$\sum_{n=0}^{\infty}a_nx^n$ 꼴로 나타낼 수 있는 [[급수,series]].

$\sum_{n=0}^{\infty}a_nx^n=a_0+a_1x+a_2x^2+\,\cdots\,+a_nx^n+\,\cdots$

이것도? - yes.
$\sum_{n=0}^{\infty}a_n(x-c)^n=a_0+a_1(x-c)+a_2(x-c)^2+a_3(x-c)^3+\,\cdots$

여기서 $c$ 를 center라고 한다. ([[중심,center]])
바로 위 멱급수는
 * power series in $(x-c)$
 * power series centered at $c$
 * power series about $c$
등으로 읽는다.
$a_0,a_1,\cdots$ 는 당연히 [[계수,coefficient]]s.

그러니까 무한차 [[다항식,polynomial]]? CHK

ex.
[[테일러_급수,Taylor_series]] $\nolimits \sum_{n=0}^{\infty} \frac{f^{(n)}(a)}{n!} (x-a)^n$
[[매클로린_급수,Maclaurin_series]] $\nolimits \sum_{n=0}^{\infty} \frac{f^{(n)}(0)}{n!} x^n$

[[로랑_급수,Laurent_series]]?
----
A '''power series''' about $x=a$ is a sum of constants times powers of $(x-a)$ :
 $C_0+C_1(x-a)+C_2(x-a)^2+\cdots+C_n(x-a)^n+\cdots=\sum_{n=0}^{\infty}C_n(x-a)^n$

수렴반경 : 특정 조건을 만족하는 실수 ...

수렴구간 

----
정의.
x=0을 중심으로 하는 멱급수(power series about x=0):
 $\sum_{n=0}^{\infty} c_n x^n = c_0 + c_1x + c_2x^2 + \cdots + c_nx^n + \cdots$
x=a를 중심으로 하는 멱급수(power series about x=a):
 $\sum_{n=0}^{\infty} c_n(x-a)^n = c_0 + c_1(x-a) + c_2(x-a)^2 + \cdots + c_n(x-a)^n + \cdots$
여기서 $a$ 는 [[중심,center]], [[상수,constant]] $c_0,c_1,c_2,\cdots,c_n,\cdots$ 는 [[계수,coefficient]]라 한다.

(Thomas 13e ko)

----
[[TableOfContents]]

= 진법, 수 체계와의 관련 =
A number is expressed with a power series in base(radix) r.

$(a_na_{n-1}\cdots a_1a_0.c_1 c_2 c_3\cdots)_b = \sum_{k=0}^n a_kb^k + \sum_{k=1}^\infty c_kb^{-k}$

관련 페이지: [[기수법,numeral_system]]

= 함수를 멱급수로 나타내기 representations of functions as power series =
예: $|x|<1$ 이면
 $\frac1{1-x}=1+x+x^2+x^3+\cdots=\sum_{n=0}^{\infty}x^n$

----
응용:

1
 $\frac1{1+x^2}=\frac1{1-(-x^2)}=1-x^2+x^4-x^6+\cdots = \sum_{n=0}^{\infty} (-1)^n x^{2n}$
 $(|-x^2|<1)$
  $\Leftrightarrow x^2<1$
  $\Leftrightarrow -1<x<1$

2
 $\frac1{x+2}$
  $=\frac1{2+x}$
  $=\frac12 \frac1{1+\frac{x}{2}}$
  $=\frac12 \frac1{1-\left(-\frac{x}{2}\right)}$
  $=\frac12\sum_{n=0}^{\infty}\left(-\frac{x}{2}\right)^n$
  $=\sum_{n=0}^{\infty}(-1)^n\frac{x^n}{2^{n+1}}$
 $\left| -\frac{x}{2} \right| < 1$
  $\Leftrightarrow |x|<2$
  $\Leftrightarrow -2<x<2$

