#noindex
줄여서 '''aux eqn'''

CHK, MKLINK
[[미분방정식,differential_equation]]을 풀기 위해 used?
[[특성방정식,characteristic_equation]]이라 불리기도 하는?

Ex.
 $a\frac{d^2y}{dx^2}+b\frac{dy}{dx}+cy=0$
의 '''보조방정식'''은
 $ak^2+bk+c=0$

그래서 [[이차방정식,quadratic_equation]]의 근의 공식 quadratic_formula 으로 풀어서 그것이 (다른 두 실근인지/중근인지/다른 두 허근인지)에 따라 원래 방정식의 해가 세 형태 중 하나로 정해진다.

= 설명 1 =
상수계수 2계 1차 상미분방정식 (선형 상미분방정식)
 $\frac{d^2y}{dx^2}+A\frac{dy}{dx}+By=0$
i.e.
 $y''+Ay'+By=0$
의 '''보조방정식'''은
 $m^2+Am+B=0$
이고, 이 방정식의 근에 따라
1. 두 실근 $m_1,m_2$
 $y=c_1e^{m_1x}+c_2e^{m_2x}$
2. 중근 $m$
 $y=e^{mx}(c_1+c_2x)$
3. 허근 $m=a\pm jb$
 $y=e^{ax}\left( A_1 e^{jbx} + A_2 e^{-jbx} \right)$
 $y=e^{ax}\left( c_1 \cos bx + c_2 \sin bx \right)$

via https://www.youtube.com/watch?v=wtJG2_jhkew

= Ex 1 - 응용 =
series [[RLC회로,RLC_circuit]] system 해석,
spring+mass+damper system 해석,
등등.
{
Example 1
[[RLC회로,RLC_circuit]]의 경우 방정식은 다음과 같다.
KVL에 의해
 $L\frac{di}{dt}+Ri+\frac1C q = E(t)$
i.e.
 $L\frac{d^2q}{dt}+R\frac{dq}{dt}+\frac1C q = E(t)$

Example 2
spring+mass+damper system { ''정확한이름?? pagename TBD.'' WpEn:Mass-spring-damper_model ... Google:spring+mass+damper+system } 의 경우 외부 힘(external force)이 없을 때
 Force on mass = ma
 Force by spring = kx ([[훅_법칙,Hooke_law]])
 Force by damper = ρ (dx/dt)
이 세 힘의 합은 0이므로, 방정식은 다음과 같다.
 $m\frac{d^2x}{dt^2}+\rho\frac{dx}{dt}+kx=0$

(이런 상수계수 2nd order ODE에 대해)

이것의 standard_form 은
 $\frac{d^2x}{dt^2}+2\lambda\frac{dx}{dt}+\omega^2 x=0$
where
 $2\lambda=\frac{\beta}{m}$
 $\omega^2=\frac{k}{m}$ ..... $\omega=\sqrt{\frac{k}{m}}=2\pi f$ : [[natural_frequency]] in rad/s

이것의 '''auxiliary equation'''은
 $m^2+2\lambda m+\omega^2 = 0$
근은
 $m_1=-\lambda+\sqrt{\lambda^2-\omega^2}$
 $m_2=-\lambda-\sqrt{\lambda^2-\omega^2}$

Case I: $\lambda^2-\omega^2 > 0$ overdamped // [[overdamping]]
 $x(t)=c_1e^{m_1t}+c_2e^{m_2t}$

Case II: $\lambda^2-\omega^2 = 0$ critically damped // [[critical_damping]]?
 $x(t)=c_1e^{m_1t}+c_2te^{m_1t}$

Case III: $\lambda^2-\omega^2 < 0$ under-damped // [[underdamping]]
 $x(t)=e^{-\lambda t}\left( c_1\cos\sqrt{\omega^2-\lambda^2}t + c_2\sin\sqrt{\omega^2-\lambda^2} t \right)$

위 셋의 특성은 각각,
Case I: takes a long time to reach [[평형,equilibrium|equilibrium]]
Case II: no overshoot, reach [[평형,equilibrium|equilibrium]] in shortest time
Case III: overshoot 존재, oscillates for a while

''그래프 보기 ... Google:underdamping+overdamping+and+critical+damping&tbm=isch''

(Beelee)

See also:
[[감쇠,damping,attenuation]]

}

----
[[WpEn:Characteristic_equation_(calculus)]] 첫문장에 언급.
https://everything2.com/title/Auxiliary+equation
... Google:보조방정식 Naver:보조방정식

Up: [[방정식,equation]]