#noindex = growth/decay = [[성장,growth]], [[,decay]] 작성중. == natural growth/decay == 시각 $t$ 에서 수량이 $y(t)$ 이고, $t$ 에 관한 $y$ 의 변화율이 항상(임의의 시각에서) $y(t)$ 에 비례한다면, $\frac{dy}{dt}=ky$ 여기서 $k$ 는 상수이고, $k>0$ : law of natural growth $k<0$ : law of natural decay 이것의 유일한 해는 [[지수함수,exponential_function]]인 $y(t)=y(0)e^{kt}$ 이다. (Stewart 8e ko p390) == logistic growth/decay == tbw Google:logistic+growth = Excerpt: 김홍종 미적1+ = (미방에 대한 intro) 방사능 물질 붕괴 - 매 순간 붕괴하는 양은 현재의 질량에 비례하여 나타나므로 $m'(t)=-km(t)$ 같은 미분방정식으로 나타나고, 은행에 예금한 돈에 이자가 붙어 늘어나는 것은 ''// 현재 돈에 비례하므로'' $a'(t)=+ka(t)$ 같은 식으로 나타난다. 이와 같이 어떤 함수 $f$ 와 그 도함수 $f',f''$ 등이 어떤 관계식 $F(t,f(t),f'(t),f''(t),\cdots)=0$ 으로 표현될 때, 이 식을 '''미분방정식'''이라 부르고, 이러한 식을 만족시키는 함수 $f(t)$ 를 구하는 것을 '미분방정식을 푼다'고 말한다. 두번째 식을 풀어 보자. 물론 이 식을 만족시키는 함수 $a(t)$ 는 [[미분가능함수,differentiable_function]]이고, 따라서 [[연속함수,continuous_function]]라야 할 것이다. 그런데 $a(t)$ 의 도함수 $a'(t)$ 가 $ka(t)$ 이므로, $a'(t)$ 는 연속함수이다. 이와 같이 도함수가 연속인 함수를 일급미분가능함수(differentiable function of class 𝒞^^1^^) 또는 줄여서 일급함수(𝒞^^1^^ 함수)라고 부른다. 한편 $a'(t)$ 가 일급함수 $ka(t)$ 와 같으므로, $a'(t)$ 는 또 다시 미분가능하고 $a''(t)=ka'(t)=k^2a(t)$ 이므로 $a(t)$ 는 이급함수(𝒞^^2^^ 함수)이다. 이와 같이 처음에 주어진 관계식에서 새로운 관계식 $a^{(n)}(t)=k^n a(t) \;\;\; (n=0,1,2,3,\ldots)$ 가 얻어지고, 이로부터 미분방정식의 해는, 만약 존재한다면, 무한급 함수 즉 𝒞^^∞^^ 함수라는 것을 알 수 있다. 그러므로 처음에 예금한 금액을 $a(0)=:a_0$ 라고 하면, $a^{(n)}(0)=k^n a_0$ 이고, 따라서 $a(t)$ 가 거듭제곱급수(=[[멱급수,power_series]]) 함수라면 $a(t):=\sum_{n=0}^{\infty} \frac{k^n a_0}{n!} t^n = a_0 e^{kt}$ 이라야 함을 알 수 있다. 이제 초기 조건이 주어진 미분방정식 ''// [[initial_value_problem]]'' $a'(t)=ka(t),\;a(0)=a_0$ 을 만족시키는 함수는 $a_0e^{kt}$ 뿐임을 보여보자. 만약 $a(t)$ 가 위의 초기조건이 주어진 방정식의 해라면, ''// 음의 부호가 왜 나오지? 지금까지 다루던 두번째 방정식 말고 첫번째 붕괴 방정식?'' $\frac{d}{dt}\left( a(t) e^{-kt} \right) = a'(t) e^{-kt} + a(t) \left( -k e^{-kt} \right) = 0$ 이고, 따라서 $a(t)e^{-kt}$ 는 상수이다. 이 상수는 $t=0$ 을 대입하면 $a_0$ 이므로, $a(t)=a_0 e^{kt}$ 이다. (김홍종 미적1+ p96) ---- Sub: [[상미분방정식,ordinary_differential_equation,ODE]] [[편미분방정식,partial_differential_equation,PDE]] ...