$\operatorname{div}f=\nabla\cdot f$

= 벡터장의 발산?

[[델,del,나블라,nabla]]와 [[내적,inner_product]]을 했으므로 결과가 항상 scalar?
 내적은 아니라 or 내적과는 유사하긴 하지만 다르다 하는데. CHK

[[벡터장,vector_field]]의 '''발산''' 결과는 [[스칼라장,scalar_field]]임.

벡터장 F 에 대해 div F를 발산함수라 한다는데(수학백과) 이것도 divergence function 찾아보면 굳이 외국에선 이름지어 부르지 않는 듯 한데... (delme)

$\operatorname{div}\vec{v}=\nabla\cdot\vec{v}=\frac{\partial v_1}{x_1}+\cdots+\frac{\partial v_n}{x_n}$

장의 원천점에서 양이고 싱크점(sink)에서 음, 그 외에서는 0? (Sadiku)

3차원 cartesian의 예를 들면, 벡터장 $\vec{F}(x,y,z)=F_x(x,y,z)\hat{x}+F_y(x,y,z)\hat{y}+F_z(x,y,z)\hat{z}$ 이면
$\operatorname{div}\vec{F}=\nabla\cdot\vec{F}$
 $=\left(\frac{\partial}{\partial x},\frac{\partial}{\partial y},\frac{\partial}{\partial z}\right)\cdot(F_x,F_y,F_z)$
 $=\frac{\partial F_x}{\partial x}+\frac{\partial F_y}{\partial y}+\frac{\partial F_z}{\partial z}$

i.e.
> $\operatorname{div}\vec{F}=\frac{\partial F_x}{\partial x}+\frac{\partial F_y}{\partial y}+\frac{\partial F_z}{\partial z}$

cyli

sphe TBW

∇·'''v'''>0 : '''divergence''' : field가 밖으로 뻗어 나감
∇·'''v'''<0 : convergence : field가 안으로 모여듦

관련: [[발산정리,divergence_theorem]]

<<TableOfContents>>

= Zill =
[[벡터장,vector_field]] $\vec{F}=P\hat{\rm i}+Q\hat{\rm j}+R\hat{\rm k}$ 의 '''발산(divergence)'''은 [[스칼라함수,scalar_function]]
 $\operatorname{div}\vec{F}=\frac{\partial P}{\partial x}+\frac{\partial Q}{\partial y}+\frac{\partial R}{\partial z}$
이다. 델 연산자([[델,del,나블라,nabla]])를 사용하면
 $\operatorname{div}\vec{F}=\nabla\cdot\vec{F}=\frac{\partial}{\partial x}P(x,y,z)+\frac{\partial}{\partial y}Q(x,y,z)+\frac{\partial}{\partial z}R(x,y,z)$
로 나타낼 수 있다.

(Zill 6e ko 정의 9.7.2 p638)

= ex =
incompressible fluid flow에서는 모든 점에서 div'''F''' = 0
([[유체역학,fluid_mechanics]])

전기장의 발산
 $\operatorname{div}\vec{E}=\frac{\rho}{\epsilon_0}$
 div([[전기장세기,electric_field_intensity]]) = 부피[[전하밀도,charge_density]] / 진공[[유전율,permittivity]]
자기장의 발산
 $\operatorname{div}\vec{B}=0$
 div [[자속밀도,magnetic_flux_density]] = 0
 즉 B는 incompressible flow 형태
([[맥스웰_방정식,Maxwell_s_equations]] > [[가우스_법칙,Gauss_s_law]])

= Sadiku 3.6 =
폐곡면 S로부터 밖으로 유출되는 벡터장 $\vec{A}$ 의 순 선속은 적분 $\textstyle\oint\vec{A}\cdot d\vec{S}$ 를 이용하여 구할 수 있다. (see [[선적분,line_integral]]의 Sadiku 3.3) $\vec{A}$ 의 '''발산'''은 폐증분면(closed xxxx surface?)에 대한 단위체적당 밖으로 유출되는 [[선속,flux]]으로 정의된다.

점 P에서 $\vec{A}$ 의 '''발산'''은 체적이 점 P 근처로 줄어들 때 단위체적당 밖으로 유출되는 선속이다.

