#noindex Up: [[수학,math]] Sub: [[미적분학의기본정리,FTC]] [[극한,limit]] [[극한_EpsilonDeltaLimitDefinition]] [[MIT_Single_Variable_Calculus]] and [[MIT_Multivariable_Calculus]] [[삼각함수_미분표]] [[삼각함수_적분표]] [[여러가지미분표와적분표]] [[평균값정리,mean_value_theorem,MVT]] [[롤_정리,Rolle_s_theorem]] [[최대최소정리,extreme_value_theorem,EVT]] [[중간값정리,사이값정리,intermediate_value_theorem,IVT]] [[극값,extremum]] [[임계점,critical_point]] [[로피탈_정리,L_Hopital_s_rule]] 오목/볼록 오목볼록 - 밑에 임시 section 만듦. see below. [[오목볼록,concave_and_convex]] 이 둘은 page 필요? TBD [[미분학,differential_calculus]] [[differential_calculus]] { 미분법 or 미분학 due to KmsE:"differential calculus" WtEn:differential_calculus differential calculus } // differential calculus // 나중에 아래 section 3 (i.e. [[미적분,calculus#s-3]])과 합치는 거 고려 Sub: [[noncommutative_differential_calculus]] // 이페이지아래언급 [[Boolean_differential_calculus]] // [[불_대수,Boolean_algebra?action=highlight&value=Boolean_differential_calculus]](맨 아래)에 언급 [[적분학,integral_calculus]] { '적분학' due to KmsE:"integral calculus" [[적분,integration]]페이지 있음. WtEn:integral_calculus integral calculus } // integral calculus // basic calculus(?)가 아닌, 레벨이/차원이/... 올라간 [[다변수미적분,multivariable_calculus]] [[벡터미적분,vector_calculus]] - [[벡터,vector]] [[행렬미적분,matrix_calculus]] [[matrix_calculus]] - writing - rel. [[행렬,matrix]] [[텐서미적분,tensor_calculus]] [[tensor_calculus]] - writing - rel. [[텐서,tensor]] [[operational_calculus]] - writing - rel. [[연산자,operator]] [[연산,operation]] // 기타 단어가 -calculus지만 해석학/미적분과는 관계 없는 것들이 많은데... 일단은 맨 아래 기타 문단에 ---- [[TableOfContents]] = Links = http://archives.math.utk.edu/visual.calculus/ http://tutorial.math.lamar.edu/ 서울대 미적 기출문제 + 해답 http://www.math.snu.ac.kr/taoffice/calculus/QnA/QnA-033.005.html KAIST 미적 기출문제 http://mathsci.kaist.ac.kr/home/resource/oldexam/ tmp { 서울대 교양수학 홈페이지 http://www.math.snu.ac.kr/taoffice/calculus/syllabi/2014/index.html http://www.math.snu.ac.kr/taoffice/calculus/syllabi/2014/first-semester/033.001-frame.html } Videos Dr. Bazett, Calculus III: Multivariable Calculus https://www.youtube.com/playlist?list=PLHXZ9OQGMqxc_CvEy7xBKRQr6I214QJcd = tmp buf = 미적분학의 기본개념은 [[무한소,infinitesimal]]영역에서 나타나는 [[실수,real_number]]의 성질에 기초한다. 역사적으로는, 겉보기에 전혀 다른 두 개념 * [[곡선,curve]]으로 둘러싸인 영역의 [[넓이,area]]의 계산 (Archimedes) * 움직이는 [[입자,particle]]의 순간 [[속도,velocity]] (Newton) 에서 각각 [[적분,integration]]과 [[미분,differentiation]]이 시작되었으며, 이후 Augustin-Louis Cauchy, Karl Weierstrass에 의해 엄밀해짐. == 미적분학 교재 == === Stewart === [[Stewart_Calculus]] 7e 보유 James Stewart - Calculus 7E Solutions 10-17.pdf Q: Ch 1~9 ? === Thomas === [[Thomas_Calculus]] 11e 12e 있음 토마스 13e 해답 참조 http://www.slader.com/textbook/9780321884077-thomas-calculus-early-transcendentals-thirteenth-edition/ === 김홍종 === === Spivak === Michael Spivak === Apostol === === Courant === Differential and integral calculus by Courant Introduction to Calculus and Analysis by Courant and John (2-volume) === Keisler === Elementary Calculus Elementary Calculus: An Infinitesimal Approach On-line Edition. Copyright © 2000 by H. Jerome Keisler, revised December 2023. https://people.math.wisc.edu/~hkeisler/calc.html 온라인 공개, 25 MB pdf = 미분 = [[단어_미분]] { Sub: [[미분,derivative]] - 미분한 것, 미분한 결과, 도함수 [[미분,differentiation]] - 미분하는 행동, 미분하는 방법, 미분법(法) [[미분,differential]] - 디퍼렌셜, 미분소(素) // tmp: goto [[RR:미분,differential]] [[Libre:미분]] - 위의 것들 비교 설명 잘해놓음. } 미분이라고 번역되는 단어는 다양. 사전적 의미는 * differentiation n. 구별, 차별; 미분 * differentiate v. 구별하다 * differential n. 차이, 격차 * derivative n. 파생어, 파생물 (참고: derive v. 끌어내다, 얻다; (수학) 유도하다) 수학적 의미는 differentiation 미분(하는 행동) the process of finding a derivative differentiate해서 derivative를 얻는 과정 derivative를 찾는 것 differentiate 미분하다 도함수(derivative)를 얻다 differential 함수의 일종, [[선형근사,linear_approximation]] 참조 dx, dy 같은 것 TOASK =[[무한소,infinitesimal]] ? 원 함수에 대한 선형근사함수 derivative 미분한 것 순간변화율, 미분계수, 도함수 도함수라는 번역이 주로 쓰이지만 일본어번역투라서 유도함수로 써야 한다는 의견이 있음. (수갤) differentiation의 결과 기본적인 개념은 변화율(rate of change, Δy/Δx 등으로 나타내는 그것, 관련 개념 [[비,ratio]] and [[비율,rate]])에서 왔다. 평균변화율 average rate of change $\frac{f(a+h)-f(a)}{h}$ { 함수 y=f(x)의 x=a에서 x=b(a≠b)까지의 '''평균변화율'''은, (y의 증분)/(x의 증분) $=\frac{\Delta y}{\Delta x}=\frac{f(b)-f(a)}{b-a}$ 이며, 이것은 두 점 (a,f(a))와 (b,f(b))를 지나는 직선의 [[기울기,slope]]와 같다. [[RR:평균변화율]] } 순간변화율 instantaneous rate of change { AKA '''미분계수''' 평균변화율에 [[극한,limit]]을 취함 $\lim_{h\to0}\frac{f(a+h)-f(a)}{h}$ 순간변화율의 equivalent: 도함수(derivative) mv from [[RR:순간변화율]] ([[Date(2021-04-26T20:03:56)]]) mv to [[미분계수,differential_coefficient]]? } 표기법 dy/dx 에서 d는 [[미분,differential]], 저 식은 [[미분,derivative]] 기타 관련 단어로는 antiderivative 역도함수 antidifferentiation differentiable 미분가능(한) differentiability 미분가능성 - [[미분가능성,differentiability]] { differentiable 미분가능(한) adj. } 연속하는continuous 연속continuation - [[연속성,continuity]] [[변곡점,inflection_point]] cusp (두 곡선이 만나는 뾰족한) 끝 - is_a [[점,point]]? always? chk discontinuity 중단, 단절; 수학에선 불연속(성) - [[불연속성,discontinuity]] order 미분한 횟수. ([[미분방정식,differential_equation]]에서는 order와 degree를 잘 구분해야 함: order = 계수 = 최대 미분 횟수, degree = 차수 = 최대 order인 도함수를 몇번이나 제곱했는지) 미분소 [[미분,differential]]. differential의 뜻이 여럿 있는데 그 중 infinitesimal 관련을 뜻하는 듯. [[WpKo:미분소]] [[WpEn:Differential_(infinitesimal)]] ← [[WpEn:Differential_(mathematics)]] ← [[WpEn:Differential]] [[무한소,infinitesimal]]와의 정확한 관계는 모르겠음. [[WpKo:무한소]] [[WpEn:Infinitesimal]] [[Namu:무한소]] Related [[선형근사,linear_approximation]] [[미적분학의기본정리,FTC]]에 의하면 antidifferentiation = integration [[WpEn:Differential_calculus]] == [[미분,derivative]] == == [[미분,differential]] == == [[음함수미분,implicit_differentiation]] == 음함수미분법, [[음함수,implicit_function]] [[미분,differentiation]] 음함수는 함수는 아니지만 함수 성질을 갖고 있어서 미분할 수 있음. 역함수를 미분하는 데에도 유용 - ex. 