등등 분류는 아래 [[미분방정식,differential_equation#s-1|section 1]]에 있는데 서서히 여기로 mv. [[완전미분방정식,exact_differential_equation]] - [[RR:완전미방exact_DE]] [[자율미분방정식,autonomous_differential_equation]] 미분방정식에서 [[독립변수,indepenent_variable]]가 명확하게 나타나지 않은 것을 '''자율 미분방정식'''이라 한다. (Zill 6e ko p44) Google:자율미분방정식 [[확률미분방정식,stochastic_differential_equation]] [[초기값문제,initial_value_problem,IVP]] - writing [[경계값문제,boundary_value_problem,BVP]] - writing tmp { 유형에 따른 분류 [[독립변수,independent_variable]] 개수에 따라 * 상미분방정식 : 독립변수가 1개 * 편미분방정식 : 독립변수가 2개 이상 계수(order)에 따라 : 1계, 2계, ..., n계 [[선형성,linearity]]에 따라 : 선형미분방정식 vs 비선형미분방정식 } tmp; 정리. ##''근데 아래 pagename을 보면 한국어 띄어쓰기가 상당히 골치아픈 문제이며 inconsistency를 유발한다.. 그나저나 wpko는 단어를 웬만하면 모두 띄어쓴다 정도로 합의를 보았나?'' { MathNote:미분방정식 Zeta:미분_방정식 Zeta:편미분_방정식 Zeta:상미분_방정식 ordinary_differential_equation, ODE first-order_ordinary_differential_equation first-order_ODE first-order ordinary differential equation https://mathworld.wolfram.com/First-OrderOrdinaryDifferentialEquation.html Zeta:선형_방정식 - 한줄 "왼쪽 식과 오른쪽 식이 둘 다 변수의 선형 함수를 갖는 방정식" Zeta:선형_미분방정식 linear_differential_equation - 세줄. 간결. https://everything2.com/title/linear+differential+equation Zeta:선형_상미분방정식 linear_ordinary_differential_equation, linear_ODE { $n$ 계 상미분방정식(nth-order ODE) $F(x,y,y',\cdots,y^{(n)})=0$ 에서 $F$ 가 $y,y',\cdots,y^{(n)}$ 에 대해 선형이면([[선형성,linearity]]) $n$ '''계 선형 상미분방정식'''. 식으로는 다음 형태. $a_n(x)y^{(n)}+a_{n-1}(x)y^{(n-1)}+\cdots+a_1(x)y'+a_0(x)y-g(x)=0$ https://ghebook.blogspot.com/2011/10/ordinary-differential-equation.html MathNote:일계_선형미분방정식 linear_first-order $a_1(x)\frac{dy}{dx}+a_0(x)y=g(x)$ https://calculus.subwiki.org/wiki/First-order_linear_differential_equation MathNote:이계_선형_미분방정식 Zeta:이계_선형상미분방정식 linear_second-order $a_2(x)\frac{d^2y}{dx^2}+a_1(x)\frac{dy}{dx}+a_0(x)y=g(x)$ 선형 상미분방정식의 두 특성: * 종속변수 $y$ 와 그것의 모든 도함수들 $y',y'',\cdots,y^{(n)}$ 은 1차이다. 즉 $y$ 를 포함하는 각각의 항들은 1차 거듭제곱이다. * $y',y'',\cdots,y^{(n)}$ 의 계수함수 $a_0,a_1,\cdots,a_n$ 들은 독립변수 $x$ 만의 함수이다. 비선형 상미분방정식은 단순히 선형이 아닌 상미분방정식을 말한다. (Zill) 비선형 상미분방정식에는 '비선형 항'이 있어서 구별할 수 있는 듯. 