그러므로
 $\operatorname{div}\vec{A}=\nabla\cdot\vec{A}=\lim_{\Delta v\to 0}\frac{\textstyle\oint_S\vec{A}\cdot d\vec{S}}{\Delta v}$

여기서
 $\Delta v$ : P가 위치한 폐곡면 S에 의해 둘러싸인 체적

물리적 의미: 주어진 점에서 벡터장 $\vec{A}$ 의 발산은 그 점에서 장이 얼마나 많이 발산하거나 퍼지는지를 뜻함

----
직각좌표계에서
 $\nabla\cdot\vec{A}=\frac{\partial A_x}{\partial x}+\frac{\partial A_y}{\partial y}+\frac{\partial A_z}{\partial z}$

원통좌표계에서
 $\nabla\cdot\vec{A}=\frac{1}{\rho}\frac{\partial}{\partial\rho}(\rho A_{\rho})+\frac{1}{\rho}\frac{\partial A_{\phi}}{\partial \phi}+\frac{\partial A_z}{\partial z}$

구좌표계에서
 $\nabla\cdot\vec{A}=\frac{1}{r^2}\frac{\partial}{\partial r}(r^2 A_r)+\frac{1}{r\sin\theta}\frac{\partial}{\partial\theta}(A_{\theta} \sin\theta)+\frac{1}{r\sin\theta}\frac{\partial A_{\phi}}{\partial\phi}$

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특성 생략
발산정리 생략

= 정길수 =
벡터 $\vec{A}$ 가 $x, y, z$ 축 방향성분으로 각각 $A_x,A_y,A_z$ 를 갖는다면
 $\vec{A}=A_x\hat{i}+A_y\hat{j}+A_z\hat{k}$
로 쓸 수 있다. 이 벡터가 전 공간으로 '''발산'''할 때 x축으로 변화한 비율은 $A_x$ 가 x에 대해 변화한 것이므로
 $\frac{\partial A_x}{\partial x}$
로 쓸 수 있다. 즉 변화한 비율이라는 것은 도함수
 $\lim_{\Delta x\to 0}\frac{A_x(x+\Delta x)-A_x(x)}{\Delta x}=\frac{dA_x(x)}{dx}$
를 뜻하므로 다변수 $x, y, z$ 에 대해서는 편미분을 이용하여 x축 변화율 $\textstyle\frac{\partial A_x}{\partial x}$ 로 쓸 수 있다. 마찬가지로 y축으로 발산하여 변화한 비율은 $\textstyle\frac{\partial A_y}{\partial y}$ 이고 z축에 대한 변화 비율은 $\textstyle\frac{\partial A_z}{\partial z}$ 이다.

그러므로 체적 $\Delta v(=\Delta x\Delta y\Delta z)$ 에 대해 $\vec{A}$ 가
 x축으로 발산한 발산량(변화량)은 $\frac{\partial A_x}{\partial x}\Delta v$ 이고,
 y축으로 발산한 발산량은 $\frac{\partial A_y}{\partial y}\Delta v$ 이고,
 z축으로 발산한 발산량은 $\frac{\partial A_z}{\partial z}\Delta v$ 이다.

그러므로 $x,y,z$ 방향으로 발산한 벡터 $\vec{A}$ 의 총발산량은 각 방향으로의 발산량을 합한 것과 같으므로
 $\left(\frac{\partial A_x}{\partial x}+\frac{\partial A_y}{\partial y}+\frac{\partial A_z}{\partial z}\right)\Delta v$
여기서 $\Delta v=1$ 로 놓으면
 $\frac{\partial A_x}{\partial x}+\frac{\partial A_y}{\partial y}+\frac{\partial A_z}{\partial z}$
 $=\left(\frac{\partial}{\partial x}\hat{i}+\frac{\partial}{\partial y}\hat{j}+\frac{\partial}{\partial z}\hat{k}\right)\cdot(A_x\hat{i}+A_y\hat{j}+A_z\hat{k})$
 $=\nabla\cdot\vec{A}$
 $=\operatorname{div}\vec{A}$
이것을 '''발산'''이라 하고 $\Delta v=1$ 은 단위체적을 뜻하므로 단위체적에서 발산하는 것(전기력선 수, 유체의 유출량 등)을 뜻한다.

= ysi (전자기학) =

먼저
 $\frac{\partial D_x}{\partial x}+\frac{\partial D_y}{\partial y}+\frac{\partial D_z}{\partial z} \approx \frac{\oint\vec{D}\cdot d\vec{s}}{\Delta v} \approx \rho_v$
여기서 $\Delta v\to 0$ 극한을 취하면 approx가 =로 된다.

