미적분,calculus


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2.1. 미적분학 교재

3. 미분


단어_미분
{
Sub:
미분,derivative - 미분한 것, 도함수
미분,differentiation - 미분하는 행동
미분,differential -
}

미분이라고 번역되는 단어는 다양.

사전적 의미는
  • differentiation
    n. 구별, 차별; 미분
  • differentiate
    v. 구별하다
  • differential
    n. 차이, 격차
  • derivative
    n. 파생어, 파생물 (참고: derive v. 끌어내다, 얻다; (수학) 유도하다)

수학적 의미는

differentiation
미분(하는 행동)
the process of finding a derivative
differentiate
미분하다
differential
함수의 일종, 선형근사,linear_approximation 참조
dx, dy 같은 것
TOASK =무한소,infinitesimal ?
derivative
미분한 것
순간변화율, 미분계수, 도함수
도함수라는 번역이 주로 쓰이지만 일본어번역투라서 유도함수로 써야 한다는 의견이 있음. (수갤)


기본적인 개념은 변화율(rate of change, Δy/Δx 등으로 나타내는 그것, 관련 개념 비,ratio)에서 왔다.
평균변화율 average rate of change
$\frac{f(a+h)-f(a)}{h}$
순간변화율 instantaneous rate of change, 미분계수
평균변화율에 극한,limit을 취함
$\lim_{h\to0}\frac{f(a+h)-f(a)}{h}$
순간변화율의 equivalent: 도함수(derivative)

표기법 dy/dx 에서 d는 differential,
저 식은 derivative

기타 관련 단어로는
antiderivative 역도함수
antidifferentiation
differentiable 미분가능(한)
differentiability 미분가능성
연속하는continuous 연속continuation 연속성,continuity??
변곡점(inflection point)
극값, 극댓값(local maximum value), 극솟값(local minimum value)
cusp (두 곡선이 만나는 뾰족한) 끝
discontinuity 중단, 단절; 수학에선 불연속(성)



Related


미적분학의기본정리,FTC에 의하면 antidifferentiation = integration



3.2. 미분,differential



Definition

Let $y=f(x)$ be a differentiable function of the independent variable $x$ .

$\Delta x$ is an arbitrary increment in the independent variable $x$ .
$dx$ , called the differential of the independent variable $x$ , is equal to $\Delta x$ .
$\Delta y$ is the actual change in the variable $y$ as $x$ changes from $x$ to $x+\Delta x$ ; that is, $\Delta y=f(x+\Delta x)-f(x)$ .
$dy$ , called the differential of the dependent variable $y$ , is defined by $dy=f'(x)dx$ .


곱의 미분법을 Leibniz식으로 써 보면,
$\frac{d(uv)}{dx}=\frac{du}{dx}v+u\frac{dv}{dx}$
dx를 곱하면,
$d(uv)=(du)v+u(dv)$
적분하면,
$uv=\int vdu+\int udv$
$\int udv=uv-\int vdu$
이렇게 부분적분,integration_by_parts 공식이 나옴


관련 표현
미소~ (ex. 미소변위)
디퍼렌셜


3.4. 다변수함수의 미분


3.5.1. 편미분방정식(PDE)


3.6.1. 편미분방정식(PDE)

4. 적분

4.1. table?

$\int\frac{f^{\prime}(x)}{f(x)}dx=\ln|f(x)|+C$

4.2. 자주 나타나는 생략

$\int dx=\int 1dx$

$\int \frac{dx}{x}=\int\frac1{x}dx$

4.3. 치환적분,integration_by_substitution


$\int f(x)dx$
에서
$x=g(t)$
로 놓으면, $g(t)$ 가 미분가능할 때
$\int f(x)dx=\int f(g(t))g'(t)dt$

미분의 연쇄법칙,chain_rule에 대응.

4.4. 부분적분,integration_by_parts

$\int f(x)g^{\prime}(x)dx=f(x)g(x)-\int f^{\prime}(x)g(x)dx$

LIATE rule

4.5. tabular integration?



