여기서는 [[단어_미분]](goto [[미적분,calculus#s-3]])의 여러 뜻 중 '''도함수'''를 얘기 // RENAMETHISPAGE?

$f$ 의 '''도함수'''는 $f'$ 로 표기하며, 다음 [[극한,limit]]으로 정의됨
 $f'(x)=\lim_{h\to0}\frac{f(x+h)-f(x)}{h}$

이게 존재하면 "f is differentiable at x"라고 함.

[[미분,differentiation]]은 '''도함수'''(derivative)를 찾는 행동.

$x=a$ 로 두면, $f'(a)$ 는 [[점,point]] $(a,f(a))$ 에서 [[접선,tangent_line]]의 [[기울기,slope]].

함수 $y=f(x)$ 의 $x=a$ 에서의 [[미분계수,differential_coefficient]]는 $f'(a)$ 임.

'''도함수'''를 찾기 전단계의 함수가 원시함수. 원시함수는 하나만 존재하지 않고 임의의 상수를 더한(상수의 차이) 만큼만 다른 무한개가 있음. 즉 임의의 두 원시함수의 차이는 상수만큼임. - 관련: [[적분,integration]]

Sub:
 일계도함수 Srch:first_derivative
  (ex. [[속도,velocity]]는 시간에 대한 [[변위,displacement]]의 일계도함수.)
  https://proofwiki.org/wiki/Definition:First_Derivative
 이계도함수 Srch:second_derivative
  WpKo:이계도함수
  WpEn:Second_derivative
  https://proofwiki.org/wiki/Definition:Second_Derivative
  (ex. [[가속도,acceleration]]는 시간에 대한 [[변위,displacement]]의 이계도함수, [[속도,velocity]]의 일계도함수.)
 [[편미분,partial_derivative]]
 [[방향도함수,directional_derivative]]
 [[전미분,total_derivative]]
 [[logarithmic_derivative]] 로그미분 or 로그도함수
{
see also [[로그함수,logarithmic_function#s-4]]
rel. WpEn:Logarithmic_differentiation
[[WpEn:Logarithmic_derivative]]
}
 [[functional_derivative]]
  범함수미분? 범함수도함수? // (tmp) kms functional derivative => https://www.kms.or.kr/mathdict/list.html?key=ename&keyword=functional+derivative
  도함수(=[[미분,derivative]])의 일반화. [[변분법,variational_calculus]]에 등장. 여기선 [[함수,function]]를 [[변수,variable]]에 대해 [[미분,differentiation]]하는 대신에, [[범함수,functional]]를 [[함수,function]]에 대해 미분한다. (MW)
  https://mathworld.wolfram.com/FunctionalDerivative.html
  https://ncatlab.org/nlab/show/functional+derivative
  [[WpEn:Functional_derivative]]
  … Google:functional+derivative
 [[Frechet_derivative]]
  프레셰_도함수?
  '''Fréchet derivative'''
  [[전미분,total_derivative]]을 [[바나흐_공간,Banach_space]] = complete_normed_space 로 일반화한 것.
  https://freshrimpsushi.github.io/posts/frechet-derivative/
  WpKo:프레셰_도함수
  https://encyclopediaofmath.org/wiki/Fréchet_derivative - ''strong derivative''
  https://mathworld.wolfram.com/FrechetDerivative.html
  https://ncatlab.org/nlab/show/Fréchet+derivative
  … Google:frechet+derivative
 [[Gateaux_derivative]]
  '''Gâteaux derivative'''
  가토 도함수 via https://www.kms.or.kr/mathdict/list.html?key=ename&keyword=gateaux
  [[방향도함수,directional_derivative]]의 일반화? chk
  https://mathworld.wolfram.com/GateauxDerivative.html
  https://encyclopediaofmath.org/wiki/Gâteaux_derivative - ''weak derivative''
  … Google:gateaux+derivative
 위 둘 {Gateaux, Frechet} derivative에 대한 한국어 글 - https://elementary-physics.tistory.com/52
 [[Radon-Nikodym_derivative]] - writing
  