비선형 상미분방정식의 예와 그 방정식이 비선형인 이유 example. (Zill) ||비선형 ODE ||비선형 항 ||설명 || ||$(1-y)y'+2y=e^x$ ||$(1-y)$ ||$y'$ 앞의 계수함수는 $x$ 만의 함수여야 하는데 $y$ 를 포함하고 있음 || ||$\frac{d^2y}{dx^2}+\sin y=0$ ||$\sin y$ ||$y$ 에 대한 선형이 아님 || ||$\frac{d^4y}{dx^4}+y^2=0$ ||$y^2$ ||거듭제곱이 1이 아님 .... // 참고로, $y''$ 즉 $y^{(2)}$ 가 저 자리에 있었으면 선형이지만 $y^2$ 가 있으니 비선형. || } Zeta:초기하_미분방정식 hypergeometric_differential_equation, hypergeometric_equation rel. [[초기하급수,hypergeometric_series]]-writing https://encyclopediaofmath.org/wiki/Hypergeometric_equation - ''Gauss equation'' 2nd order ODE. http://mathonline.wikidot.com/differential-equations - good, 정리 + 간단한 예제 Namu:미분방정식 Namu:미분방정식/풀이 Libre:미분방정식 } ---- tmp { 검색으로 나온 knu 2011-2 미분방정식 시험 3 pdf => http://bh.knu.ac.kr/~ilrhee/lecture/exam/2011-2-mibun-exam3-ans.pdf URL에서 http://bh.knu.ac.kr/~ilrhee/ 경북대 이일수 교수(물리) 홈페이지. 일반물리 / 현대물리 / 미분방정식 / 전자회로 강의 자료 있음. } ---- See [[RR:미분방정식,differential_equation]] ---- tmp links ko { 참새와 함께하는 공학수학 - ODE 편: 53개의 글 http://asq.kr/Zv6kf 미분방정식 22개의 글 https://blog.naver.com/leesu52/90176712745 미분방정식 18개의 글 https://blog.naver.com/qio910/222038668806 } Sub: { 미방 해결 기술들 techniques: 변수분리법 separation_of_variables [[WpKo:변수분리법]] [[WpEn:Separation_of_variables]] 미정계수법 method_of_undetermined_coefficients writing ㅁㅁ감소법? (order를 뭘로 번역하느냐에 따라 계수감소법 or 차수감소법, 근데 계수는 coefficient랑 번역이 겹치고..) reduction_of_order order_reduction writing 매개변수변환법(번역은 wpko) variation_of_parameters writing 프로베니우스 방법/해법 Frobenius_method 특정 종류의 linear ODE를 [[멱급수전개,power_series_expansion]]로 푸는 방법 [[WpKo:프로베니우스_방법]] [[WpEn:Frobenius_method]] Google:sturm+liouville Sturm-Liouville https://ghebook.blogspot.com/2011/11/sturm-liouville-theory.html } ---- [[TableOfContents]] 그냥 방정식 : 알려지지 않은 [[수,number|수]](미지수)를 가진....chk '''미분 방정식''' : 알려지지 않은 [[함수,function|함수]]와, 그것의 [[미분,derivative|도함수]]들 중 하나 이상을 가진 방정식 미지함수의 도함수([[미분,derivative]])를 포함하는 방정식 ex. $x+1=2$ 의 해는 수 하나 ... 의 해는 두 수 $x^2-y^2=1$ 의 해는 두 수 (수의 순서쌍)의 집합 $f'(x)=f(x)$ 의 해는 함수 $f(x)=Ce^x$ (의 집합?) 