3
 $\frac{x^3}{x+2}=\frac{x^3}{2}\left(\frac1{1-\left(-\frac{x}{2}\right)}\right)=\frac{x^3}{2}\left(1-\frac{x}2+\frac{x^2}{2^2}-\frac{x^3}{2^3}+\cdots\right)$
  $=\frac{x^3}{2}-\frac{x^4}{2^2}+\frac{x^5}{2^3}-\frac{x^6}{2^4}+\cdots\;(|-\frac{x}2|<1,\,|x|<2)$


= 멱급수전개 power series expansion =
later [[멱급수전개,power_series_expansion]]
Up: [[전개,expansion]]

$\sin x=x-\frac{x^3}{3!}+\frac{x^5}{5!}-\frac{x^7}{7!}+\cdots$

$\cos x=1-\frac{x^2}{2!}+\frac{x^4}{4!}-\frac{x^6}{6!}+\cdots$

sin, cos의 첫 항을 기억해내는 방법은 그래프를 생각하는 것

$e^{x}=1+x+\frac{x^2}{2!}+\frac{x^3}{3!}+\frac{x^4}{4!}+\cdots$

$\ln(1+x)=x-\frac12x^2+\frac13x^3-\frac1{4}x^4+\cdots$

$\tan^{-1}x=x-\frac{x^3}{3}+\frac{x^5}{5}-\frac{x^7}{7}+\cdots$

= 멱급수의 수렴정리 =
멱급수
 $\sum_{n=0}^{\infty} a_n x^n = a_0 + a_1x + a_2x^2 + \cdots$
이
 $x=c\ne 0$ 에서 수렴하면, $|x|<|c|$ 일 때 [[절대수렴,absolute_convergence]]한다.
한편
 $x=d$ 에서 발산하면, $|x|>|d|$ 일 때 발산한다.

(Thomas 13e ko)

= 멱급수의 수렴 반지름 =
멱급수 $f(x)=\sum c_n x^n$ 을 고려하자. 급수의 수렴 혹은 발산은 입력 변수 $x$ 를 어떻게 선택하느냐에 따라 달라진다. 수렴 반지름은 $\rho$ 로 표기하는데, 이 값은 n제곱근 판정법 혹은 비율 판정법을 사용하여 구할 수 있다.
 $\frac{1}{\rho}=\lim_{n\to\infty}\sqrt[n]{|c_n|}=\lim_{n\to\infty}\left|\frac{c_{n+1}}{c_n}\right|$
멱급수 $f(x)=\sum_{n=0}^{\infty}c_n x^n$ 은 모든 $-\rho<x<\rho$ 에 대해 수렴한다.

(Ivan Savov)

----
… 지금까지 공부한 것에 의하면 급수 $\textstyle\sum c_n(x-a)^n$ 의 수렴에 대해 세 가지가 가능하다. 즉 $x=a$ 에서만 수렴하거나, 모든 점에서 수렴하거나, $x=a$ 를 중심으로 반지름이 $R$ 인 어떤 구간에서 수렴한다. …

(위 '멱급수의 수렴정리'의 따름정리)

급수 $\sum c_n (x-a)^n$ 의 수렴성은 다음 세 가지 중의 하나이다.
 1. 양수 $R$ 이 존재하여
 $|x-a|>R$ 인 모든 $x$ 에 대하여 발산하고 // [[반지름,radius]]밖에선 [[발산,divergence]]
 $|x-a|<R$ 인 모든 $x$ 에 대해 절대수렴한다. // 반지름 안에선 [[절대수렴,absolute_convergence]]
 양 끝점인 $x=a-R,\;x=a+R$ 에서는 급수에 따라 수렴할 수도 있고 발산할 수도 있다.
 1. 모든 $x$ 에 대해 절대수렴한다. - $R=\infty$ 인 경우
 1. $x=a$ 에서만 수렴하고 그 외 모든 점에서 발산한다 - $R=0$ 인 경우

(중략)

$R$ 을 멱급수의 [[수렴반지름,convergence_radius]]이라 하고,
$x=a$ 를 중심으로 하는 반지름이 $R$ 인 [[구간,interval]]을 [[수렴구간,convergence_interval]]이라 한다.