 도함수의 일반화 - WpEn:Generalizations_of_the_derivative
 ex.
 [[subderivative]] - [[볼록해석,convex_analysis]] 쪽에서 사용하는 derivative의 일반화? curr at Srch:subgradient
 [[weak_derivative]] - WpKo:약도함수 WpEn:Weak_derivative

<<tableofcontents>>

= 고계도함수 (high order derivatives) =
$y'$ = the first derivative of y
$y''$ = the second 〃
$y'''$ = the third 〃
 ...
$y^{(n)}$ = the nth 〃

2nd derivative test:
third derivative test : [[변곡점,inflection_point]]과 관련....
TBW

== 일계도함수 ==
rel.
[[일계도함수판정법,first_derivative_test]]

== 이계도함수 second derivative, second order derivative ==
[[https://terms.naver.com/entry.naver?docId=3338331&cid=47324&categoryId=47324 수학백과: 이계도함수]]
당연히...뻔한얘기 함. 다음과의 관계.
 [[가속도,acceleration]]
 [[오목볼록,concave_and_convex]]
 극점 { [[극값,extremum]] [[극점,extreme_point]] or [[극점,extremal_point]] : [[극대,local_maximum]] [[극소,local_minimum]] [[극대점]] [[극소점]] [[극대값]] [[극소값]] ...? }

rel.
[[이계도함수판정법,second_derivative_test]]

== 고계도함수 ==
[[https://terms.naver.com/entry.naver?docId=3338239&cid=47324&categoryId=47324 수학백과: 고계미분계수]] 참조.... 단 저기 설명 대상이 고계도함수가 아니라 고계미분계수 임에 주의

= 미분공식들 =
상수함수의 도함수는 0
 $\frac{d}{dx}c=0$

항등함수의 도함수는 1
 $\frac{d}{dx}x=1$

[[지수함수,exponential_function]]의 도함수는 자기 꼴이 그대로 포함
 $\frac{d}{dx}a^x=a^x\ln a$

[[로그함수,logarithmic_function]]의 도함수는 분수 형태
 $\frac{d}{dx}\log_a x=\frac1{x\cdot\ln a}$
 $\frac{d}{dx}\ln x=\frac1{x}$
$\ln x$ 와 $\ln(-x)$ 의 도함수가 같음
 $ y = \ln|x| \quad \Rightarrow \quad y ' = \frac1x $
 $ \left( x<0: \quad y=\ln(-x), \quad y' = \frac{(-x)'}{-x} = \frac1x\right)$

곱의 미분법(두 함수의 곱의 미분법)의 다른 이름은 라이프니츠 정리, 라이프니츠 법칙.
[[https://terms.naver.com/entry.naver?docId=3338259&cid=47324&categoryId=47324 수학백과: 라이프니츠 정리]]
이 식을 적분하면 바로 [[부분적분,integration_by_parts]]방법이 됨.
Derivative Product Rule:
$u,v$ 가 $x$ 에서 미분가능하면 $uv$ 도 미분가능하며
 $\frac{d}{dx}(uv)=u\frac{dv}{dx}+v\frac{du}{dx}$
 $(uv)'=uv'+vu'$ (in prime notation)
 $\frac{d}{dx}[f(x)g(x)]=f(x)g'(x)+g(x)f'(x)$ (in function notation)
(Thomas 11e)

몫의 미분법(두 함수의 분수 꼴의 미분법)
[[https://terms.naver.com/entry.naver?docId=3405076&cid=47324&categoryId=47324 수학백과: 몫의 미분법]]
Derivative Quitient Rule
$u,v$ 가 $x$ 에서 미분가능하고 $v(x)\ne 0$ 이면 [[몫,quotient]] $u/v$ 도 $x$ 에서 미분가능하며
 $\frac{d}{dx}\left(\frac{u}{v}\right)=\frac{v\frac{du}{dx}-u\frac{dv}{dx}}{v^2}$
 $\frac{d}{dx}\left[\frac{f(x)}{g(x)}\right]=\frac{g(x)f'(x)-f(x)g'(x)}{g^2(x)}$ (in function notation)
(Thomas 11e)

