Sub:
 [[기울기,gradient]] ∇(scalar_field)=(vector_field)
 [[발산,divergence]] ∇·(vector_field)=(scalar_field)
 [[회전,curl]] ∇×(vector_field)=(vector_field)
 [[라플라시안,Laplacian]] (AKA [[라플라스_연산자,Laplace_operator]]) ∇·∇(scalar_field)=(scalar_field)? CHK
 [[선속,flux]]
 [[델,del,나블라,nabla]] ∇

 [[선적분,line_integral]]은 벡터장내 벡터의 적분인가?

관련:
 [[스칼라장,scalar_field]] and [[벡터장,vector_field]]
 MKL [[벡터방정식,vector_equation]]

[[TableOfContents]]


= 벡터함수의 도함수 =
[[벡터함수,vector_function]] $r$ 의 도함수 $r'$ 은
 $\frac{d\vec{r}}{dt}=\vec{r}{}'(t)=\lim_{h\to 0}\frac{\vec{r}(t+h)-\vec{r}(t)}{h}$

= 정리 =
$\vec{u},\ \vec{v}$ 가 미분가능한 [[벡터함수,vector_function]]이고, $k$ 는 실수, $f$ 는 실수함수일때 다음이 성립한다.
 1. $\frac{d}{dt}(\vec{u}(t)+\vec{v}(t))=\vec{u}^{\prime}(t)+\vec{v}^{\prime}(t)$
 1. $\frac{d}{dt}(k\vec{u}(t))=k\vec{u}^{\prime}(t)$
 1. $\frac{d}{dt}(f(t)\vec{u}(t))=f^{\prime}(t)\vec{u}(t)+f(t)\vec{u}^{\prime}(t)$
 1. $\frac{d}{dt}(\vec{u}(t)\cdot\vec{v}(t))=\vec{u}^{\prime}(t)\cdot\vec{v}(t)+\vec{u}(t)\cdot\vec{v}^{\prime}(t)$
 1. $\frac{d}{dt}(\vec{u}(t)\times\vec{v}(t))=\vec{u}^{\prime}(t)\times\vec{v}(t)+\vec{u}(t)\times\vec{v}^{\prime}(t)$
 1. $\frac{d}{dt}(\vec{u}(f(t))=f^{\prime}(t)\vec{u}^{\prime}(f(t))$

Repeat:
 1. $\frac{d}{dt}(\vec{u}(t)+\vec{v}(t))=\frac{d}{dt}\vec{u}(t)+\frac{d}{dt}\vec{v}(t)$
 1. $\frac{d}{dt}(c\cdot\vec{u}(t))=c\cdot\frac{d}{dt}\vec{u}(t)$
 1. $\frac{d}{dt}(f(t)\vec{u}(t))=f^{\prime}(t)\vec{u}(t)+f(t)\vec{u}^{\prime}(t)$ (f는 scalar function)
 1. $\frac{d}{dt}(\vec{u}(t)\cdot\vec{v}(t))=\vec{u}^{\prime}(t)\cdot\vec{v}(t)+\vec{u}(t)\cdot\vec{v}^{\prime}(t)$
 1. $\frac{d}{dt}(\vec{u}(t)\times\vec{v}(t))=\vec{u}^{\prime}(t)\times\vec{v}(t)+\vec{u}(t)\times\vec{v}^{\prime}(t)$
 1. $\frac{d}{dt}(\vec{u}(f(t))=f^{\prime}(t)\vec{u}^{\prime}(f(t))$

간단히 표기하면
 $\bullet\; (u\cdot v)'=u'\cdot v+u\cdot v'$
 $\bullet\; (u\times v)'=u'\times v + u\times v'$

[[발산정리,divergence_theorem]]
[[스토크스_정리,Stokes_theorem]]
[[그린_정리,Green_theorem]]

----
from https://blog.naver.com/mykepzzang/221357195753 끝부분

$\nabla\times v=0$ 이면, $v=\nabla f$ 를 만족하는 스칼라 함수 $f$ 가 반드시 존재.