4.6. 정적분,definite_integral


함수 $f(x)$ 가 구간 $[a,b]$ 에서 연속일 때,
구간을 $n$ 등분 하여 양 끝점과 각 분점의 $x$ 좌표를 차례로
$a=x_0,x_1,\cdots,x_{n-1},x_n=b$
각 소구간의 길이는
$\Delta x=\frac{b-a}{n}$
$x_k=a+k\Delta x\quad(k=0,1,\cdots,n)$
이 때
$S_n=f(x_1)\Delta x+f(x_2)\Delta x+\cdots+f(x_k)\Delta x+\cdots+f(x_n)\Delta x$
$=\sum_{k=1}^{n}f(x_k)\Delta x$
이면 극한값 $\lim_{n\to\infty}S_n$ 은 항상 존재하며, 이 극한값을
함수 $f(x)$$a$ 에서 $b$ 까지의 정적분
이라 하고
$\int_a^bf(x)dx$
로 나타냄

여기서
a, b는 각각 아래끝, 위끝,
구간 $[a,b]$ : 적분 구간,
$f(x)$ : 피적분함수,
$x$ : 적분변수

$\int_a^bf(x)dx=\lim_{n\to\infty}\sum_{k=1}^nf(x_k)\Delta x$
$\left(\Delta x=\frac{b-a}{n},x_k=a+k\Delta x\right)$

$\int_a^{b}f(x)dx=\lim_{n\to\infty}\sum_{k=1}^{n}f(a+\frac{b-a}{n}\cdot k)\cdot\frac{b-a}{n}$




4.7. 부정적분,indefinite_integral

AKA: 역도함수, 원시함수 (..를 구하는 것)

$\int\underbrace{f(x)}_{\small pijeokbunhamsu}d\overbrace{x}^{\small jeokbunja=integrator}=F(x)+\underbrace{C}_{\small jeokbunsangsu}$

antidifferentiate = integrate 적분하다
integrand 피적분함수
integral sign 적분기호( $\int$ )
x는 적분변수
C는 적분상수




4.8. 이상적분,improper_integral

4.9. 부분적분,integration_by_parts

곱의 미분법은 다음과 같다.
$(f(x)g(x))^{\prime}=f^{\prime}(x)g(x)+f(x)g^{\prime}(x)$
양변을 적분하면
$f(x)g(x)=\int f^{\prime}(x)g(x)dx+\int f(x)g^{\prime}(x)dx$
따라서
$\int f(x)g^{\prime}(x)dx=f(x)g(x)-\int f^{\prime}(x)g(x)dx$
참고로, 다음과 같이 치환하면
$u=f(x)$
$du=f^{\prime}(x)dx$
$v=g(x)$
$dv=g^{\prime}(x)dx$
이렇게 된다.
$\int udv=uv-\int vdu$
Q: 미분,differential관련 맞지? 디퍼렌셜 해석하는 법을 잘 모르겠어서 이 식도 잘 이해가 안 된다...



4.10. 중적분,multiple_integral

4.10.3. 체적적분,volume_integral




5. 미적분 기호

y를 x에 대해
미분 두번 미분 n번 미분 적분
Lagrange $y'$ $y''$ $y^{(n)}$ $y^{(-1)}$
Leibniz $\frac{dy}{dx}$, $\frac{d}{dx}y$ $\frac{d^2y}{dx^2}$ $\frac{d^{n}y}{dx^{n}}$ $\int ydx$
Newton $\dot{y}$ $\ddot{y}$ ? ?
Euler $Dy$, $D_xy$ $D^2y$ $D^ny$ ?

Leibniz식은 독립변수와_종속변수를 각각 분모와 분자에 나타냄.

CLEANUP:
미분기호
Lagrange's Leibniz's
$f'(x)$ $\frac{dy}{dx}$
$f'(a)$ $\left.\frac{dy}{dx}\right|_{x=a}$
이계도함수
삼계도함수
N계도함수 $y^{(n)}=f^{(n)}(x)$ $\frac{d^ny}{dx^n}$

5.1. 편미분 기호

TeX \partial : $\partial$


$f_x=\frac{df}{dx}$
$f_{xx}=\frac{d^2f}{dx^2}$
그런데 f(x, y, z)에서 x에 대해서만 편미분을 한다면 기호는
$f_x=\frac{\partial f}{\partial x}=\partial_x f$

