공간의 각 점에 [[벡터,vector]]를 대응시킨 것. '''벡터장'''은 함수 $f:\mathbb{R}^n\to\mathbb{R}^n$ $\vec{v}=\left(v_1(x_1,\cdots,x_n),\cdots,v_n(x_1,\cdots,x_n)\right)$ 특히 3차원 벡터장이... tbw: 차원에 따른 분류. / 2D/3D에서 각각 성립하는 것들 section별로. ..... ---- D를 $\mathbb{R}^2$ 의 부분집합(평면영역)이라 하자. $\mathbb{R}^2$ 에서의 '''벡터장'''은 D에 속하는 각 점 $(x,y)$ 에 대해 벡터 $\vec{F}(x,y)$ 를 대응시키는 함수 $\vec{F}$ 이다. 벡터장을 그리는 가장 좋은 방법은 점 $(x,y)$ 를 시점으로 하는 벡터 $\vec{F}(x,y)$ 를 나타내는 화살표를 그리는 것이다. 물론 모든 점에 대해 이것을 그리는 것은 불가능하지만, D에 속하는 몇 개의 대표적인 점에 대해 화살표를 그림으로써 $\vec{F}$ 의 적절한 [[자취,trace]]를 얻을 수 있다. 이것을 성분함수(component function) $P,Q$ 를 이용해서 쓰면 $\vec{F}(x,y)=P(x,y)\vec{i}+Q(x,y)\vec{j}=\langle P(x,y),Q(x,y) \rangle$ 또는 다음과 같이 간단히 표현할 수 있다. $\vec{F}=P\vec{i}+Q\vec{j}$ 마찬가지로 $\mathbb{R}^3$ 에서의 '''벡터장'''은 $\vec{F}(x,y,z)=P(x,y,z)\vec{i}+Q(x,y,z)\vec{j}+R(x,y,z)\vec{k}$ 간혹 [[점,point]] $(x,y,z)$ 를 [[위치벡터,position_vector]] $\vec{x}=\langle x,y,z \rangle$ 와 동일시하고 $\vec{F}(x,y,z)$ 대신에 $\vec{F}(\vec{x})$ 로 쓴다. 그러면 $\vec{F}$ 는 벡터 $\vec{x}$ 에 대해 벡터 $\vec{F}(\vec{x})$ 를 대응시키는 함수가 된다. (Stewart 8e ko p889) ---- 2변수 또는 3변수 [[벡터함수,vector_function]] $\vec{F}(x,y)=P(x,y)\hat{\rm i}+Q(x,y)\hat{\rm j}$ $\vec{F}(x,y,z)=P(x,y,z)\hat{\rm i}+Q(x,y,z)\hat{\rm j}+R(x,y,z)\hat{\rm k}$ 를 '''벡터장'''이라고 부른다. 예: [[유체,fluid]] 내의 각 점에서 입자의 속도를 나타내는 [[속도장,velocity_field]], [[힘장,force_field]]( or 역장 or 힘마당. tmp: kps force field: https://www.kps.or.kr/content/voca/search.php?et=en&find_kw=force+field ) (Zill 6e ko chap9.7 회전과 발산 p635) ---- '''벡터장'''은 [[사상,map]] $\vec{f}:\mathbb{R}^n\to\mathbb{R}^n$ that assigns each $\vec{x}$ a vector $\vec{f}(\vec{x}).$ // i.e. $\vec{f}:\vec{x}\mapsto\vec{f}(\vec{x})$ ''[[발산,divergence]], [[회전,curl]] 결과를 가지고 유일하게 (구분가능하게) 기술/서술/특정/specify/...가 가능하다? - (rel. [[헬름홀츠_정리,Helmholtz_theorem]] = [[Helmholtz_decomposition]] - writing) - chk'' (MathWorld) '''벡터장'''에 [[발산,divergence]], [[회전,curl]] 연산 가능. tbw. - see [[벡터미적분,vector_calculus]] ---- (수학백과) Ex.: [[평면,plane]]이나 [[공간,space]]에서 속도장, 전기장, 자기장, ... 이것들은 평면이나 공간의 각 [[점,vector]]에 [[벡터,vector]]를 대응시켜 표현하는 것. 이렇게 일반 차원''(정확한 뜻? 자연수 [[차원,dimension]]?)'' [[유클리드_공간,Euclidean_space]] $\mathbb{E}$ 또는 그 [[부분집합,subset]]에서 [[벡터공간,vector_space]] $\vec{\mathbb{E}}$ 로 가는 [[함수,function]]가 '''벡터장'''이라 할 수 있다. 일반적으로는 ''미분다양체(= differentiable_manifold = 매끄러운다양체 = smooth_manifold ? WpKo:매끄러운_다양체 chk)''의 각 점에 [[접벡터,tangent_vector]]를 대응시키는 [[사상,map]]을 뜻한다. 