$\nabla\cdot v=0$ 이면, $v=\nabla \times A$ 를 만족하는 벡터 (함수? 장?) $A$ 가 반드시 존재.

+ 참고로 
$f$ 가 미분가능한 [[스칼라장,scalar_field]]이면 $\nabla f$ 는 [[벡터,vector]].
$v$ 가 미분가능한 [[벡터장,vector_field]]이면 $\nabla v$ 는 [[텐서,tensor]].

= cleanup =

정의
$d\vec{\ell}=dx\hat{\imath}+dy\hat{\jmath}+dz\hat{k}$

미소길이? 미소변위?
Ndict:미소길이 Ndict:미소변위
Ggl:미소길이 Ggl:미소변위

----

위 뜻을 이제는 좀 정확히 알 듯.

전제: 2차원 평면 위에 [[곡선,curve]] $C:\vec{r}(t)$ 가 있고 $a\le t \le b$ 이다. 그러니까 [[매개변수방정식,parametric_equation]] 표현.

일단 먼저
 $x'(t)=\frac{dx}{dt} \;\to\; dx=x'(t)dt$
 $y'(t)=\frac{dy}{dt} \;\to\; dy=y'(t)dt$

시작: $\vec{r}$ 이
 $\vec{r}(t)=x(t)\hat{i}+y(t)\hat{j}$
이면 이것을 $t$ 로 미분하면
 $\vec{r'}(t)=x'(t)\hat{i}+y'(t)j$ ...... 이하 i,j 위에 hat 생략
 $\frac{d\vec{r}}{dt}=\frac{dx}{dt}i+\frac{dy}{dt}j$
양변에 $dt$ 를 곱하면 (이하 셋은 순서 단계가 아니라 모두 같은 것)
 $d\vec{r}=\frac{dx}{dt}dti+\frac{dy}{dt}dtj$
 $d\vec{r}=x'(t)dti+y'(t)dtj$
 $d\vec{r}=dxi+dyj$

관련: '''벡터미적분''', [[미분,differential]]

[[좌표계,coordinate_system#s-11]](벡터미적분을 위한 좌표계의 디퍼렌셜, 미소xx)
 여러 좌표계의 미소길이/미소면적/미소부피 내용 있음
[[위치벡터,position_vector]]
[[벡터함수,vector_function]]
에 관련내용 있음.

at [[Date(2020-10-07T16:45:54)]] src: [[https://www.youtube.com/watch?v=FYMn61HLw1k&list=PLSQl0a2vh4HC5feHa6Rc5c0wbRTx56nF7&index=28 Khan Multivar. Calculus]] differential of a vector valued function
KWs: derivative/differential of vector valued function / position vector function

= ex. (+물리적 해석) =
$|\vec{r}(t)|={\rm constant}$ 인 것은? 보기만 해도 원이라는 것을 알 수 있지만
자기자신을 내적해도 상수이므로
 $\vec{r}(t)\cdot\vec{r}(t)={\rm constant}$
양변을 미분하면
 $\vec{r}'(t)\cdot\vec{r}(t)+\vec{r}(t)\cdot\vec{r}'(t)=0$
내적은 교환법칙이 성립하므로
 $\vec{r}'(t)\cdot\vec{r}(t)=0$
https://i.imgur.com/sWgQi5Um.png
이것은 [[원,circle]] [[궤도,orbit]] - [[접선,tangent_line]]이 원 위의 점에 대한 [[위치벡터,position_vector]]와 직각([[직교성,orthogonality]])인.

