$\sum_{n=0}^{\infty}a_nx^n$ 꼴로 나타낼 수 있는 [[급수,series]]. $\sum_{n=0}^{\infty}a_nx^n=a_0+a_1x+a_2x^2+\,\cdots\,+a_nx^n+\,\cdots$ 이것도? - yes. $\sum_{n=0}^{\infty}a_n(x-c)^n=a_0+a_1(x-c)+a_2(x-c)^2+a_3(x-c)^3+\,\cdots$ 여기서 $c$ 를 center라고 한다. ([[중심,center]]) 바로 위 멱급수는 * power series in $(x-c)$ * power series centered at $c$ * power series about $c$ 등으로 읽는다. $a_0,a_1,\cdots$ 는 당연히 [[계수,coefficient]]s. 그러니까 무한차 [[다항식,polynomial]]? CHK ex. [[테일러_급수,Taylor_series]], [[매클로린_급수,Maclaurin_series]] [[로랑_급수,Laurent_series]]? ---- A '''power series''' about $x=a$ is a sum of constants times powers of $(x-a)$ : $C_0+C_1(x-a)+C_2(x-a)^2+\cdots+C_n(x-a)^n+\cdots=\sum_{n=0}^{\infty}C_n(x-a)^n$ 수렴반경 : 특정 조건을 만족하는 실수 ... 수렴구간 ---- 정의. x=0을 중심으로 하는 멱급수(power series about x=0): $\sum_{n=0}^{\infty} c_n x^n = c_0 + c_1x + c_2x^2 + \cdots + c_nx^n + \cdots$ x=a를 중심으로 하는 멱급수(power series about x=a): $\sum_{n=0}^{\infty} c_n(x-a)^n = c_0 + c_1(x-a) + c_2(x-a)^2 + \cdots + c_n(x-a)^n + \cdots$ 여기서 $a$ 는 [[중심,center]], [[상수,constant]] $c_0,c_1,c_2,\cdots,c_n,\cdots$ 는 [[계수,coefficient]]라 한다. (Thomas 13e ko) ---- [[TableOfContents]] = 진법, 수 체계와의 관련 = A number is expressed with a power series in base(radix) r. $(a_na_{n-1}\cdots a_1a_0.c_1 c_2 c_3\cdots)_b = \sum_{k=0}^n a_kb^k + \sum_{k=1}^\infty c_kb^{-k}$ 관련 페이지: [[기수법,numeral_system]] = 함수를 멱급수로 나타내기 representations of functions as p. s. = 예: $|x|<1$ 이면 $\frac1{1-x}=1+x+x^2+x^3+\cdots$ 응용: $\frac1{1+x^2}=\frac1{1-(-x^2)}=1-x^2+x^4-x^6+\cdots\;(|-x^2|<1)$ $\frac{x^3}{x+2}=\frac{x^3}{2}\left(\frac1{1-\left(-\frac{x}{2}\right)}\right)=\frac{x^3}{2}\left(1-\frac{x}2+\frac{x^2}{2^2}-\frac{x^3}{2^3}+\cdots\right)$ $=\frac{x^3}{2}-\frac{x^4}{2^2}+\frac{x^5}{2^3}-\frac{x^6}{2^4}+\cdots\;(|-\frac{x}2|<1,\,|x|<2)$ = 멱급수전개 power series expansion = later [[멱급수전개,power_series_expansion]] Up: [[전개,expansion]] $\sin x=x-\frac{x^3}{3!}+\frac{x^5}{5!}-\frac{x^7}{7!}+\cdots$ $\cos x=1-\frac{x^2}{2!}+\frac{x^4}{4!}-\frac{x^6}{6!}+\cdots$ sin, cos의 첫 항을 기억해내는 방법은 그래프를 생각하는 것 $e^{x}=1+x+\frac{x^2}{2!}+\frac{x^3}{3!}+\frac{x^4}{4!}+\cdots$ $\ln(1+x)=x-\frac12x^2+\frac13x^3-\frac1{4}x^4+\cdots$ $\tan^{-1}x=x-\frac{x^3}{3}+\frac{x^5}{5}-\frac{x^7}{7}+\cdots$ = 멱급수의 수렴정리 = 멱급수 $\sum_{n=0}^{\infty} a_n x^n = a_0 + a_1x + a_2x^2 + \cdots$ 이 $x=c\ne 0$ 에서 수렴하면, $|x|<|c|$ 일 때 [[절대수렴,absolute_convergence]]한다. 한편 $x=d$ 에서 발산하면, $|x|>|d|$ 일 때 발산한다. (Thomas 13e ko) = 멱급수의 수렴 반지름 = 멱급수 $f(x)=\sum c_n x^n$ 을 고려하자. 급수의 수렴 혹은 발산은 입력 변수 $x$ 를 어떻게 선택하느냐에 따라 달라진다. 수렴 반지름은 $\rho$ 로 표기하는데, 이 값은 n제곱근 판정법 혹은 비율 판정법을 사용하여 구할 수 있다. $\frac{1}{\rho}=\lim_{n\to\infty}\sqrt[n]{|c_n|}=\lim_{n\to\infty}\left|\frac{c_{n+1}}{c_n}\right|$ 멱급수 $f(x)=\sum_{n=0}^{\infty}c_n x^n$ 은 모든 $-\rhoR$ 인 모든 $x$ 에 대하여 발산하고 // [[반지름,radius]]밖에선 [[발산,divergence]] $|x-a||d|$ 일 때도 발산한다. == p A50 == 멱급수 $\sum c_n x^n$ 에 대해, 다음 세 가지 가능성밖에 없다. (다음 세 가지 중 하나이다?) 1. $x=0$ 일 때만 수렴한다. 1. 모든 $x$ 에 대해 수렴한다. 1. $|x|R$ 이면 급수가 발산하는 그런 양수 $R$ 이 존재한다. ---- 멱급수 $\sum c_n(x-a)^n$ 에 대해 다음 세 가지 가능성밖에 없다. 1. $x=a$ 일 때만 수렴한다. 1. 모든 $x$ 에 대해 수렴한다. 1. $|x-a|R$ 이면 급수가 발산하는, 그런 양수 $R$ 이 존재한다. (모두 증명 있음, 책 참조) = 관련 = [[해석함수,analytic_function]] curr goto [[함수,function#s-40]] 아벨 극한 정리 [[WpKo:아벨_극한_정리]] Abel's theorem on power series [[https://terms.naver.com/entry.naver?docId=3405204&ref=y&cid=47324&categoryId=47324 수학백과: 아벨의 극한정리]] see also [[RR:급수,series]] ---- AKA: '''거듭제곱급수, 무한차 다항식''' Twins: [[http://terms.naver.com/entry.nhn?docId=3404944&ref=y&cid=47324&categoryId=47324 수학백과: 거듭제곱급수]] https://mathworld.wolfram.com/PowerSeries.html [[WpEn:Power_series]] [[WpKo:멱급수]] https://www.encyclopediaofmath.org/index.php/Power_series [[Libre:거듭제곱급수]] https://freshrimpsushi.github.io/posts/power-series/ https://everything2.com/title/power+series https://ncatlab.org/nlab/show/power+series https://en.citizendium.org/wiki/Power_series Up: [[급수,series]] [[멱,power]] [[무한급수,infinite_series]] [[합,sum]]