differentiable]]하고 $f(a)=f(b)$ 이면,
개구간 $(a,b)$ 에 점 c가 존재한다.
 $\exists c\in (a,b)$
어떤 점이 존재하냐면, (such that)
 $f^{\prime}(c)=0$
인 점이 존재한다.

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함수 $y=f(x)$ 가 $[a,b]$ 에서 연속이고, $(a,b)$ 에서 미분가능일 때, $f(a)=f(b)$ 이면,
 $f^{\prime}(c)=0$ 인 $c\,(a<c<b)$ 가 존재한다.
다시 말해,
 $f'(c)=0$ 을 만족하는 $c$ 가 구간 $(a,b)$ 안에 적어도 하나 존재한다.

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'''롤 정리'''를 일반화시키면 [[평균값정리,mean_value_theorem,MVT]]가 됨.
또는, 평균값정리의 보조정리로 활용됨.
'''롤의 정리'''는 평균값정리의 특별한 경우임.
'''롤의 정리'''를 이용해 평균값 정리를 얻을 수 있음.

= Proof =
1. $y=f(x)$ 가 상수함수인 경우에는 자명.

2. $y=f(x)$ 가 $[a,b]$ 에서 연속이고 $f(a)=f(b)$ 이므로 $f(x)$ 는 어떤 $x=c\;(a<c<b)$ 에서 최대값 또는 최소값을 가짐. ([[최대최소정리,extreme_value_theorem,EVT]]를 이용)

2-1. c가 최대값인 경우, $\forall\Delta x,\;f(c+\Delta x)\le f(c)$ 이므로 우변을 이항하면
 $0\le\lim_{\Delta x\to0^{-}}\frac{f(c+\Delta x)-f(c)}{\Delta x}=\lim_{\Delta x\to0^{+}}\frac{f(c+\Delta x)-f(c)}{\Delta x}\le0$

 $\Delta x<0$ 일 때 왼쪽 부등식이, $\Delta x>0$ 일 때 오른쪽 부등식이 성립.
 그리고 $f$ 가 $x=c\;(a<c<b)$ 에서 미분가능. 따라서

 $f^{\prime}(c)=0$

2-2. 최소값인 경우도 최대값인 경우와 마찬가지의 방법으로 증명.

저게 http://unolab.tistory.com/entry/%ED%8E%98%EB%A5%B4%EB%A7%88%EC%9D%98-%EC%A0%95%EB%A6%AC 페르마의 임계값 정리?

See also [[페르마_정리,Fermat_theorem]]

= Proof (again) =
함수 $f(x)$ 가 닫힌 구간 $[a,b]$ 에서 연속이므로, 이 구간에서 최대값 $M$ 과 최소값 $m$ 을 갖는다.
1. $M=m\quad\Rightarrow\quad\forall c\in(a,b),\,f'(c)=0$
2. $M>m$ 이면 $f(a)=f(b)$ 이므로 열린 구간 $(a,b)$ 의 한 점 $c$ 에 대해
 $f(c)=M$ 또는 $f(c)=m$
이 성립한다. 만약 $f(c)=M$ 이면, $c+h\in[a,b]$ 인 모든 $h$ 에 대해
 $f(c+h)\le f(c)$
이다. 따라서 $h>0$ 이면
 $\frac{f(c+h)-f(c)}{h}\le 0$
이고 $f(x)$ 가 $x=c$ 에서 미분가능하므로
 $f'(c)=\lim_{h\to0+}\frac{f(c+h)-f(c)}{h}\le0$
이다. 마찬가지로 $h<0$ 이면
 $\frac{f(c+h)-f(c)}{h}\ge 0$
이고 $f(x)$ 가 $x=c$ 에서 미분가능하므로
 $f'(c)=\lim_{h\to0-}\frac{f(c+h)-f(c)}{h}\ge0$
이다. 따라서 $f'(c)=0$ 이다.
$f(c)=m$ 인 경우의 증명은 연습문제로 남긴다.

From 서울대 기초수학교재(?)

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[[Libre:롤의_정리]]
http://planetmath.org/proofofrollestheorem
[[https://terms.naver.com/entry.naver?docId=3338267&cid=47324&categoryId=47324 수학백과: 롤의 정리]]
https://everything2.com/title/Rolle%2527s+theorem
https://brilliant.org/wiki/rolles-theorem/

Google:롤의.정리

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