벡터장이 주어진 [[다양체,manifold]]를 [[동역학계,dynamical_system]]라고 하기도 한다. 위치벡터장 2D 평면에서 위치벡터장은 $\vec{r}(x,y) = (x,y)$ 3D 공간에서 위치벡터장은 $\vec{r}(x,y,z)=(x,y,z)$ ''??? 전자는 함수인데 후자 tuple의 뜻 정확히.. [[좌표,coordinate]]?'' 단위벡터장 크기''(=[[노름,norm]]? chk)''가 1인 벡터장. 예를 들어 [[원점,origin]]에서 정의되지 않는 단위벡터장: $\vec{u}(x_1,\cdots,x_n)=\frac1{\sqrt{x_1^2+\cdots+x_n^2}}(x_1,\cdots,x_n)$ ---- [[스칼라장,scalar_field]]의 [[기울기,gradient]]는 '''벡터장'''임. '''벡터장'''의 [[발산,divergence]]은 스칼라장임. [[회전,curl]] http://mathinsight.org/vector_field_overview 벡터장의 flux: see [[선속,flux]] ---- CHK $\vec{v}=(v_x,v_y,v_z)$ $\vec{v}=v_x\hat{\imath}+v_y\hat{\jmath}+v_z\hat{k}$ $v_x\,v_y,\,v_z$ 는 스칼라 함수 ---- '''벡터장'''의 정의는 [[벡터함수,vector_function]]의 Thomas Ch11 부분에도 참조할 거리가 있음. = 보존벡터장 or 보존적벡터장 (conservative vector field) = mv to [[conservative_vector_field]] - ko pagename TBD CHK 벡터장 F가 어떤 함수 f의 gradient이면 F는 보존벡터장(conservative vector field) { https://math.fandom.com/wiki/Conservative_vector_field } 이고, f는 퍼텐셜함수(potential function)이다. (see [[퍼텐셜함수,potential_function]]) '''벡터장''' $\vec{F}$ 가 어떤 [[스칼라함수,scalar_function]]의 [[기울기,gradient]]일 때, 즉 $\vec{F}=\nabla f$ 를 만족하는 함수 $f$ 가 존재할 때, 이 $\vec{F}$ 를 '''보존적 벡터장'''(conservative vector field)이라 한다. 이 경우에 $f$ 를 $\vec{F}$ 에 대한 [[퍼텐셜함수,potential_function]]라 한다. Ex. [[중력장,gravitational_field]] (Stewart 8e ko p893) (정리) $\vec{F}$ 가 열린 연결영역 D에서 연속인 벡터장이라 하자. // [[열린영역,open_region]] [[연결영역,connected_region]] ... 열린연결영역 open_connected_region ? [[연속성,continuity]] $\int_C \vec{F}\cdot d\vec{r}$ 가 D에서 경로에 독립이면 $\vec{F}$ 는 D에서 '''보존적 벡터장'''이다. 즉 // [[path_independence]] $\nabla f = \vec{F}$ 가 되는 함수 $f$ 가 존재한다. (이후 책에 증명) (Stewart 8e ko p908) (정리) ([[클레로_정리,Clairaut_theorem]]에 따라서 유도되었음) $\vec{F}(x,y)=P(x,y)\vec{i}+Q(x,y)\vec{j}$ 가 '''보존적 벡터장'''이고 $P$ 와 $Q$ 는 [[정의역,domain]] D에서 연속인 1계 편도함수를 갖는다면 D 전체에서 다음이 성립한다. $\frac{\partial P}{\partial y}=\frac{\partial Q}{\partial x}$ 이 정리의 역은 특수한 형태의 [[영역,region]]에 대해서만 성립한다. 이것을 설명하기 위해 먼저 필요한 개념이 [[단순곡선,simple_curve]], 즉 양 끝점 사이의 어떤 곳에서도 서로 교차하는 점이 없는 곡선이다. 저 위의 정리에서는 열린연결영역이 사용되었는데 다음 정리에서는 더 강한 조건이 필요하다. 평면에서 [[단순연결영역,simply_connected_region]]은 D 안에 있는 모든 단순닫힌곡선(simply_closed_curve ? [[단순곡선,simple_curve]] and [[닫힌곡선,closed_curve]]? chk .... '''단순닫힌곡선'''은 $\vec{r}(a)=\vec{r}(b)$ 가 되지만 $a