[[전속밀도,electric_flux_density]]의 '''발산'''이란,
 $\text{div}\vec{D}=\lim_{\Delta v\to 0}\frac{\oint\vec{D}\cdot d\vec{s}}{\Delta v}$ (정의)
  $=\frac{\partial D_x}{\partial x}+\frac{\partial D_y}{\partial y}+\frac{\partial D_z}{\partial z}$ (결과)
  $=\rho_v$ (원인)

// 이하 4강
== 좌표계 별 발산 ==
직각
 $\textrm{div}\vec{D}=\frac{\partial D_x}{\partial x}+\frac{\partial D_y}{\partial y}+\frac{\partial D_z}{\partial z}$
원통
 $\operatorname{div}\vec{D}=\frac{\partial}{\rho \partial \rho} (\rho D_{\rho}) + \frac{\partial D_{\phi}}{\rho \partial \phi} + \frac{\partial D_z}{\partial z}$ 왜 이렇게 rho를 썼다가 cancel하는지 잘 이해 못함 CHK
  $=\frac{\partial D_{\rho}}{\partial \rho} + \frac{\partial D_{\phi}}{\rho \partial \phi} + \frac{\partial D_z}{\partial z}$
구면
 $\text{div}\vec{D}=\frac{\partial }{r^2 \partial r}(r^2 D_r) + \frac{\partial}{r\sin\theta\partial\theta}(\sin\theta D_{\theta}) + \frac{\partial D_{\phi}}{r\sin\theta \partial \phi}$

// [[발산정리,divergence_theorem]] (4강 38m)
[[가우스_법칙,Gauss_s_law#s-9]]에서 양변을 체적 $\Delta v$ 로 나누면
 $\frac{\oint \vec{D}\cdot d\vec{S}}{\Delta v}=\frac{Q_{total}}{\Delta v}$
극한 $\Delta v\to 0$ 를 취하면, 위 발산의 정의에 의해
 $\nabla\cdot\vec{D}=\rho_v$

또...
 $\oint\vec{D}\cdot d\vec{S}=Q_{total}=\int \rho_v dv=\int \nabla\cdot\vec{D} dv$
따라서
 $\oint\vec{D}\cdot d\vec{S}=\int \nabla\cdot\vec{D} dv$
 (D를 표면적에 대해 면적분) = (D의 발산의 체적적분)
 왼쪽은 [[이중적분,double_integral]], 오른쪽은 [[삼중적분,triple_integral]]

DELME 예제
{
$\vec{D}=2xy\vec{a_x}+x^2\vec{a_y}$ 이면
$\Psi=\int\vec{D}\cdot\vec{ds}=?$
$\oint\vec{D}\cdot\vec{ds}=?$
$\int\nabla\cdot\vec{D} dv=?$
x는 0~1, $(x\in[0,1])$ y는 0~2, z는 0~3
즉 직접 확인해봐라는 문제.
참고로 이 문제는 체적적분이 면적분보다 쉽다.


Sol.

$\nabla\cdot\vec{D}=\frac{\partial D_x}{\partial x}+\frac{\partial D_y}{\partial y}+\frac{\partial D_z}{\partial z}$
 $=\frac{\partial}{\partial x}2xy+\frac{\partial}{\partial y}x^2+\frac{\partial}{\partial z}0$
 $=2y$
 $(=\rho_v)$

$\int\nabla\cdot\vec{D}dv=\int\nolimits_{z=0}^{3}\int\nolimits_{y=0}^{2}\int\nolimits_{x=0}^{1}2y\,dxdydz$
 $=1[y^2]_0^2(3)=12$ (C) 이게 내부에 존재...

그럼 확인을.

$\oint\vec{D}\cdot\vec{ds}=\int_{front\atop x=1}+\int_{back\atop x=0}+\int_{left\atop y=0}+\int_{right\atop y=2}+\int_{up\atop z=3}+\int_{down\atop z=0}$
 $=\iint(2y\vec{a_x}+\vec{a_y})\cdot...$
(여기서 잠시 이것을 언급: $\int_{x=0}^1 \vec{A}\cdot dx \vec{a_x}=B$ 라면 $\int_{x=1}^0 \vec{A}\cdot dx \vec{a_x}=-B$ )
 $=\int_{z=0}^{3}\int_{y=0}^{2}(2y\vec{a_x}+\vec{a_y})\cdot(dydz\vec{a_x})$
  $+\int_{z=0}^3\int_{y=0}^2\vec{0}\cdot(-dydz\vec{a_x})$
  $+\int_{z=0}^{3}\int_{x=0}^{1} x^2 \vec{a_y} \cdot (-dxdz\vec{a_y})$ //좌면
  $+\int_{z=0}^3\int_{x=0}^1 (4x\vec{a_x}+x^2\vec{a_y})\cdot dxdz\vec{a_y}$ //우면
  $+\int_{}^{}\int_{}^{} (2xy\vec{a_x}+x^2\vec{a_y})\cdot dxdy\vec{a_z}$ //위 : 왼쪽에 z성분이 없으므로 0
  $+\int\int(2xy\vec{a_x}+x^2\vec{a_y})\cdot(dydx\vec{a_z})$ // 아래: 역시 0
 $=12[C]$
}