아크사인의 미분을 구할 때. [[RR:arcsin_x(아크사인)_미분_증명]] == 다변수함수의 미분 == == [[편미분,partial_derivative]] == === 편미분방정식(PDE) === == [[미분방정식,differential_equation]] == === 편미분방정식(PDE) === = 적분 = [[적분,integration]] = 미적분 기호 = y를 x에 대해 || ||미분 ||두번 미분 ||n번 미분 ||적분 || ||Lagrange ||$y'$ ||$y''$ ||$y^{(n)}$ ||$y^{(-1)}$ || ||Leibniz ||$\frac{dy}{dx}$, $\frac{d}{dx}y$ ||$\frac{d^2y}{dx^2}$ ||$\frac{d^{n}y}{dx^{n}}$ ||$\int ydx$ || ||Newton ||$\dot{y}$ ||$\ddot{y}$ ||? ||? || ||Euler ||$Dy$, $D_xy$ ||$D^2y$ ||$D^ny$ ||? || Leibniz식은 [[독립변수와_종속변수]]를 각각 분모와 분자에 나타냄. Lagrange notation은 prime notation이라고도 함. QQQQ Euler notation의 D가 [[미분연산자]]?? chk ---- ||표기법(notation) 이름 ||example || ||Leibniz notation ||$dy/dx,d^2y/dx^2,\ldots,d^ny/dx^n,\ldots$ || ||prime notation ||$y',y'',y{' ' '},\ldots,y^{(n)},\ldots$ || ||Newton's dot notation ||$\dot{s},\ddot{s},\ldots$ || ||subscript notation ||$u_{xx}$ || from Zill 6e ---- CLEANUP: 미분기호 ||Lagrange's ||Leibniz's || ||$f'(x)$ ||$\frac{dy}{dx}$ || ||$f'(a)$ ||$\left.\frac{dy}{dx}\right|_{x=a}$ || ||이계도함수 || || ||삼계도함수 || || ||N계도함수 $y^{(n)}=f^{(n)}(x)$ ||$\frac{d^ny}{dx^n}$ || == 편미분 기호 == TeX \partial : $\partial$ $f_x=\frac{df}{dx}$ $f_{xx}=\frac{d^2f}{dx^2}$ 그런데 f(x, y, z)에서 x에 대해서만 편미분을 한다면 기호는 $f_x=\frac{\partial f}{\partial x}=\partial_x f$ TOCLEANUP Subscript notation $\frac{\partial^2f}{\partial x^2}= f_{xx} $ $\frac{\partial^3f}{\partial x^3} =f_{xxx}$ $\frac{\partial^2f}{\partial y \partial x} = f_{xy}$ = tmp; 서강대 1학년 .. 임시로 퍼옴. 읽고 지울것 = STS2005 미적분학 I 미적분학 I은 모든 자연과학대 학생과 공과대학 학생이 들어야 하는 필수 교양 과목이다. 수학으로의 첫 입문 과목이라고 할 만하다. 교재로는 Stewart 책을 사용한다. 미적분학 I에서 제일 큰 난관은 ϵ−δ증명법이라고 할 수 있다. [[극한_EpsilonDeltaLimitDefinition]]엡실론-델타 논법이란 자연스럽게 받아들였던 함수의 극한 및 수열의 극한[[극한,limit]]을 엄밀하게 증명하는 방법이다. 기초적인 개념이 받아들이기 어렵기에 대체적으로 적용은 쉬운 기초적인 함수 등에 국한된다. 고등학교에서 당연하게 받아들였던 Rolle's Theorem[[롤_정리,Rolle_s_theorem]], Mean Value Theorem[[평균값정리,mean_value_theorem,MVT]] 등을 증명해 본다. 그 후 고등학교에서 다루지 않았던 역삼각함수[[역삼각함수,inverse_trigonometric_function]]와 hyperbolic function[[쌍곡선함수,hyperbolic_function]] 등을 배운다. 그리고 이들을 미분하는 방법을 배운다. 적분의 경우에도 고등학교에서 배웠던 범위에서 확장된다. Δx가 균등하지 못한 Riemann Sum[[리만_합,Riemann_sum]] 등을 배운다. 그리고 우리가 배웠던 함수들의 부정적분[[부정적분,indefinite_integral]]을 구하는 방법과 미적분학의 기본 정리(FTC)[[미적분학의기본정리,FTC]] 등을 배운다. 그 후 수열[[수열,sequence]]에서 무한급수[[무한급수,infinite_series]]의 다양한 수렴 판정법[[수렴판정법,convergence_test]]을 배운다. 그리고 마지막으로 Taylor Series[[테일러_급수,Taylor_series]]에 관한 내용을 배우게 된다. 고등학교 미적분에 익숙하다면 일반적인 과목보다 A+ 성취 난이도가 높지 않은 편이다. 1.5STS2006 미적분학 II 미적분학 II는 미적분학 I에 이어지는 자과대생과 공대생을 위한 필수 과목이다. 우선 고등학교 때 배웠던 매개 변수 방정식[[매개변수방정식,parametric_equation]]에 대해 배운다. 매개 변수 방정식의 미적분을 하면서 이에 익숙해지게 된다. 그 후 배웠던 것을 [[극좌표,polar_coordinate]]라는 새로운 좌표계[[좌표계,coordinate_system]]를 도입하게 된다. 그리고 x와 y를 r과 θ에 관한 매개 변수 방정식으로 표현하는 법을 배운다. 그리고 미적분학 과목 답게 그에 관해 미적분을 한다. 이때 배우는 극좌표로 재미있는 도형들을 표현해보기도 한다. 매개 변수 방정식의 연장선상으로 공간에 와서 여러 벡터방정식[[벡터방정식,vector_equation]]을 다룬다. 직선[[직선,line]]과 곡선[[곡선,curve]], 그리고 평면[[평면,plane]]의 벡터방정식을 다루게 된다. 벡터곱인 내적[[내적,inner_product]]과 외적[[외적,outer_product]]의 여러 성질들도 다룬다. 