다음 항상 옳은지 CHK || ||[[해,solution]] || ||그냥 방정식 ||숫자 || ||미분 방정식 ||함수 || ||차분 방정식 ||수열 || (page links: [[방정식,equation]], [[미분,differential]], [[차분,difference]]=[[차이,difference]], [[차분방정식,difference_equation]], [[수,number]], [[함수,function]], [[수열,sequence]]) 종속변수 $y$ 의 도함수를 포함하는 방정식, 즉 $y',\frac{dy}{dx}$ 등을 포함하는 방정식 하나 이상의 독립변수에 대해, 하나 이상의 종속변수의 도함수(derivative)를 포함하는 방정식 (See also [[독립변수와_종속변수]]) 종속변수를 독립변수에 대해 미분한 [[미분,derivative|도함수]]를 포함하는 [[방정식,equation|방정식]] 미분이란 변화율이고, 미분방정식이란 변화율의 방정식 풀 때 [[방향장,direction_field]]과 integral curve(적분 곡선, 해곡선) 를 그리기도 한다. 해의 정성적인 성질을 파악할 수 있다. 구체적인 해를 구하기는 힘들다. = 미분방정식의 분류 = 상미방: 독립변수가 하나인 미분방정식 편미방: 독립변수가 둘 이상인 미분방정식 선형미방: 종속변수가 1차인 항만으로 구성된 미방 비선형미방: 종속변수가 2차 이상인 항이 하나라도 포함된 미방 제차미방: 독립변수만으로 된 항이 없는 미방 비제차미방: 독립변수만으로 된 항이 포함된 미방 [[연립미분방정식,system_of_differential_equations]] == 계수, 차수, m계 n차 == ||계수 ||order ||최대 미분 횟수. 방정식에 나타난 최대 미분 수. 미분방정식에 나타난 가장 높은 미분 횟수. || ||차수 ||degree ||계수가 가장 높은 도함수의 거듭제곱수. || 즉 계수(order)를 먼저 보고 그 다음 그 항의 차수(degree)를 본다. 계-차 순서임. [[계차수열]]을 연상? 예 ||$y''-\sin x=0$ ||2계 1차 || ||$(y'')^3+8y=0$ ||2계 3차 || ||${\partial^2z\over \partial x^2}+{\partial^2z \over \partial y^2}=8x^2+10xy$ ||2계 1차 || 종속변수(보통 y) 차수(degree)가 1차이면 선형, 아니면 비선형. === 1차 미방 === 일반 형태 $\frac{dy}{dx}=f(x,y)$ 인데 적분으로 풀 수 있는 경우가 많음. 2차 이상은 힘듦. [* https://youtu.be/qjiNS8hhVac?t=218] 1차 미방을 적분으로 푸는 순서 $\frac{dy}{dx}=f(x,y)$ $dy=f(x,y)dx$ $\int dy=\int f(x,y)dx$ 즉 변수분리형 얘기임. DELME == form (Zill) == n계 미방의 general form: $F(x,y,y',\cdots,y^{(n)})=0$ n계 미방의 normal form: $\frac{d^ny}{dx^n}=f(x,y,y',\cdots,y^{(n-1)})$ 즉, 1계 미방의 normal form: $\frac{dy}{dx}=f(x,y)$ 2계 미방의 normal form: $\frac{d^2y}{dx^2}=f(x,y,y')$ == form == derivative form $y''+y'=0$ differential form $\frac{d^2y}{dx^2}+\frac{dy}{dx}=0$ [[미분연산자,differential_operator]] $D^2y+Dy=0$ ## from https://www.youtube.com/watch?v=MyUU3X1r9ak 3m == 상미분방정식(ODE)과 편미분방정식(PDE) == [[상미분방정식,ordinary_differential_equation,ODE]] 독립 변수 1개 종속 변수 1개 이상 한 개의 독립변수에 대한 도함수를 포함하는 방정식. - chk [[편미분방정식,partial_differential_equation,PDE]] 독립 변수 2개 이상 종속 변수 1개 이상 두 개 이상의 독립변수에 대한 도함수(편미분)을 포함하는 방정식 편미방 중에서, 선형 편미방: 풀고자 하는 함수의 편도함수들과 함수의 차수가 모두 1차 비선형 편미방: 그렇지 않은 경우 == 제차(homogeneous), 비제차(nonhomogeneous) 미분방정식 == ...