합성함수의 미분법
$y=f(u),\; u=g(x)$ 가 미분 가능하면
 $\frac{dy}{dx}=\frac{dy}{du}\cdot\frac{du}{dx}=f'(u)\cdot g'(x)=f'(g(x))g'(x)$
See [[연쇄법칙,chain_rule]]

매개변수로 표현된 함수의 미분법
$x=f(t),\;y=g(t)$ 일 때
 $\frac{dy}{dx}=\frac{\frac{dy}{dt}}{\frac{dx}{dt}}=\frac{g'(t)}{f'(t)}$

역함수의 미분법
$y=f(x)$ 가 미분 가능하고 $f(a)=b$ 일 때
 $(f^{-1})'(b)=\frac{1}{f'(f^{-1}(b))}=\frac{1}{f'(a)}$
CHK WHY
......
[[역함수,inverse_function]]의 도함수
{
함수 $f$ 가 미분가능하고 역함수 $g=f^{-1}$ 를 가지면,
 $\frac{d}{dx}\left[f^{-1}(x)\right]=g'(x)=\frac1{f'(g(x))$
  단, $f'(g(x))\ne 0$

증명: [[RR:역함수의_도함수(미분)_증명]]
}
''tmp from https://blog.naver.com/dydrogud22/110189290591 맨아래''
{
$f(g(x))=x,\;g(x)=f^{-1}(x)$ 이고 기타 미분가능 등 조건들 성립하면
 $\frac{d}{dx}f(g(x))=\frac{d}{dx}x$
 $f'(g(x))g'(x)=1$
$f'(g(x))\ne0$ 이면,
 $g'(x)=\frac{1}{f'(g(x))}$
 $(f^{-1})'(x)=\frac{1}{f'(f^{-1}(x))}$
}

역삼각함수의 미분법
 $\frac{d}{dx}\sin^{-1}x=\frac1{\sqrt{1-x^2}}$
  $(-1<x<1)$
 $\frac{d}{dx}\cos^{-1}x=-\frac1{\sqrt{1-x^2}}$
  $(-1<x<1)$
 $\frac{d}{dx}\tan^{-1}x=\frac1{1+x^2}$
  $(-\infty<x<\infty)$

지수 비슷한 (?? 멱함수?) $f(x)^{g(x)}$ 꼴의 도함수
https://iseulbee.com/archives/derivatives-of-power-functions/

= 미분(derivative)의 표기법, 도함수의 표기법 =
Lagrange
 1계미분: $f'$
 2계미분: $f''$
 n계미분: $f^{(n)}$
Leibniz
 $x$ 에 대해 미분할 때,
 1계미분: $\frac{df}{dx}$
 2계미분: $\frac{d^2f}{dx^2}$
 n계미분: $\frac{d^nf}{dx^n}$
 (Lagrange 표기법에 비해서: 번거롭다는 단점, [[종속변수,dependent_variable]]가 명확하게 나타난다는 장점.)
Newton
 이 때는 [[시간,time]] $t$ 에 대한 미분을 함의하므로, 주로 물리에서만 쓰임.
 1계미분: $\dot{x}$
 2계미분: $\ddot{x}$
Euler
 $Df$
첨자 표기법 subscript notation?
 $f_x$

편미분의 경우 어떤 변수에 대해 미분하는지가 중요하므로 Leibniz표기법과 첨자표기법이 주로 쓰이며 Leibniz표기법의 경우 $d$ 자리에 $\partial$ 을 쓴다. See [[편미분,partial_derivative#s-1]]

MVFROM [[RR:라이프니츠_표기법,Leibniz_notation]]

[[표기법,notation]]

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Up: [[미적분,calculus]], esp. differential calculus

Related: 영단어 derivative는 미적분학·해석학에서 주로 '''미분·도함수'''로 번역되며 그 외에선 대개 [[유도,derivation]]로 번역됨.

Twins:
[[RR:미분,derivative]]
https://planetmath.org/derivative
https://mathworld.wolfram.com/Derivative.html
https://ncatlab.org/nlab/show/derivative

[[https://terms.naver.com/entry.naver?docId=3338255&cid=47324&categoryId=47324 수학백과: 도함수]]
https://proofwiki.org/wiki/Category:Definitions/Derivatives