(Thomas 13e ko)

= 멱급수의 수렴성을 판정하는 법 =
1. [[비율판정법,ratio_test|비판정법]]이나 [[근판정법,root_test|근판정법]]을 써서 급수가 [[절대수렴,absolute_convergence]]하는 구간을 찾는다. 보통 다음과 같은 개구간을 얻게 된다.
 $|x-a|<R$ 또는 $a-R<x<a+R$
2. 절대수렴하는 구간이 유한한 구간이면 양 끝점에서 [[비교판정법,comparison_test|비교판정]], [[적분판정법,integral_test|적분판정]], [[교대급수판정법,alternating_series_test|교대급수판정]] 등을 써서 수렴, 발산 여부를 조사한다.
3. 절대수렴하는 구간이 $a-R<x<a+R$ 이면 급수는 $|x-a|>R$ 에서 발산한다([[조건수렴,conditional_convergence|조건수렴]]도 하지 못한다). 이는 이 범위에서는 $n$ 번째 항이 $0$ 으로 수렴하지 못하기 때문이다.

(Thomas 13e ko)

= 형식적 멱급수 formal power series =
"형식적 멱급수" via KmsE:"formal power"
[[형식적멱급수,formal_power_series]]
https://mathworld.wolfram.com/FormalPowerSeries.html

https://encyclopediaofmath.org/wiki/Formal_power_series

Up: [[형식,form]]?
[[멱급수,power_series]]

= tmp; Stewart Appendix F에서. TOMOVE =
== 수렴발산관련 page A49 ==
Thm.
$x=b(b\ne 0)$ 일 때 멱급수 $\sum c_n x^n$ 이 수렴하면, $|x|<|b|$ 일 때도 수렴한다.
$x=d(d\ne 0)$ 일 때 멱급수 $\sum c_n x^n$ 이 발산하면, $|x|>|d|$ 일 때도 발산한다.
== p A50 ==
멱급수 $\sum c_n x^n$ 에 대해, 다음 세 가지 가능성밖에 없다. (다음 세 가지 중 하나이다?)
 1. $x=0$ 일 때만 수렴한다.
 1. 모든 $x$ 에 대해 수렴한다.
 1. $|x|<R$ 이면 급수가 수렴하고, $|x|>R$ 이면 급수가 발산하는 그런 양수 $R$ 이 존재한다.
----
멱급수 $\sum c_n(x-a)^n$ 에 대해 다음 세 가지 가능성밖에 없다.
 1. $x=a$ 일 때만 수렴한다.
 1. 모든 $x$ 에 대해 수렴한다.
 1. $|x-a|<R$ 이면 급수가 수렴하고, $|x-a|>R$ 이면 급수가 발산하는, 그런 양수 $R$ 이 존재한다.
(모두 증명 있음, 책 참조)

= 관련 =
[[해석함수,analytic_function]] curr goto [[함수,function#s-40]]

아벨 극한 정리 
[[WpKo:아벨_극한_정리]]
Abel's theorem on power series
[[https://terms.naver.com/entry.naver?docId=3405204&ref=y&cid=47324&categoryId=47324 수학백과: 아벨의 극한정리]]
... Naver:"아벨 극한 정리" Ggl:"아벨 극한 정리"

'''멱급수'''의 일반화
 * [[Puiseux_series]]
 * ''and..?''

see also [[RR:급수,series]]

----
AKA: '''거듭제곱급수, 무한차 다항식'''

Twins:
[[http://terms.naver.com/entry.nhn?docId=3404944&ref=y&cid=47324&categoryId=47324 수학백과: 거듭제곱급수]]
https://mathworld.wolfram.com/PowerSeries.html
[[WpEn:Power_series]]
[[WpKo:멱급수]]
https://www.encyclopediaofmath.org/index.php/Power_series
[[Libre:거듭제곱급수]]
https://freshrimpsushi.github.io/posts/power-series/
https://everything2.com/title/power+series

https://ncatlab.org/nlab/show/power+series
https://en.citizendium.org/wiki/Power_series

Up: [[급수,series]] [[멱,power]] [[무한급수,infinite_series]] [[합,sum]]