가 0이면 제차, 아니면 비제차 TBW 참조: { https://everything2.com/title/Ordinary+differential+equation } https://everything2.com/title/homogeneous+differential+equation ---- $F(y,\cdots,y^{(n)},x)=0$ is called homogeneous if $F(y,\cdots,y^{(n)},x)$ does not contain a term which contains $x$ only. $x$ 만으로 이루어진 항이 등장하지 않을 때 homogeneous. Homogeneous가 아니면 inhomogeneous. Ex. $y''+y+x^2=0$ 은 inhomogeneous. $y''+y+\sin y=0$ 은 homogeneous. (최정환) ## src: https://youtu.be/J2FJVHchcu4?t=1408 == 선형/비선형 == [[선형성,linearity]] 유무에 따라, 선형linear/비선형nonlinear 미분방정식으로 나눔. 선형미분방정식: 종속변수와 그 도함수가 모두 1차인 미방 비선형미분방정식: 선형이 아닌 경우 선형미분방정식: $y,\,y',\cdots,y^{(n)}$ 에 대해 선형 즉 $a_n(x)y^{(n)}+a_{n-1}(x)y^{(n-1)}+\cdots+a_1(x)y'+a_0(x)y=g(x)$ 꼴 비선형 미분방정식: 선형이 아닌 방정식 선형이 되기 위해서는 y와 그 도함수가 1차이어야 하며 그 계수가 독립변수에만 의존해야 한다. linearity: linear한 미분방정식은, $a_n(x)y^{(n)}+a_{n-1}(x)y^{(n-1)}+\cdots+a_1(x)y'+a_0(x)y=g(x)$ 특히, 다음 두 가지가 중요 linear first-order (n=1) $a_1(x)\frac{dy}{dx}+a_0(x)y=g(x)$ 여기서 $g(x)=0$ 이면 homogeneous, 아니면 nonhomogeneous. 양변을 $a_1(x)$ 로 나누면 다음 standard form이 된다. $\frac{dy}{dx}+P(x)y=f(x)$ linear second-order (n=2) $a_2(x)\frac{d^2y}{dx^2}+a_1(x)\frac{dy}{dx}+a_0(x)y=g(x)$ linear하지 않으면 nonlinear. = [[미분,differential]]을 다루는 법 기초?? = $\int f(x)dx=F(x)+C$ 근데 $F'(x)=f(x)$ $\frac{d}{dx}F(x)=f(x)$ ## $\frac{dF(x)}{dx}=f(x)$ $dF(x)=f(x)dx$ 이므로 위의 식을 $\int dF(x)=F(x)+C$ 로 쓸 수 있다. = 해 (solution) = [[해,solution]](writing) 미분방정식의 해 (solution) : 미분방정식에 대입하면 방정식이 만족되는 것. 함수임. 함수를 미분방정식에 대입하여 (QQQ: 어떤 구간의 모든 점에 대해? 항상 이런 조건? CHK - Stewart 미방 소개 앞부분.) 만족하면 해. 해가 '값'인 그냥 방정식과는 달리, 미분방정식은 해가 '함수' 꼴이므로, 이걸로 [[곡선,curve]] 그래프를 그릴 수 있다. 해곡선(solution curve)을 그릴 수 있다. CHK // [[해곡선,solution_curve]] 어떤 경우에 해당? 해곡면 뭐 이런 건 없나? 일반해 (general solution) : 계수만큼 상수를 가진 해 특수해 (particular solution) : 임의의 상수(? 일반해에 나오는 적분상수?)