무한급수,infinite_series

무한급수(간단히 급수로 줄여 부르기도 함. See 급수,series)

정의:
수열,sequence의 무한개의 항,term들의 합,sum.
$\sum_{n=1}^{\infty}a_n=a_1+a_2+\cdots+a_n+\cdots$
Sub:
무한등비급수 = 무한기하급수 → 기하급수,geometric_series $a+ar+ar^2+\cdots=ar^0+ar^1+ar^2+\cdots=\sum\nolimits_{n=0}^{\infty}ar^n$
조화급수,harmonic_series
테일러_급수,Taylor_series
매클로린_급수,Maclaurin_series
멱급수,power_series

표기는 다양할 수 밖에.
$a_1+a_2+\cdots+a_n+a_{n+1}+\cdots$
$=\lim_{n\to\infty}\sum_{k=1}^n a_k$
$=\lim_{n\to\infty}S_n$
$=\sum_{n=1}^{\infty}a_n$
$=\sum a_n$

$a_1+a_2+a_3+\cdots+a_n+\cdots=\sum_{k=1}^{\infty} a_k = \lim_{n\to\infty}\sum_{k=1}^n a_k = \lim_{n\to\infty}S_n$

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부분합

$n$ 번째 항까지의 합을 이 무한급수의 부분합이라고 하고, $S_n$ 으로 나타낸다. 즉
$S_n=a_1+a_2+\cdots+a_n=\sum_{i=1}^{n}a_i$
이 때 $n$ 이 무한대로 가는 극한이 무한급수가 됨.


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tmp

무한 번 더해도 유한일 수 있다. 고대(그리스)에는 이것을 몰라서 (아님 알고도 논쟁을 만들기 위해?) 제논의 역설(Zeno's paradox)이란 게 있었다. - 역설,paradox
무한대,infinity 개념이 확립되지 않아서? CHK
예시는 무한급수 및 정적분,definite_integral등에서 숱하게 많으므로 생략

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tmp; chk

Memorize:

$\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n^p}$ 가 수렴할 조건은 $p>1$

$\sum_{n=1}^{\infty}r^n$ 이 수렴할 조건은 $|r|<1$


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성질

두 급수
$\sum_{n=1}^{\infty}a_n,\;\sum_{n=1}^{\infty}b_n$
이 각각 수렴하면 다음이 성립.
(1) $\sum_{n=1}^{\infty}ka_n=k\sum_{n=1}^{\infty}a_n$ (단, $k$ 는 상수)
(2) $\sum_{n=1}^{\infty}(a_n\pm b_n)=\sum_{n=1}^{\infty}a_n\pm\sum_{n=1}^{\infty}b_n$

다만, 수렴하는 두 급수의 곱과 몫에 대한 수렴성은 보장할 수 없다. 즉
$\sum_{n=1}^{\infty}a_nb_n\ne\left(\sum_{n=1}^{\infty} a_n\right)\left(\sum_{n=1}^{\infty} b_n\right)$
이며
$\sum_{n=1}^{\infty}\frac{a_n}{b_n}\ne\frac{\sum_{n=1}^{\infty} a_n}{\sum_{n=1}^{\infty} b_n}$
이다.

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tmp