= 물리에 응용: [[운동량,momentum]], [[각운동량,angular_momentum]] 관련 TOCLEANUP =
운동량(p)의 시간 미분은 힘(F)이다.
 $\frac{\rm d}{\mathrm{d}t}\vec{p}=\frac{\rm d}{\mathrm{d}t}(m\vec{v})=\frac{\mathrm{d}m}{\mathrm{d}t}\cdot\vec{v}+m\cdot\frac{\mathrm{d}\vec{v}}{\mathrm{d}t}$
질량은 시간에 대해 변하지 않으므로, (dm/dt=0)
 $=m\frac{\mathrm{d}\vec{v}}{\mathrm{d}t}=m\vec{a}=\vec{F}$

마찬가지 방법으로, 각운동량(L)의 시간 미분은 [[토크,torque]](τ)이다.
 $\frac{\rm d}{\mathrm{d}t}\vec{L}=\frac{\rm d}{\mathrm{d}t}(\vec{r}\times\vec{p})=\frac{\mathrm{d}\vec{r}}{\mathrm{d}t}\times\vec{p}+\vec{r}\times\frac{\rm d\vec{p}}{\mathrm{d}t}$
dr/dt=0이 된다고 한다 why?
그리고 dp/dt가 위에서 F였으므로,
 $=\vec{r}\times\vec{F}=\vec{\tau}$
CHK

= from 이정일 강의; TOCLEANUP TOMERGE =
$d(\vec{A}\cdot\vec{B})=d\vec{A}\cdot\vec{B}+\vec{A}\cdot d\vec{B}$
$d\vec{A}{}^2=2\vec{A}\cdot d \vec{A}$

= 벡터연산자 grad/div/curl =
||     ||연산대상 ||연산결과 ||
||grad ||스칼라장 ||벡터장   ||
||div  ||벡터장   ||스칼라장 ||
||curl ||벡터장   ||벡터장   ||

Q: 그럼 스칼라장을 스칼라장으로 만드는 것은? 단순 수치를 더하거나 곱함? or 라플라시안?

Link: [[스칼라장,scalar_field]] and [[벡터장,vector_field]]

----
벡터미분연산자 ∇
[[위치벡터,position_vector]] $\vec{r},$ [[변위,displacement]] $d\vec{r}$ 을 각 [[좌표계,coordinate_system]]로.

||          ||$\vec{r}=$ ||$d\vec{r}=$ ||$\nabla=$ ||
||직각좌표계||$x\hat{x}+y\hat{y}+z\hat{z}$ ||$\hat{x}dx+\hat{y}dy+\hat{z}dz$                                 ||$\hat{x}\frac{\partial}{\partial x}+\hat{y}\frac{\partial}{\partial y}+\hat{z}\frac{\partial}{\partial z}$ ||
||원통좌표계||$\rho\hat{\rho}+z\hat{z}$    ||$\hat{\rho}d\rho+\hat{\phi}\rho d\phi+\hat{z}dz$                ||$\hat{\rho}\frac{\partial}{\partial\rho}+\hat{\phi}\frac{1}{\rho}\frac{\partial}{\partial \phi}+\hat{z}\frac{\partial}{\partial z}$ ||
||구면좌표계||$r\hat{r}$                   ||$\hat{r}dr+\hat{\theta}rd\theta+\hat{\phi}r\sin\theta d\phi$ ||$\hat{r}\frac{\partial}{\partial r}+\hat{\theta}\frac{1}{r}\frac{\partial}{\partial\theta}+\hat{\phi}\frac{1}{r\sin\theta}\frac{\partial}{\partial\phi}$ ||

dr에 뭔가 곱해지는 것이 있으면 ∇에는 같은 것을 나누는 것이 있음

grad, div, curl을 직각좌표계로 대표하기(? 표현하기?)
||grad ||$\nabla u=\hat{x}\frac{\partial u}{\partial x}+\hat{y}\frac{\partial u}{\partial y}+\hat{z}\frac{\partial u}{\partial z}$ ||
||div  ||$\nabla\cdot\vec{F}=\frac{\partial F_x}{\partial x}+\frac{\partial F_y}{\partial y}+\frac{\partial F_z}{\partial z}$ ||
||curl ||$\nabla\times\vec{F}=\hat{x}\left(\frac{\partial F_x}{\partial y}-\frac{\partial F_y}{\partial z}\right) + \hat{y}\left(\frac{\partial F_x}{\partial z}-\frac{\partial F_z}{\partial x}\right) + \hat{z}\left(\frac{\partial F_y}{\partial x}-\frac{\partial F_x}{\partial y}\right)$ ||