에 특정한 값을 대입한 해 특이해 (singular solution) : --특수해가 아닌 해-- 보통 일반해 형태로 나타낼 수 없는 경우를 특이해라 하고, 그 외의 의미는 해가 [[특이점,singularity]]을 갖는 경우와 해의 [[유일성,uniqueness]]이 성립하지 않는 경우의 해를 뜻한다고 함. [* https://terms.naver.com/entry.naver?docId=3405376&ref=y&cid=47324&categoryId=47324 수학백과 특이해] trivial solution 대충내생각, not sure, chk { 미분방정식의 일반해는 (대체로?) 무한 개의 해를 가질 수 있다... 그래서 암튼 별 의미는 없을것같은데, 일반적으로 어떤 DE의 해의 개수? (cardinality 연산자 써서)로 따지면 |일반해의집합| > |특수해의집합| [[자명해,trivial_solution]]는 일반적으로 별 쓸모가 없는듯??? why? 일반해 : 어떤 (매개변수?)가 아직 정의되지 않고 적분상수처럼 있는, 그래서 경우가 너무 많은, 그런 경우 특수해 : particular. 그것이 특정 값으로 확정/특정되어 해가 특정하게 정해진 그런 경우 특이해 : singular. (어떤 매개변수를 택해도 안 되는, 매개변수로 표현을 할 수 없는) 자명해 : 뻔하고 간단하지만 (대체로) 쓸모는 없는 그런 해 ''trivial_solution 은 왠지 (방정식 등의) degenerate_case 와 관련이 있나? 그럴 것 같은 느낌'' } ---- explicit solution: $y=\phi(x)$ ex. $y=\cos x$ implicit solution: $G(x,y)=0$ ex. $y=\cos(xy)$ general solution: $y=\cos x+C$ particular solution: $y=\cos x+5$ initial solution이 주어져 있어서 C를 구할 수 있는 경우 singular solution: a solution that cannot be expressed by the general solution == 해의 종류 == 일반해(general solution) 특수해(particular solution) 특이해(singular solution) 자명해(trivial solution) chk { 특수해: 해곡선 solution_curve 일반해: 해곡선의 집합 } == 기본적 미방 4개와 그 해 == ||$\frac{dy}{dx}=ky$ ||$y(x)=Ce^{kx}$ || ||$\frac{dy}{dx}=-ky$ ||$y(x)=Ce^{-kx}$ || ||$\frac{d^2y}{dx^2}=-k^2y$ ||$y(x)=C_1\cos(kx)+C_2\sin(kx)$ || ||$\frac{d^2y}{dx^2}=k^2y$ ||$y(x)=C_1e^{kx}+C_2e^{-kx}$ [[br]] or [[br]] $y(x)=D_1\cosh(kx)+D_2\sinh(kx)$ || == 미분방정식의 해 == 주어진 미분방정식을 만족하는 [[독립변수와_종속변수]] 사이의 관계를 얻었을 때 그 관계(방정식)를 미분방정식의 해라고 한다. * 일반해 : 임의의 상수를 포함하는 해 * 특수해 : 일반해의 상수가 조건을 만족하는 해 * 특이해 : 미분방정식을 풀어서 구할 수 없는 해 [[https://www.youtube.com/watch?v=lflQ78zkyc8 src 권태원]] = 변수분리법 = 변수분리가 가능한 꼴의 제차 선형 편미분 방정식을 독립변수의 개수와 같은 수의 상미분 방정식으로 바꾸는 방법 [[https://terms.naver.com/entry.naver?docId=5668845&cid=60207&categoryId=60207 수학백과: 변수분리형 미분방정식]] = 예 = == 속도가 일정할 때 거리 식 얻기 == $v=\frac{dx}{dt}$ 가 일정할 때 $\int dx=\int vdt$ $\int_{x(0)}^{x(t)}dx=\int_0^t vdt$ $[x]_{x(0)}^{x(t)}=[vt]_0^t$ $x(t)-x(0)=vt-0$ $x(t)=x(0)+vt$ $x(t)=x_0+vt$ from [[https://www.youtube.com/watch?v=qjiNS8hhVac 차동우 10m]] == 뉴턴의 F=ma == $m\frac{d^2x}{dt^2}=-mg$ 양변을 m으로 나누면 $\frac{d^2x}{dt^2}=-g$ t에 대해 적분하면 $\frac{dx}{dt}=A-gt$ 다시 적분하면 $x=B+At-\frac12gt^2$ 초기 높이가 $x_0$ 이고 초기 속도가 $v_0$ 이면 $x(0)=x_0,\;\frac{dx}{dt}(0)=v_0$ 이므로 $x(t)=x_0+v_0t-\frac12gt^2$ == 빗방울의 낙하 == 시각 $t=0$ 일 때 떨어지기 시작하면, 시각 $t$ 일 때 속도 $v$ 는? 