고등학교 때 배웠던 일변수 함수인 f(x)와 같은 함수에서 벗어나 이제 이변수 함수, 삼변수 함수인 f(x,y), f(x,y,z)에 관한 여러 성질들도 배운다. 극한[[극한,limit]]이 어떻게 정의되는지 다루는 과정에서 또다시 ϵ−δ논법[[극한_EpsilonDeltaLimitDefinition]]을 만난다. 이변수함수에서 등장하는 미분법인 편미분[[편미분,partial_derivative]], 방향도함수[[방향도함수,directional_derivative]], gradient 벡터[[기울기벡터,gradient_vector]] 등을 배운다. 그리고 다변수함수의 적분을 함으로써 미적분학 II 과목이 끝나게 된다. 이중적분[[이중적분,double_integral]], 삼중적분[[삼중적분,triple_integral]] 등을 반복적분(''iterated_integral(s)? repeated_integral? multiple_integral?'')으로 표현하는 방법을 배우고, 이때 구[[구,sphere]] 등을 더 편하게 적분할 수 있도록 원기둥 좌표계와 구면 좌표계 등을 배운다. 그 후 선적분[[선적분,line_integral]]에 대한 내용을 다룬 후 과목이 끝난다. = tmp; Knuth: epsilon-delta 설명의 대안? = Knuth가 Cauchy의 엄밀한 epsilon-delta 대신 Big O notation을 사용하는 새로운 형태의 미적분학 교육을 제안했던 적이 있음 http://www.ams.org/notices/199806/commentary.pdf from 미적분학 교육에서 극한을 제거해야 하는가? https://zariski.wordpress.com/2012/06/04/%eb%af%b8%ec%a0%81%eb%b6%84%ed%95%99-%ea%b5%90%ec%9c%a1%ec%97%90%ec%84%9c-%ea%b7%b9%ed%95%9c%ec%9d%84-%ec%a0%9c%ea%b1%b0%ed%95%b4%ec%95%bc-%ed%95%98%eb%8a%94%ea%b0%80/ 비표준해석학인가? = tmp; Karl Marx의 미적분 책 = 이것도 비표준해석학 https://www.marxists.org/archive/marx/works/1881/mathematical-manuscripts/ WpEn:Mathematical_manuscripts_of_Karl_Marx ---- 기타 비표준해석학 nonstandard analysis 관련: [[Namu:초실수체]] = tmp; 오목볼록 = 오목볼록 관련 내용 compilation. ([[Date(2020-10-28T14:52:35)]]) 분류는??? 단어정리 convex 볼록한 (콘벡스 컨벡스) convexity 볼록함 볼록성 컨벡시티 철(凸) (기타: 볼록한 형태(모양)/곳/면) concave 오목한 concavity 오목함 오목성 (칸캐버티) 요(凹) (기타: 오목한 형태(모양)/곳/면) cf. cavity는 뭔가의 속에 있는 구멍(이나 빈 부분, 공동)을 뜻하는데 관련있을듯. 위로 볼록(concave down) 아래로 볼록(concave up) 응용: convex function 볼록함수 - [[볼록함수,convex_function]] convex set 볼록집합 - [[볼록집합,convex_set]] convex optimization 볼록최적화 - [[볼록최적화,convex_optimization]] concave function 오목함수 - [[오목함수,concave_function]] strictly convex 까다로운 볼록 - 정의 TBW ---- CHK { ref. S는 ℝ 위의 [[벡터공간,vector_space]]이라고 하고 Def: C⊂S인 집합 C가 다음을 만족하면 '''볼록 집합'''(convex set)으로 부른다. $\forall x,y\in C,\; \forall t\in [0,1]:$ $(1-t)x+ty\in C$ Def: 함수 $f:X\to R$ 가 다음을 만족하면 '''볼록함수'''로 부른다. $\forall x_1,x_2\in X,\; \forall t\in[0,1]:$ $f(tx_1+(1-t)x_2) \le tf(x_1)+(1-t)f(x_2)$ (아래로 볼록, 위로 오목) Def: Jensen inequality - [[옌센_부등식,Jensen_inequality]] 함수 $f:(a,b)\to R$ 가 연속인 [[볼록함수,convex_function]]라면, 다음을 만족. $\forall x_i\in(a,b),\; p_i>0,\; \sum_{i=1}^n p_i = 1$ $f\left( \sum_{i=1}^n p_i x_i \right) \le \sum_{i=1}^n p_i f(x_i)$ 증명은 [[수학적귀납법,mathematical_induction]] 사용. 해당 사이트에. 이용: [[평균,mean,average]]에서 산술평균 ≥ 기하평균 증명 등. } from [[https://suhak.tistory.com/221 수학이야기]] - 볼록 함수와 젠센 부등식 ---- CHK { $\forall x,y\in\mathbb{R},\,t\in[0,1]$ 에 대해 다음 식이 항상 성립하는 함수 $f$ 가 '''볼록함수'''란다. $f(tx+(1-t)y) \le tf(x)+(1-t)f(y)$ concave function 오목함수 ..... 는 부호만? (그럼 위아래만?) (그럼 식의 부등호만?) 바꾸면 된다. 