ALSOIN 좌표계, [[델,del,나블라,nabla]]
CHK; from https://www.youtube.com/watch?v=Sa7xDuWEvZ4 스토크스 정리와 다이버젠스 정리 2분 (차동우)

= nabla, del, ∇ 기호의 정의 =

$\nabla\eq\left( \frac{\partial}{\partial x}, \frac{\partial}{\partial y}, \frac{\partial}{\partial z} \right) $

||grad f || $\nabla f$ ||
||div f  || $\nabla\cdot f$ ||
||curl f || $\nabla\times f$ ||

i.e.

||grad || $\nabla$ ||
||div  || $\nabla\cdot$ ||
||curl || $\nabla\times$ ||

Copied to [[델,del,나블라,nabla]]

= grad, gradient, 기울기, 경사 =
$\nabla f$

Moved to subpage [[기울기,gradient]]

= div, divergence, 발산 =
$\nabla\cdot f$
[[발산,divergence]]

= curl, rot, rotation, 회전 =
$\nabla\times f$
[[회전,curl]]

= 라플라시안 Laplacian =
div(grad(f)) = ∇·∇f = ∇^^2^^f
그래디언트(기울기)의 발산, divergence of gradient
[[라플라시안,Laplacian]]

= 비교 표 =
2차원
||[[발산,divergence]] ||$\text{div}\vec{F}$ ||$\nabla\cdot\vec{F}$ ||$\left[ {\frac{\partial}{\partial x} \atop \frac{\partial}{\partial y}}\right]\cdot\left[{F_x \atop F_y}\right]$ ||$\frac{\partial F_x}{\partial x}+\frac{\partial F_y}{\partial y}$ ||
||[[회전,curl]] ||$\text{curl}\vec{F}$ ||$\nabla\times\vec{F}$ ||$\left[ {\frac{\partial}{\partial x} \atop \frac{\partial}{\partial y}}\right]\times\left[{F_x \atop F_y}\right]$ ||$\frac{\partial F_y}{\partial x}-\frac{\partial F_x}{\partial y}$ ||

([[https://www.youtube.com/watch?v=rB83DpBJQsE src]] 11m)

= curl(grad(f))=0 =
divergence와 curl의 성질

$f$ 가 연속된 2계편미분을 가지면,

the curl of its gradient is the zero vector
 curl(grad(f))=0̅
 $\nabla\times(\nabla f)=\vec{0}$

the curl of any conservative vector field is zero (vector?)
 curl(F)=0̅
 $\nabla\times\vec{F}=\vec{0}$

왜냐? conservative라는 것 자체가 위에서 $\vec{F}=\text{grad} f$ 를 뜻하므로.

증명: 연속이면 미분 순서가 중요하지 않아서 다 cancel되어 (Clairaut's thm) 값이 0이 됨.
 
([[https://www.youtube.com/watch?v=2qxxd68fZng src]] 11m)

= div(curl(F))=0 =
(아마 여기도 조건이 .. $f$ 가 연속된 2계편미분을 가지면,)

$\nabla\cdot(\nabla\times\vec{F})=0$
the divergence of a curl is zero

증명: (위와 마찬가지) 연속이면 미분 순서가 중요하지 않아서 다 cancel되어 (Clairaut's thm) 값이 0이 됨.

([[https://www.youtube.com/watch?v=2qxxd68fZng src]] 12:36)


= grad/div/curl: O'Neil 표현 =
이하 i, j, k에 벡터 표기 생략

$\vec{F}(x,y,z)=f(x,y,z)i + g(x,y,z)j + h(x,y,z)k$

$\nabla=\frac{\partial}{\partial x}i+\frac{\partial}{\partial y}j+\frac{\partial}{\partial z}k$

$\nabla\phi=\left(\frac{\partial}{\partial x}i+\frac{\partial}{\partial y}j+\frac{\partial}{\partial z}k\right)\phi$
 $=\frac{\partial\phi}{\partial x}i+\frac{\partial\phi}{\partial y}j+\frac{\partial\phi}{\partial z}k=\textrm{gradient of }\phi.$