빗방울에 작용하는 [[힘,force]]은 아래쪽으로 $mg,$ 위쪽으로 저항력 $cv.$ 그래서 지구 방향으로 잡아당기는 힘은 $F=mg-cv$ 그리고 이것이 $ma$ 이므로 $m\frac{dv}{dt}=mg-cv$ 양변을 $m$ 으로 나누면 $\frac{dv}{dt}=g-\frac{c}{m}v$ (← '''미분방정식''') $v(0)=0$ 풀면 $v=\frac{gm}{c}\left( 1-e^{\frac{-ct}{m}} \right)$ Ref. 10개의 특강으로 끝내는 수학의 기본 원리 == Population == Exponential growth model. 박테리아의 개체수(population)를 P라 하고, 영양분과 공간이 충분하다고 가정할 때, 성장률([[비율,rate]] of growth)은 개체수에 비례한다. $\frac{dP}{dt}=kP$ 이것의 답은 $P(t)=Ce^{kt}$ == 예제: RC회로 == [[RC회로,RC_circuit]] from 차동우 대학물리 p100 일단 $i(t)=\frac{dq(t)}{dt}$ RC회로에 키르히호프의 고리법칙을 적용하면 $Ri+\frac{q}{C}=\mathcal{E}$ $R\frac{dq}{dt}+\frac{q}{C}=\mathcal{E}$ $\frac{dq}{dt}+\frac{q}{RC}=\frac{\mathcal{E}}{R}=\frac{\mathcal{E}C}{RC}$ $\frac{dq}{dt}=\frac{\mathcal{E}C-q}{RC}$ 1차 미분방정식이므로 항상 적분에 의해 풀 수 있다. $\frac{dq}{q-\mathcal{E}C}=-\frac{dt}{RC}$ $\int\frac{dq}{q-C\mathcal{E}}=-\int\frac{dt}{RC}$ 시간 0~t에 대해 적분한다면 전하에 대해서는 q(0)~q(t)까지 적분하여야 한다. $\int_{q(0)}^{q(t)}\frac{dq}{q-C\mathcal{E}}=-\int_0^{t}\frac{dt}{RC}$ (q(0)=q,,0,,, q(t)=q로 책에는 표기) 우변은 -t/RC이고 좌변은 $\int_{q(0)}^{q(t)}\frac{d(q-C\mathcal{E})}{q-C\mathcal{E}}=\ln(q-C\mathcal{E})|_{q(0)}^{q(t)}=\ln\frac{q(t)-C\mathcal{E}}{q(0)-C\mathcal{E}}$ 따라서, $\ln\frac{q-C\mathcal{E}}{q_0-C\mathcal{E}}=-\frac{t}{RC}$ $q-C\mathcal{E}=(q_0-C\mathcal{E})e^{-t/RC}$ $q(t)=C\mathcal{E}(1-e^{-t/RC})+q_0e^{-t/RC}$ 대부분 스위치를 닫는 순간에는 축전기에 대전된 전하가 q,,0,,=0인 경우가 많으며 그런 경우엔 $q(t)=C\mathcal{E}\left(1-e^{-t/RC}\right)$ i(t)는 전하를 시간으로 미분하면 구할 수 있으므로 $i(t)=\frac{d}{dt}q(t)=\frac{d}{dt}C\mathcal{E}(1-e^{-t/RC})=\frac{\mathcal{E}}{R}e^{-\frac{t}{RC}}$ q-t 그래프: 0에서 시작, Cℰ까지 증가 (점근) i-t 그래프: ℰ/R에서부터 감소, 0까지 점근 == Examples from 최정환 == CHK: linear DE: y, y', ... 이것들이 선형결합한것 nonlinear DE: yy' 같은 항들이 있는것 homogeneousness: (naver 어학사전: 같은 종류의 것으로 됨; 동일 조직임) F(y, …, y^^(n)^^, x) = 0에서 x만으로 된 [[항,term]]이 등장하지 않으면 homogeneous하다. x만으로 된 term이 등장하면 inhomogeneous. 