위로 볼록한 함수는 아래로는 ‘오목’한 함수니까. } [[https://ratsgo.github.io/convex%20optimization/2017/12/26/convexfunction/ src]] 기타 convexity를 보존하는 연산, convex function의 특성 언급. WpKo:볼록_함수 WpEn:Convex_function WpKo:볼록_집합 [[Namu:함수/볼록성]] ---- 관련: Jensen's inequality 옌센_부등식 - see [[부등식,inequality#s-5]] [[변곡점,inflection_point]] 기타: (오목볼록 관련 주제들) [[볼록집합,convex_set]] [[볼록최적화,convex_optimization]] [[볼록해석,convex_analysis]] [[볼록공간,convex_space]] - writing 곡선의 오목과 볼록 (이건 고딩때부터..) [[변곡점,inflection_point]] 에선 오목/볼록이 바뀜. [[곡률,curvature]] [[볼록껍질,convex_hull]](kms 수학용어는 "볼록집합") 컨벡스 껍질(convex hull): 컨벡스 도형의 바깥을 구성하는 점의 집합? [[심층학습,deep_learning]] [[기계학습,machine_learning]]의 기초지식임. [[기울기하강,gradient_descent]]을 사용할 때, convex 함수([[볼록함수,convex_function]])와 non-convex 함수에서 탐색한 [[해,solution]]는 큰 차이를 갖는다. tmp links ko about convexity: https://hwiyong.tistory.com/7 https://hwiyong.tistory.com/8 (kmooc 요약) - [[헤세_행렬,Hessian_matrix]] 언급. misc 오목볼록에는 $t, (1-t)$ 의 선형결합이 나오는데 vector equation of a line([[직선,line]]의 [[벡터방정식,vector_equation]])에도 비슷한 꼴이 나온다 혹시 관련이?? = tmp; 최대최소 = fork to [[최대최소,maximum_and_minimum]] pl. '''maxima and minima''' [[최대,maximum]] https://mathworld.wolfram.com/Maximum.html [[최소,minimum]] { [[최소,least]]도 만들?? Sub: [[최소제곱,least_square]] { Up: [[최소,least]] [[제곱,square]] } https://mathworld.wolfram.com/Minimum.html } ''TBD. 최대와 최대값을, 최소와 최소값을 분리할 필요가 있을지? 일단 아래 몇줄은 분리한다고 가정하고 쓴 것, merge, or del ok'' [[최대값,maximum_value]] { 함수의 최대값 maximum value of a function = [[정의역,domain]] $D$ 에서 정의된 [[함수,function]] $y=f(x)$ 는 모든 $x\in D$ 에 대해 $f(x)\le f(c)$ 인 $c\in D$ 가 존재하면 $x=c$ 에서 '''최대값(maximum value)'''을 갖는다고 한다.[* 서울대기초수학학습교재 p92] Up: [[최대최소,maximum_and_minimum]] [[최대,maximum]] [[값,value]] } [[최소값,minimum_value]] { 함수의 최소값 minimum value of a function = [[정의역,domain]] $D$ 에서 정의된 [[함수,function]] $y=f(x)$ 는 모든 $x\in D$ 에 대해 $f(x)\ge f(c)$ 인 $c\in D$ 가 존재하면 $x=c$ 에서 '''최소값(minimum value)'''을 갖는다고 한다.[* 서울대기초수학학습교재 p92] Up: [[최대최소,maximum_and_minimum]] [[최소,minimum]] [[값,value]] } rel. { [[값,value]]이 붙으면 뭔가 뉘앙스차이가 발생하는지 아님 완전히 같은건지 chk.... 그리고 아래 페이지들이 필요한지...? tbd 최대 최소는 adj, 최대값 최소값은 noun? 최대,maximum = [[최대값,maximum_value]] 표준어: 최댓값 최소,minimum = [[최소값,minimum_value]] 표준어: 최솟값 } 이 둘은 가장 간단한 두 [[순서통계량,order_statistic]] { tmp see [[통계량,statistic]] } 임. 이 둘을 통틀어 [[극값,extremum]]이라 함. (정의는 저 쪽을 참조) 관련표현: 최소화 최대화 극소화 극대화 ... [[최대화,maximization]] [[최소화,minimization]] ... QQQ 극대화 극소화는 최대화 최소화와 각각 동의어인지? 일단 극대/최대, 극소/최소는 calculus에서 의미가 다르긴 한데... CHK [[극대,local_maximum]] https://mathworld.wolfram.com/LocalMaximum.html [[극소,local_minimum]] https://mathworld.wolfram.com/LocalMinimum.html https://mathworld.wolfram.com/GlobalMaximum.html aka absolute_maximum https://mathworld.wolfram.com/GlobalMinimum.html aka absolute_minimum [[범위,range]] [[구간,interval]] [[경계,bound]] [[유계,bounded]] [[집합,set]] 등에서도 최대와 최소를 - 존재하는지, 존재한다면 값이 뭔지, ... etc - 생각할 수 있을텐데... 나중에 생각. [[변분법,variational_calculus]] 도 최대최소 관련인데 정확한 관계? TBW { aka '''variation method'''. [[양자역학,quantum_mechanics]]에서 Hamiltonian의 풀이를 구하는 [[근사,approximation]]법 중 하나. 