TOCLEANUP

$\frac{\partial^2f}{\partial x^2}= f_{xx} $
$\frac{\partial^3f}{\partial x^3} =f_{xxx}$
$\frac{\partial^2f}{\partial y \partial x} = f_{xy}$

6. tmp; 서강대 1학년 .. 임시로 퍼옴. 읽고 지울것


STS2005 미적분학 I

미적분학 I은 모든 자연과학대 학생과 공과대학 학생이 들어야 하는 필수 교양 과목이다. 수학으로의 첫 입문 과목이라고 할 만하다. 교재로는 Stewart 책을 사용한다.

미적분학 I에서 제일 큰 난관은 ϵ−δ증명법이라고 할 수 있다. 극한_EpsilonDeltaLimitDefinition엡실론-델타 논법이란 자연스럽게 받아들였던 함수의 극한 및 수열의 극한극한,limit을 엄밀하게 증명하는 방법이다. 기초적인 개념이 받아들이기 어렵기에 대체적으로 적용은 쉬운 기초적인 함수 등에 국한된다.

고등학교에서 당연하게 받아들였던 Rolle's Theorem롤_정리,Rolle_s_theorem, Mean Value Theorem평균값_정리,mean_value_theorem,MVT 등을 증명해 본다. 그 후 고등학교에서 다루지 않았던 역삼각함수와 hyperbolic function 등을 배운다. 그리고 이들을 미분하는 방법을 배운다.

적분의 경우에도 고등학교에서 배웠던 범위에서 확장된다. Δx가 균등하지 못한 Riemann Sum 등을 배운다. 그리고 우리가 배웠던 함수들의 부정적분을 구하는 방법과 미적분학의 기본 정리(FTC)미적분학의기본정리,FTC 등을 배운다. 그 후 수열에서 무한급수무한급수,infinite_series의 다양한 수렴 판정법을 배운다. 그리고 마지막으로 Taylor Series테일러_급수,Taylor_series에 관한 내용을 배우게 된다.

고등학교 미적분에 익숙하다면 일반적인 과목보다 A+ 성취 난이도가 높지 않은 편이다.

1.5STS2006 미적분학 II

미적분학 II는 미적분학 I에 이어지는 자과대생과 공대생을 위한 필수 과목이다. 우선 고등학교 때 배웠던 매개 변수 방정식에 대해 배운다. 매개 변수 방정식의 미적분을 하면서 이에 익숙해지게 된다. 그 후 배웠던 것을 극좌표,polar_coordinate라는 새로운 좌표계를 도입하게 된다. 그리고 x와 y를 r과 θ에 관한 매개 변수 방정식매개변수방정식,parametric_equation으로 표현하는 법을 배운다. 그리고 미적분학 과목 답게 그에 관해 미적분을 한다. 이때 배우는 극좌표로 재미있는 도형들을 표현해보기도 한다.

매개 변수 방정식의 연장선상으로 공간에 와서 여러 벡터방정식벡터방정식,vector_equation을 다룬다. 직선과 곡선곡선,curve, 그리고 평면의 벡터방정식을 다루게 된다. 벡터곱인 내적과 외적의 여러 성질들도 다룬다.

고등학교 때 배웠던 일변수 함수인 f(x)와 같은 함수에서 벗어나 이제 이변수 함수, 삼변수 함수인 f(x,y), f(x,y,z)에 관한 여러 성질들도 배운다. 극한극한,limit이 어떻게 정의되는지 다루는 과정에서 또다시 ϵ−δ논법극한_EpsilonDeltaLimitDefinition을 만난다. 이변수함수에서 등장하는 미분법인 편미분편미분,partial_derivative, 방향도함수, gradient 벡터 등을 배운다.

그리고 다변수함수의 적분을 함으로써 미적분학 II 과목이 끝나게 된다. 이중적분, 삼중적분 등을 반복적분으로 표현하는 방법을 배우고, 이때 구구,sphere 등을 더 편하게 적분할 수 있도록 원기둥 좌표계와 구면 좌표계 등을 배운다. 그 후 선적분선적분,line_integral에 대한 내용을 다룬 후 과목이 끝난다.