벡터장,vector_field

공간의 각 점에 벡터,vector를 대응시킨 것.

벡터장은 함수
$f:\mathbb{R}^n\to\mathbb{R}^n$
$\vec{v}=\left(v_1(x_1,\cdots,x_n),\cdots,v_n(x_1,\cdots,x_n)\right)$

특히 3차원 벡터장이... tbw: 차원에 따른 분류. / 2D/3D에서 각각 성립하는 것들 section별로. .....


D를 $\mathbb{R}^2$ 의 부분집합(평면영역)이라 하자.
$\mathbb{R}^2$ 에서의 벡터장은 D에 속하는 각 점 $(x,y)$ 에 대해 벡터 $\vec{F}(x,y)$ 를 대응시키는 함수 $\vec{F}$ 이다.
벡터장을 그리는 가장 좋은 방법은 점 $(x,y)$ 를 시점으로 하는 벡터 $\vec{F}(x,y)$ 를 나타내는 화살표를 그리는 것이다. 물론 모든 점에 대해 이것을 그리는 것은 불가능하지만, D에 속하는 몇 개의 대표적인 점에 대해 화살표를 그림으로써 $\vec{F}$ 의 적절한 자취,trace를 얻을 수 있다.
이것을 성분함수(component function) $P,Q$ 를 이용해서 쓰면
$\vec{F}(x,y)=P(x,y)\vec{i}+Q(x,y)\vec{j}=\langle P(x,y),Q(x,y) \rangle$
또는 다음과 같이 간단히 표현할 수 있다.
$\vec{F}=P\vec{i}+Q\vec{j}$

마찬가지로 $\mathbb{R}^3$ 에서의 벡터장
$\vec{F}(x,y,z)=P(x,y,z)\vec{i}+Q(x,y,z)\vec{j}+R(x,y,z)\vec{k}$

간혹 점,point $(x,y,z)$위치벡터,position_vector $\vec{x}=\langle x,y,z \rangle$ 와 동일시하고 $\vec{F}(x,y,z)$ 대신에 $\vec{F}(\vec{x})$ 로 쓴다.
그러면 $\vec{F}$ 는 벡터 $\vec{x}$ 에 대해 벡터 $\vec{F}(\vec{x})$ 를 대응시키는 함수가 된다.

(Stewart 8e ko p889)


2변수 또는 3변수 벡터함수,vector_function
$\vec{F}(x,y)=P(x,y)\hat{\rm i}+Q(x,y)\hat{\rm j}$
$\vec{F}(x,y,z)=P(x,y,z)\hat{\rm i}+Q(x,y,z)\hat{\rm j}+R(x,y,z)\hat{\rm k}$
벡터장이라고 부른다.

예: 유체,fluid 내의 각 점에서 입자의 속도를 나타내는 속도장,velocity_field, 힘장,force_field( or 역장 or 힘마당. tmp: kps force field: https://www.kps.or.kr/content/voca/search.php?et=en&find_kw=force field )

(Zill 6e ko chap9.7 회전과 발산 p635)


벡터장사상,map
$\vec{f}:\mathbb{R}^n\to\mathbb{R}^n$
that assigns each $\vec{x}$ a vector $\vec{f}(\vec{x}).$ // i.e.
$\vec{f}:\vec{x}\mapsto\vec{f}(\vec{x})$
발산,divergence, 회전,curl 결과를 가지고 유일하게 (구분가능하게) 기술/서술/특정/specify/...가 가능하다? - (rel. 헬름홀츠_정리,Helmholtz_theorem = Helmholtz_decomposition - writing) - chk (MathWorld)

벡터장발산,divergence, 회전,curl 연산 가능. tbw. - see 벡터미적분,vector_calculus


(수학백과)
Ex.: 평면,plane이나 공간,space에서 속도장, 전기장, 자기장, ... 이것들은 평면이나 공간의 각 점,vector벡터,vector를 대응시켜 표현하는 것.
이렇게 일반 차원(정확한 뜻? 자연수 차원,dimension?) 유클리드_공간,Euclidean_space $\mathbb{E}$ 또는 그 부분집합,subset에서 벡터공간,vector_space $\vec{\mathbb{E}}$ 로 가는 함수,function벡터장이라 할 수 있다.
일반적으로는 미분다양체(= differentiable_manifold = 매끄러운다양체 = smooth_manifold ? WpKo:매끄러운_다양체 chk)의 각 점에 접벡터,tangent_vector를 대응시키는 사상,map을 뜻한다.
벡터장이 주어진 다양체,manifold동역학계,dynamical_system라고 하기도 한다.