$\nabla\cdot\vec{F}=\left(\frac{\partial}{\partial x}i+\frac{\partial}{\partial y}j+\frac{\partial}{\partial z}k\right)\cdot(fi+gj+hk)$
 $=\frac{\partial f}{\partial x}+\frac{\partial g}{\partial y}+\frac{\partial h}{\partial z}=\textrm{divergence of }\vec{F}.$

$\nabla\times\vec{F}=\begin{vmatrix}i&j&k\\ {\partial/\partial x}&{\partial/\partial y}&{\partial/\partial z} \\ f&g&h \end{vmatrix}$
 $=\left(\frac{\partial h}{\partial y}-\frac{\partial g}{\partial z}\right)i+\left(\frac{\partial f}{\partial z}-\frac{\partial h}{\partial x}\right)j+\left(\frac{\partial g}{\partial x}-\frac{\partial f}{\partial y}\right)k=\textrm{curl of }\vec{F}.$

(O'Neil AEM 7e p362)

= div, grad, curl, and all that =
Divergence Theorem
 $\iint_S\vec{F}\cdot\hat{n}dS=\iiint_V\nabla\cdot\vec{F}dV$

Stokes' Theorem
 $\oint_C\vec{F}\cdot\hat{t}ds=\iint_S\hat{n}\cdot\nabla\times\vec{F}dS$

Identities Involving the Operator ∇＊ (이하 $F, G$ 에 벡터 표시 $\vec{F}, \vec{G}$ 생략)
 $\nabla(fg)=f\nabla g + g\nabla f$
 $\nabla(F\cdot G)=(G\cdot\nabla)F+(F\cdot\nabla)G+F\times(\nabla\times G)+G\times(\nabla\times F)$
 $\nabla\cdot(fF)=f\nabla\cdot+F\cdot\nabla f$ (????)
 $\nabla\cdot(F\times G)=G\cdot(\nabla\times F)-F\cdot(\nabla\times G)$
 $\nabla\cdot\nabla\times F=0$
 $\nabla\times(fF)=f\nabla\times F+(\nabla f)\times F$
 $\nabla\times(F\times G)=(G\cdot \nabla)F-(F\cdot \nabla)G+F(\nabla\cdot G)-G(\nabla\cdot F)$
 $\nabla\times(\nabla\times F)=\nabla(\nabla\cdot F)-\nabla^2 F$
 $\nabla\times\nabla f=0$

$f,g$ 는 위치의 스칼라 함수이고 $\vec{F},\vec{G}$ 는 위치의 벡터 함수.

(div, grad, curl, and all that 4e 책의 맨 앞)

= Textbooks =
== Marsden ==
Google:marsden+vector+calculus

= Further Ref / Twins =
[[WpKo:벡터_미적분학]]
[[WpEn:Vector_calculus]]
[[https://terms.naver.com/entry.naver?docId=3405105&cid=47324&categoryId=47324 수학백과: 벡터해석]]
https://encyclopediaofmath.org/wiki/Vector_calculus
 "An obsolete name … 벡터대수학[[Srch:vector_algebra]]{ https://encyclopediaofmath.org/wiki/Vector_algebra }, 벡터해석학[[Srch:vector_analysis]]{ https://encyclopediaofmath.org/wiki/Vector_analysis }로 구성... "

grad, div, curl, laplacian은 [[연산자,operator]]? [[미분연산자]]? [[RR:미분연산자,differentiation_operator]] $D$ 와는 관계 없음?


델 연산자가 포함된 곱셈 규칙 product rule with del operator
https://freshrimpsushi.github.io/posts/product-rule-with-del-operator/

https://ghebook.blogspot.com/2010/07/vector.html
https://ghebook.blogspot.com/2010/08/vector-identity.html
and
https://ghebook.blogspot.com/2020/07/vector-calculus.html

Video
Dr. Bazett, Calculus IV: Vector Calculus
https://www.youtube.com/playlist?list=PLHXZ9OQGMqxfW0GMqeUE1bLKaYor6kbHa

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