명제논리,propositional_logic

AKA propositional calculus (명제계산/명제연산), sentential calculus (명제론)
AKA 영차논리,zeroth-order_logic{ zeroth-order logic (compare: 일차논리,first-order_logic) } 완전히는 아니고 거의 같은 뜻... 차이 서술 TBW


Sub:
implicative_propositional_calculus =
implicative_propositional_logic
implication(함의,implication 내포,implication 함축,implication 중에? pagename TBD. curr see 논리,logic#s-1)
connective(연결사,connective 논리연결사,logical_connective)로 implication만을 사용하는 명제논리.
https://encyclopediaofmath.org/wiki/Implicative_propositional_calculus


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1. variable of propositional logic

명제논리,propositional_logic의 변수,variable:
AKA statement_variable =,statement_variable . { statement variable RR:진술,statement 변수,variable/변항,variable? .. WtEn:statement_variable x(2023-08-16) ... Ndict:statement variable Ggl:statement variable Bing:statement variable }
https://proofwiki.org/wiki/Definition:Variable/Propositional_Logic

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2. TODO 이하 sectionize

//tmp; from 아주대 형식논리학3.pdf
{
명제논리의 구문론(구문,syntax)에 필요한 기호는 명제를 대신할 수 있는 문장기호(sentential_symbol)들과 이들을 여러 가지 방식으로 결합하는 연결사,connective를 도입함으로써 족하다, 여기에 추가하여 애매모호함(애매성 모호성 ambiguity)을 제거하기 위한 보조기호로 괄호,parenthesis를 덧붙일 수 있으나 이건 보조 역할일 뿐 원칙적으로 생략이 가능하다. - 이건 각주에 보면 "연결사의 결합강도에 차이를 두면 괄호 사용이 필요 없다"
괄호를 생략하는 것은 본문에 따르면 (복사)
부정: ¬α∨β ⇋ (¬α)∨β
선언: (α1∨α2∨α3∨…∨αn) ⇋ (…((α1∨α2)∨α3)∨…∨αn)
연언: (α1∧α2∧α3∧…∧αn) ⇋ (…((α1∧α2)∧α3)∧…∧αn)

문장기호 sentential symbolp q r …
연결사 logical connective ￢ ∧ ∨ → ↔
보조기호 auxiliary symbol ( )

// 연결사 table. pagename대충지음 - 원문에나온대로.
연결사 기능상 명칭 읽는 법 aka
￢ 부정,negation -이 아니다
∧ 연언,conjunction 그리고, and 연접連接
∨ 선언,disjunction 혹은, or 선접選接
→ 조건,condition or 조건부,conditional 만일-, 그러면 (if-, then) 실질함축 material_implication , 실질함언
↔ 쌍조건,biconditional 만일-, 그리고 오로지 그러할 경우에만. (if and only if, iff) 실질동치 material_equivalence

Def. 1.
표현(expression) (식,expression or 논리식,logical_expression)은 기본기호의 유한한 연결(chain/concatenation)이다.

Def. 2.
2-1. 문장기호는 정식(wff)이다. // RR:적형식,wff
2-2. 만일 a,b가 정식이면, 다음 다섯가지도 정식이다.
  • ￢a
  • a∧b
  • a∨b
  • a→b
  • a↔b

이 때 a와 b는 정식(wff)을 값으로 갖는 메타변항metavariable이며, 형식논리학의 대상언어(?)에 속하는 기호는 아니다.
}

//from nLab
묶인변수,bound_variable가 없는 명제,proposition만 다루는 논리.

명제 사이에 추론,inference

// from 수백; tmp
{
명제논리는 명제의 참/거짓 판별 보다는 명제들 사이의 연결사,connective 및 연결사로 연결한 새로운 명제의 참/거짓 판별에 더 관심이...
연결사를 몇가지 보자면 (fork)
{
∧ 논리곱
∨ 논리합
→ 조건문
↔ 쌍조건문 ... 이상 binary
~ 부정명제 ... 이건 unary
}
진리값,truth_value
진리표,truth_table
항진명제
{
어떤 명제가 항진명제라는 것은, 그것을 구성하는 각 명제에 참이든 거짓이든 아무 진리값을 주더라도 항상 참이 되는 명제라는 것.
}
// '명제논리의 완전성 정리' 문단 .... /// 완전성,completeness 완전성정리,completeness_theorem
명제논리를 더 형식논리로 설명하면...
명제논리의 언어,language는 다음 기호들로 구성됨.
  • 연결사 ￢, → (저자에 따라 ∧, ∨, ↔을 추가하기도 하나, 이들 (다섯?) 기호는 ￢, → 두 기호만으로 나타낼 수 있다)
  • 괄호 (, )
  • 공집합이 아닌 기호들의 집합 ℒ
ℒ의 원소,element들 = 명제기호,sentence_symbol. 보통 $p,q,r\ldots$ 로 표기.
그렇다면 명제,proposition(정확히는 ℒ-명제)를 다음과 같이 정의한다.
  • 모든 명제기호(i.e. ℒ의 원소)는 명제이다.
  • 만일 $\phi$ 와 $\psi$ 가 명제이면, $(\neg\phi)$ 와 $(\phi\to\psi)$ 는 각각 명제다.
  • 이 (두?) 과정을 유한 번 반복해서 만들어지는 것들만 명제라고 한다.
//////////// 이후계속 dddddddddddddddd ... 유도derivation? 증명,proof Hilbert_system proof_system 등등
}

Standard 기호,symbols
· and
∨ or
⊃ if ... then
∼ not



참고하면 좋은 links
https://mathworld.wolfram.com/FormalLanguage.html 의 두번째 문단 "For example, the language of propositional calculus could be defined as follows." (short)

tmp links ko
논리학, 그 첫 번째 이야기 | 명제논리 ( Propositional Calculus )  By 초코맛 도비
https://chocobear.tistory.com/151?category=851370

tmp links en
https://everything2.com/title/propositional logic
https://plato.stanford.edu/entries/logic-algebraic-propositional/
{
algebraic_propositional_logic (w) . Sub? 앞에 algebraic이 붙으면 달라지는 것은? QQQ
algebraic propositional logic


Twins:
https://foldoc.org/propositional logic
https://pub.mearie.org/명제논리
{
한정자(qualifier, ∀나 ∃따위, see RR:한정기호_정량자_quantifier)가 아예 없기 때문에, 0차 술어논리,predicate_logic라고도 한다. (→ 영차논리,zeroth-order_logic)

명제논리에서 적법한 논리식(RR:적형식,wff)은
  • 변수 $x$ 거나
  • 적법한 논리식 $\phi$ 의 부정 $\neg\phi$ 거나
  • 적법한 논리식 $\phi$ 와 $\psi$ 에 이항접속사(binary connective?) $\wedge,\vee,\to,\leftrightarrow$ 따위를 적용한 것
중 하나이다. (상황에 따라서 $\top,\bot$ 같은 논리식을 포함시키기도 한다.)
이것들의 집합은 모두 필수적인 것은 아니지만 너무 많이 빼면 완전성,completeness이 깨질 수 있다.