'''Rolle's theorem'''

> 함수 $y=f(x)$ 가 $[a,b]$ 에서 연속이고, $(a,b)$ 에서 미분가능일 때,
> $f(a)=f(b)$ 이면 $f^{\prime}(c)=0$ 인 $c\,(a<c<b)$ 가 존재한다.

일반화시키면 [[평균값_정리,mean_value_theorem,MVT]]가 됨.
또는, 평균값정리의 보조정리로 활용됨.

Rolle의 정리는 MVT의 특별한 경우임.

= Proof =
[[최대최소정리,extreme_value_theorem]]를 이용한다.

1. $y=f(x)$ 가 상수함수인 경우에는 자명.

2. $y=f(x)$ 가 $[a,b]$ 에서 연속이고 $f(a)=f(b)$ 이므로 $f(x)$ 는 어떤 $x=c\;(a<c<b)$ 에서 최대값 또는 최소값을 가짐. (최대최소정리)

 2-1. c가 최대값인 경우, $\forall\Delta x,\;f(c+\Delta x)\le f(c)$ 이므로 우변을 이항하면
  $0\le\lim_{\Delta x\to0-}\frac{f(c+\Delta x)-f(c)}{\Delta x}=\lim_{\Delta x\to0+}\frac{f(c+\Delta x)-f(c)}{\Delta x}\le0$

  Δx<0일 때 왼쪽 부등식이, Δx>0일 때 오른쪽 부등식이 성립.
  그리고 f가 x=c (a<c<b) 에서 미분가능.
  따라서

  $f^{\prime}(c)=0$

 2-2. 최소값인 경우도 최대값인 경우와 마찬가지의 방법으로 증명.


저게 http://unolab.tistory.com/entry/%ED%8E%98%EB%A5%B4%EB%A7%88%EC%9D%98-%EC%A0%95%EB%A6%AC 페르마의 임계값 정리?


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https://librewiki.net/wiki/롤의_정리
Google:롤의.정리

http://planetmath.org/proofofrollestheorem
Google:rolle+theorem+proof

Up: [[미적분,calculus]]