1. $y''+y=0$ $y=\sin x$ is a solution; $y=\cos x$ is also a solution. 2. $x^2+y^2=0$ is a solution of $x+yy'=0$ = [[TI-Nspire_CAS_with_Touchpad]] = Google:TI-Nspire+미분방정식 Google:TI-Nspire+differential.equation = Bernoulli's equation = 베르누이_미분방정식 $\frac{dy}{dx}+P(x)y=f(x)y^n$ $n$ 은 실수. $n=0$ 및 $n=1$ 이면 선형. 선형이 아니면 $u=y^{1-n}$ 으로 치환하면 선형방정식으로 만들 수 있음. [[MathNote:베르누이_미분방정식]] = Riccati 방정식 = $y'+p(x)y=g(x)y^2+h(x)$ = Clairaut 방정식 = $y=xy'+g(y')$ = Exact = from 김미정 slides - 2.4 Exact DEs(1) - p. 10 exact differential: $M(x,y)dx+N(x,y)dy$ s.t. $\frac{\partial f}{\partial x}=M(x,y)\;\wedge\;\frac{\partial f}{\partial y}=N(x,y)$ exact DE: $M(x,y)dx+N(x,y)dy=0$ $z=f(x,y)$ 이면 [[전미분,total_differential]]은 $dz=\frac{\partial f}{\partial x}dx+\frac{\partial f}{\partial y}dy$ therefore, $f(x,y)=C\;\Leftrightarrow\;\frac{\partial f}{\partial x}dx+\frac{\partial f}{\partial y}dy=0$ = 스튀름-리우빌 = [[https://terms.naver.com/entry.naver?docId=4125356&cid=60207&categoryId=60207 수학백과: 스튀름-리우빌 방정식]] = Bmks ko = https://ghebook.blogspot.com/2011/10/differential-equation.html = Bmks en = 미적에 엄청 도움이 되었던 ''Paul's Online Notes''의 미분방정식 자료. https://tutorial.math.lamar.edu/Classes/DE/DE.aspx http://www.sosmath.com/diffeq/diffeq.html ---- AKA '''미방, diff eq''' Twins: [[WpKo:미분방정식]] [[Libre:미분방정식]] [[https://terms.naver.com/entry.naver?docId=3405084&cid=47324&categoryId=47324 수학백과: 미분방정식]] (easy) [[https://terms.naver.com/entry.naver?docId=1096350&cid=40942&categoryId=32220 두산백과: 미분방정식]] [[https://terms.naver.com/entry.naver?docId=778980&cid=42085&categoryId=42085 경제학사전: 미분방정식]] https://everything2.com/title/Differential+equation https://planetmath.org/differentialequation https://ncatlab.org/nlab/show/differential+equation (very hard) https://en.citizendium.org/wiki/Differential_equation https://proofwiki.org/wiki/Definition:Differential_Equation https://calculus.subwiki.org/wiki/Differential_equation Up: [[방정식,equation]] [[미적분,calculus]] > [[미분,differential]]