해밀토니안의 [[기대값,expected_value]]이 최저가 되도록 parameter 값을 [[최적화,optimization]]한다. [[https://terms.naver.com/entry.naver?docId=605759&ref=y&cid=50315&categoryId=50315 src]] aka '''variational calculus''' aka '''variational method'''? 대충..... (공간에서?).. 뭔가가 최대나 최소(최대최소)가 되게 하는 [[경로,path]]나 [[곡선,curve]]등을 찾는??? (ex. 빛의 최소 소요 시간 - [[페르마_원리,Fermat_principle]] .... // [[빛,light]] [[시간,time]]) 기초 미적의 최대최소 찾기와 달리 [[범함수,functional]]를 대상으로?? [[사이클로이드,cycloid]]가 최단강하곡선brachistochrone?임을 증명하는 데 쓰이는데 mklink: Lagrangian > 라그랑주_역학 Hamiltonian > 해밀턴_역학 오일러-라그랑주(Euler-Lagrange) 공식 이 아니라 방정식인듯? 어디서보고공식이라썼더라.. [[오일러-라그랑주_방정식,Euler-Lagrange_equation]](writing) [[극소곡면,minimal_surface]] tmp links ko: [[https://datascienceschool.net/02%20mathematics/04.05%20%EB%B3%80%EB%B6%84%EB%B2%95.html]] https://mathphysics.tistory.com/584 Twins: https://www.scienceall.com/변분법calculus-of-variations/ [[https://terms.naver.com/entry.naver?docId=3405106&cid=47324&categoryId=47324 수학백과: 변분법]] [[WpEn:Calculus_of_variations]] [[Namu:변분법]] [[WpKo:변분법]] https://mathworld.wolfram.com/CalculusofVariations.html https://planetmath.org/calculusofvariations https://encyclopediaofmath.org/wiki/Variational_calculus } 미니맥스 [[minimax]] ... pagename TBD, kms minimax => https://www.kms.or.kr/mathdict/list.html?key=ename&keyword=minimax 보면 보통 '최대최소' ? { [[WpKo:최소극대화]] kms words: minimax approximation 최소최대근사값 minimax method 최대최소법 minimax theorem 최대최소정리 (최대최소와 최소최대가 혼용되는 이유가? - [[Date(2023-01-27T23:12:11)]] 영어 단어순으로 직역하면 최소최대인데, 보통 언어에선 '소대'보다는 '대소' 순으로 많이 쓰이기 때문인 듯?) } [[argmax]] arg_max // TBW: argmin arg_min { [[http://tomoyo.ivyro.net/123/wiki.php/asdf?action=fullsearch&value=argmax&context=20&case=1 try backsrch argmax]] '''arguments of the maxima, arg max, argmax''' [[함수,function]]에서, 함수값이 최대가 되는 [[정의역,domain]]의 점(point)이나 원소(element)(들). (wpen) 출력이 최대('''max'''imum)가 되는 입력(input, '''arg'''ument)을 찾으므로 이런 이름? 정의가 '''argmax'''는 global_maximum (= absolute_maximum) 관련이고 argmin은 global_minimum (= absolute_minimum) 관련임. chkout planetmath. 비슷한 방식으로 arg min, argmin도 정의 가능. [[WpEn:Arg_max]] https://planetmath.org/argminandargmax Up: [[최대,maximum]] [[argument]] ... Naver:argmax Google:argmax } [[최적화,optimization]] 에는 [[오차,error]], ..., (뭔가 나쁜 정도를 측정하는 함수) 같은 걸 만들어 놓고 이것을 '''최소화'''하는 기법이 자주 쓰이는 듯 한데. [[심층학습,deep_learning]] [[기계학습,machine_learning]] 에도 마찬가지로 [[손실함수,loss_function]]=[[비용함수,cost_function]](손실하면 그만큼 비용이 필요)를 만들어 놓고 '''최소화'''하는 (...ditto) 최대 최소 max min 등의 이름이 들어간 페이지들 (나중에 sub related 등으로...) { [[최대가능도,maximum_likelihood]] [[최대가능도추정,maximum_likelihood_estimation,MLE]] [[최소항과_최대항,minterm_and_maxterm]] [[최대최소정리,extreme_value_theorem,EVT]] } 꼭대기(apex)를 찾으려면 어떻게? 함수의 특정 한 곳 근방에서 최대값을 찾는 방법으로 뉴턴 최적화(Newton optimization)가 있다 기타등등 tbw. 