[[http://www.kocw.net/home/search/kemView.do?kemId=320366 src]] 3강 2:16 [[Date(2020-10-14T04:03:13)]]
Prev: [[가우스_법칙,Gauss_s_law#s-9]]

= 성질 =
벡터장의 '''발산 연산'''(divergence operation)은
[[분배법칙,distributivity]]이 성립함.
[[교환법칙,commutativity]]과 [[결합법칙,associativity]]은 성립 안함.

i.e.
$A,B$ 가 미분가능한 벡터장이고 $f$ 가 스칼라장이면,
 $\nabla \cdot (A+B)=\nabla \cdot A + \nabla \cdot B$
 $\nabla\cdot A \ne A\cdot\nabla$
 $\nabla\cdot(fA)\ne \nabla f\cdot A$

from https://blog.naver.com/mykepzzang/221357195753 중간쯤


= Links ko =
3차원 데카르트 좌표계에서 벡터 함수의 다이벌전스(발산)
https://freshrimpsushi.github.io/posts/divergence-of-fector-function-in-cartesian-cooridenates-system/

곡선 좌표계에서 벡터 함수의 다이벌전스
https://freshrimpsushi.github.io/posts/divergence-of-a-vector-function-in-a-cuvilinear-coordinate-system/

벡터장의 발산(divergence)
https://angeloyeo.github.io/2019/08/25/divergence.html

----
발산은
 1. [[급수,series]], [[수열,sequence]]등이 수렴하지 않는 것, 즉 수렴의 반대말 (QQQ 이건 (+∞ -∞ 진동) 세가지 뿐인가?)
 2. [[벡터미적분,vector_calculus]]에서 벡터가 밖으로 뻗어 나가는 ..
이렇게 두 곳에서 나오는데 어떤 관계? 단어만 같은 것?
페이지를 분리해야 한다면 어떻게 해야 하는가.. 벡터장의 발산 vs 수열의 발산?
[[Date(2022-10-09T16:37:52)]] 벡터장의 발산은 여기에 두고, 수열/함수의 발산은 [[발산성,divergence]]로 할까?

암튼 수열/함수의 발산에 대해 임시로 적어보면
{

함수의 발산
이건 [[극한_EpsilonDeltaLimitDefinition]]에 합칠까..
암튼 이것의 정의는 [[극한,limit]]의 엄밀한 정의 그쪽 얘기
MKLINK
[[함수,function]]

수열의 발산
The notation
 $\lim_{n\to\infty}a_n=\infty$
means that for every positive number $M$ there is an integer $N$ such that
 if $n>N$ then $a_n>M$
(Stewart)
MKLINK
[[수열,sequence]]
Opp. : 수열의 수렴 - curr at [[수렴,convergence#s-5]]

}

그리고 [[Kullback-Leibler_divergence]](KLD) [[Jensen-Shannon_divergence]](JSD)는 여기의 sub로 할지 아니면 따로 분리한 어떤 page의 sub로 할지 TBD.
 여기에 그냥 한 section으로 하는게 최선인가?

암튼 항상 발산으로 번역되는 divergence의 뜻은 일단 지금까지 세 분야에서 보임
 * sequence
 * vector calculus
 * prob/stat/entropy - KLD, JSD

----
Twins:
https://ghebook.blogspot.com/2010/07/divergence.html
[[https://terms.naver.com/entry.naver?docId=3405103&cid=47324&categoryId=47324 수학백과: 벡터장의 발산]]
https://www.khanacademy.org/math/multivariable-calculus/multivariable-derivatives/divergence-and-curl-articles/a/divergence
[[WpEn:Divergence]]
[[WpKo:발산_(벡터)]]
https://ncatlab.org/nlab/show/divergence

[[https://terms.naver.com/entry.naver?docId=5937908&cid=60217&categoryId=60217 물리학백과: 다이버전스]] (easy, del ok)

AKA '''다이버전스, 디버전스'''
abbr. '''div'''
Up: [[벡터미적분,vector_calculus]]