위치벡터장
2D 평면에서 위치벡터장은 $\vec{r}(x,y) = (x,y)$
3D 공간에서 위치벡터장은 $\vec{r}(x,y,z)=(x,y,z)$
??? 전자는 함수인데 후자 tuple의 뜻 정확히.. 좌표,coordinate?
단위벡터장
크기(=노름,norm? chk)가 1인 벡터장.
예를 들어 원점,origin에서 정의되지 않는 단위벡터장:
$\vec{u}(x_1,\cdots,x_n)=\frac1{\sqrt{x_1^2+\cdots+x_n^2}}(x_1,\cdots,x_n)$


스칼라장,scalar_field기울기,gradient벡터장임.
벡터장발산,divergence은 스칼라장임.
회전,curl



벡터장의 flux: see 선속,flux


CHK

$\vec{v}=(v_x,v_y,v_z)$
$\vec{v}=v_x\hat{\imath}+v_y\hat{\jmath}+v_z\hat{k}$
$v_x\,v_y,\,v_z$ 는 스칼라 함수

벡터장의 정의는 벡터함수,vector_function의 Thomas Ch11 부분에도 참조할 거리가 있음.

보존벡터장 or 보존적벡터장 (conservative vector field)

mv to conservative_vector_field - ko pagename TBD

CHK
벡터장 F가 어떤 함수 f의 gradient이면 F는 보존벡터장(conservative vector field) { https://math.fandom.com/wiki/Conservative_vector_field } 이고, f는 퍼텐셜함수(potential function)이다. (see 퍼텐셜함수,potential_function)

벡터장 $\vec{F}$ 가 어떤 스칼라함수,scalar_function기울기,gradient일 때,
$\vec{F}=\nabla f$ 를 만족하는 함수 $f$ 가 존재할 때,
$\vec{F}$보존적 벡터장(conservative vector field)이라 한다.
이 경우에 $f$$\vec{F}$ 에 대한 퍼텐셜함수,potential_function라 한다.
Ex. 중력장,gravitational_field
(Stewart 8e ko p893)

(정리)
$\vec{F}$ 가 열린 연결영역 D에서 연속인 벡터장이라 하자. // 열린영역,open_region 연결영역,connected_region ... 열린연결영역 open_connected_region ? 연속성,continuity
$\int_C \vec{F}\cdot d\vec{r}$
가 D에서 경로에 독립이면 $\vec{F}$ 는 D에서 보존적 벡터장이다. 즉 // path_independence
$\nabla f = \vec{F}$
가 되는 함수 $f$ 가 존재한다. (이후 책에 증명)
(Stewart 8e ko p908)

(정리)
(클레로_정리,Clairaut_theorem에 따라서 유도되었음)
$\vec{F}(x,y)=P(x,y)\vec{i}+Q(x,y)\vec{j}$보존적 벡터장이고 $P$$Q$정의역,domain D에서 연속인 1계 편도함수를 갖는다면 D 전체에서 다음이 성립한다.
$\frac{\partial P}{\partial y}=\frac{\partial Q}{\partial x}$
이 정리의 역은 특수한 형태의 영역,region에 대해서만 성립한다.
이것을 설명하기 위해 먼저 필요한 개념이 단순곡선,simple_curve, 즉 양 끝점 사이의 어떤 곳에서도 서로 교차하는 점이 없는 곡선이다.
저 위의 정리에서는 열린연결영역이 사용되었는데 다음 정리에서는 더 강한 조건이 필요하다.
평면에서 단순연결영역,simply_connected_region은 D 안에 있는 모든 단순닫힌곡선(simply_closed_curve ? 단순곡선,simple_curve and 닫힌곡선,closed_curve? chk .... 단순닫힌곡선$\vec{r}(a)=\vec{r}(b)$ 가 되지만 $a<t_1<t_2<b$ 일 때 $\vec{r}(t_1)\ne\vec{r}(t_2)$ 이다. (Stewart 8e ko p909)) 이 D 안에 있는 점만을 둘러싸고 있는 연결영역,connected_region D를 뜻한다.
(직관적으로 말하면, 단순연결영역은 구멍을 포함하지 않고 두 부분으로 분리되어 있지 않은 그런 영역)

(정리)
$\vec{F}=P\vec{i}+Q\vec{j}$ 는 열린 단순연결영역 D에서의 벡터장이고,
$P$$Q$ 는 연속인 1계 편도함수를 갖고, D에서 다음이 성립한다고 하자.
$\frac{\partial P}{\partial y}=\frac{\partial Q}{\partial x}$
그러면 $\vec{F}$보존적 벡터장이다.

(Stewart 8e ko p909-910)

Stokes정리 관련

$\oint_C\vec{F}(\vec{r})\cdot d\vec{r}=\int_S(\nabla\times\vec{F}(\vec{r}))\cdot d\vec{S}$
어떤 벡터장 $\vec{F}(\vec{r})$ 이든지 임의의 폐곡선 C 를 따라 선적분,line_integral한 값(좌변)은 $\nabla\times\vec{F}(\vec{r})$ 을 폐곡선 C로 둘러싸인 면 S에서 면적분,surface_integral한 값(우변)과 같다

See 스토크스_정리,Stokes_theorem
2020-09-16 from 차동우 인하대물리1 06G스토크스 정리 / 면적분 https://youtu.be/93D-x8PGx7o

벡터장의 분류 (Sadiku 3.9 p95)

∇·A=0일 때 벡터장 A는 솔레노이드장(또는 비발산장)이라고 한다.
∇×A=0일 때 벡터장 A는 비회전장(또는 포텐셜)이라고 한다.
(퍼텐셜,potential과 관련이?)