단어, 표현 (kms) absolute minimum 최대(값) absolute minimum 최소(값) local maximum 극대 local minimum 극소 monotonic function 단조함수 monotonic sequence 단조수열 monotonicity 단조성 absolute라는 수식어가 없어도 maximum, minimum은 최대, 최소로 생각하고 극대, 극소일 때는 꼭 local(국소) 수식어를 적어는 게 좋다고.[* https://suhak.tistory.com/331] local=relative vs global=absolute 라고 적는 영어 표현이 한국어 표현보다 더 직관적이라는 의견[* https://m.blog.naver.com/piry777/100163196533]에 동의하는 바이며 차라리 '극-' 보다는 '국소'가 더 와닿는다. [[WpEn:Maxima_and_minima]] (Misc) TBW: 비교(using conditional statement)없이 [[절대값,absolute_value]]들어간 수식만으로 max, min 구하는 식, 그리고 증명. { chk: $\operatorname{max}\lbrace a,b \rbrace = \frac{a+b}{2} + \frac{|a-b|}{2}$ 뭐 이런것들... tmp links: https://math.stackexchange.com/questions/685509/show-max-a-b-frac12aba-b https://math.stackexchange.com/questions/258934/how-to-prove-this-simple-statement-max-a-b-frac12aba-b } [[순서,order]]... [[순서론,order_theory]] 에서는 [[원소,element]]에 대해 최대최소를 이렇게 씀 [[WpKo:최대_원소와_최소_원소]] = [[WpEn:Greatest_element_and_least_element]] [[WpKo:극대_원소와_극소_원소]] = [[WpEn:Maximal_and_minimal_elements]] https://encyclopediaofmath.org/wiki/Maximum_and_minimum_points https://encyclopediaofmath.org/wiki/Maximization_and_minimization_of_functions = 증가감소 = curr at txtfile =증가감소 ///////// 이하 꼭 미적 관련 내용은 아닌데, 위의 오목볼록 최대최소 와 유사한 성격의 페이지라, 일단 여기에 적음 //////////// = [[좌우,left_and_right]] = 좌극한 우극한 좌변 우변 LHS RHS [[왼쪽,left]] 좌 [[오른쪽,right]] 우 = [[열린닫힌,open_and_closed]] = 열림 openness ?? 닫힘 closedness ? closure ? WtEn:closedness WtEn:closure half-open = half-closed 이건 내가 본건 다 그렇던데([[구간,interval]]등등) ..항상? = 홀짝 홀짝성 패리티 패러티 parity = 번역? pagename? [[홀짝성,parity]] - maybe? 패리티 - 패러티 ...가 더 정확한 발음 같은데. 패러티 짝홀값 from [[https://terms.naver.com/entry.naver?docId=3567536&cid=58944&categoryId=58970 수학산책: 컴퓨터의 오류정정]] 짝홀값, parity, 패리티 : 정수가 짝수냐 홀수냐에 따라 0과 1을 대응한 것. Ggl:짝홀값 Naver:짝홀값 and ....? ---- '''parity: odd or even''' WtEn:parity KpsE:parity KmsE:parity / n. 아마도 WtEn:oddness et WtEn:evenness 뜻이 여러 분야에 많아서 정의를 간단히 적기 쉽지 않음. 정수의 parity [[정수,integer]]를 2로 나누어 떨어지면/1이 남으면 각각 ... 짝수 even_number 홀수 odd_number mklink [[나눗셈,division]] > 정수나눗셈 integer_division or Euclidean_division 함수의 parity [[함수,function]]: 짝함수 even_function = 우함수 홀함수 odd_function = 기함수 https://encyclopediaofmath.org/wiki/Even_function https://encyclopediaofmath.org/wiki/Odd_function https://planetmath.org/evenandoddfunctions https://mathworld.wolfram.com/EvenFunction.html https://mathworld.wolfram.com/OddFunction.html [[WpKo:홀함수와_짝함수]] [[WpEn:Even_and_odd_functions]] permutation의 parity [[순열,permutation]], [[치환,permutation]]: curr see [[WpKo:순열]] 짝치환 짝순열 even_permutation 홀치환 홀순열 odd_permutation [[Namu:순열의%20홀짝성]] ##= https://namu.wiki/w/순열의%20홀짝성 // .... Ggl:"parity of permutation" Twin [[WpKo:홀수와_짝수]] [[WpEn:Parity_(mathematics)]] "is the property of an integer of whether it is even or odd." 순수수학 밖에서는 [[WpEn:Parity]] 특히 이하 몇개는 [[정보,information]] transmission [[통신,communication]] 관련 parity_check -검사 parity check Ggl:"parity check" Up: [[검사,check]] ... Ndict:"검사 check" Ggl:"검사 check" // 검사에는 [[검사,inspection]]의 뜻도. parity_bit parity bit WtEn:parity_bit http://foldoc.org/parity+bit (short) [[WpKo:패리티_비트]] [[WpEn:Parity_bit]] 한계: (오류를 찾을 수만 있을 뿐) 수정까지는 할 수 없다 rel: data_transmission ... curr at [[통신,communication]], error_detection error_correction ... curr at [[오류,error]] // parity bit ... Ndict:"parity bit" Ggl:"parity bit" parity_error parity error wt x 2024-03 http://foldoc.org/parity+error (short) Up: [[오류,error]] // parity error ... Ndict:"parity error" Ggl:"parity error" longitudinal_parity { longitudinal parity http://foldoc.org/longitudinal+parity } // longitudinal parity .... NN:"longitudinal parity" Ggl:"longitudinal parity" http://foldoc.org/parity 기타 Ndict:패리티 보면 [[경제학,economics]]에서도 쓰임. = 미적분학이 아닌 calculi = [[해석학,analysis]]의 일부이며 '미적분학' '미분적분학'으로 번역되는 그 calculus가 아닌 calculus들이 많은데 pagename 결정을 위해 번역 문제를 생각해봐야. '미적분'과 [[변분법,variational_calculus]] 밖에서 쓰이는 '계산, 계산법, 대수'으로 번역되는 calculus에 대해선 현재 [[형식체계,formal_system]] 참조. 둘다 calculus로 불리는 원인? 이유? 아마 이 링크가 감잡는데 도움이? { https://compcalc.github.io/ https://news.ycombinator.com/item?id=27004278 https://encyclopediaofmath.org/wiki/Calculus } [[Date(2022-02-03T13:27:24)]] Calculus의 분류? https://ncatlab.org/nlab/show/differential+calculus 보면 여러 calculus 중에 * infinitesimal_calculus 가 있고 이건 다음 둘로 나뉘며 서로 [[미적분학의기본정리,FTC]]로 연결 // [[infinitesimal]] * differential_calculus // 번역한다면 분명 '미분(학)' * [[변분법,variational_calculus]] : non-finite ''(뜻? infinite라고 하지 않고 이렇게 쓴 이유?)'' dimensional_spaces에서 differential_calculus 를 이렇게도 부른다 See https://ncatlab.org/nlab/show/variational+calculus * 비가환미분학? noncommutative_differential_calculus // [[noncommutativity]] - rel. [[교환법칙,commutativity#s-2]] See https://ncatlab.org/nlab/show/noncommutative+differential+calculus * integral_calculus // 번역한다면 분명 '적분(학)' [[RR:database]]분야에 calculus로는 [[RR:관계해석relational_calculus]]이 있다. (저기선 calculus를 '해석'으로 번역. Relational algebra는 '관계대수'로 번역하지만.) [[Date(2023-01-11T08:35:13)]] 논리학([[논리,logic]])분야의 calculus들은 대개 -논리 로 번역되는듯 ... (-연산 으로도 번역됨) 왜 그러냐면 아마도 저기선 _calculus 가 _logic 와 동의어인 경우가 많은 듯 한데. ex. [[minimal_logic]] = [[minimal_calculus]] (curr at [[논리,logic#s-4]]) ... WpEn:Minimal_logic ... "Minimal logic, or minimal calculus" 그럼 번역은 최소논리 or 최소연산? ... Naver:minimal+calculus [[propositional_calculus]] (writing) 번역은 아마 명제연산 or 명제논리? curr see [[WpEn:Well-formed_formula#Propositional_calculus]] and [[WpEn:Propositional_calculus]] ... "also called propositional_logic" ... Naver:propositional+calculus 를 보면 '명제 연산, 명제산, 명제계산 ... ' 등 제각각. WpKo:명제_논리 찾아보니 이미 [[명제논리,propositional_logic]] 페이지 존재. [[logical_calculus]] -calculus를 기계적으로 -논리 라 번역한다면 이건 '논리적논리 or 논리논리'라고 해야 하는 불상사가 생긴다. 번역한다면 '논리연산'? 자주 쓰이는 표현은 아님. https://encyclopediaofmath.org/wiki/Logical_calculus ... Naver:logical+calculus [[WpEn:Calculus_(disambiguation)]] [[RR:칼큘러스,calculus]]