부등식,inequality

proper pagename: 부등(or 부등성) inequality
{
subs:
부등식 inequality_expression (하지만 대부분 그냥 inequality로 씀. VG 특성상 그냥 페이지명 놔둬도 무방할 듯.)
부등호 inequality_sign or inequality_symbol ? ... twin: Zeta:부등 (del)
} ... 그리고 영단어_inequality 페이지 어떻게 할까?

WtEn:inequality에선 statement (curr. 진술,statement)로 정의함.

그 반대인 상등,equality (writing)
{
or 항등?

등식 equality OR equality_expression ?
항등식 equality_expression ?

MKLINK
동치,equivalence - 차이점서술


}


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1. 매우 기초

If $a<b$ and $b<c,$ then $a<c.$
If $a<b,$ then $a+c<b+c.$
If $a<b$ and $c>0,$ then $ac<bc.$
If $a<b$ and $c<0,$ then $ca>cb.$
If $a>0,$ then
$|x|=a$ means $x=a\text{ or }x=-a$
$|x|<a$ means $-a<x<a$
$|x|>a$ means $x>a\text{ or }x<-a$
(Stewart 9e 맨앞)
If $a<b$ and $c<d,$ then $a+c<b+d.$
If $0<a<b,$ then $1/a > 1/b.$
(Stewart Appndx A 에서 위에 없는거)

최적화,optimization를 위해 가능한 최대최소를 구하는, ex. 유계,bounded 여부, 경계,bound 등을 구하는 데 사용. chk

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2. 베르누이 부등식


임의의 자연수 $n$ 에 대해 다음이 성립한다.
$(1+x)^n\ge 1+nx$

증명 (수학적귀납법,mathematical_induction 사용)
부등식을 자연수 $n$ 에 대한 함수 $p(n)$ 으로 놓는다.
$n=1$ 일 때 성립하여 $p(1)$ 은 참이다.
자연수 $k$ 에 대해 $p(k)$ 가 참이라고 가정하면
$(1+x)^k\ge 1+kx$
이다. $1+x\ge 0$ 이므로 부등식의 양변에 $1+x$ 를 곱하여도 부등호의 방향이 변하지 않는다.
$(1+x)^{k+1}\ge (1+kx)(1+x)$
그런데 $(1+kx)(1+x)=1+(k+1)x+kx^2\ge 1+(k+1)x$ 이므로,
$(1+x)^{k+1}\ge 1+(k+1)x$
이다. 따라서 $p(k+1)$ 도 참이다. 수학적 귀납법에 의해 임의의 자연수 $n$ 에 대해 $p(n)$ 은 참이다.
(The Art of Analysis 4e, p. 48)

이것의 특별한 경우인 $(1+x)^n>1+nx$ 는 장기적으로는 단리보다 복리가 큰 것과 관련? chk


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3. 삼각함수의 두 특별한 부등식

임의의 라디안 각,angle $\theta$ 에 대해, 그 sine과 cosine은 다음을 만족한다.
$-|\theta|\le \sin\theta \le |\theta|$
$-|\theta|\le 1-\cos\theta \le |\theta\$

https://i.imgur.com/Mf6QQjj.png


See also 삼각함수,trigonometric_function
Source: two special inequalities라고 Thomas Calculus Early Trans. 13e p26에서 소개함.

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4. Hölder

헬더_부등식 이라고 써있었는데 횔더 부등식이 맞는듯
횔더 부등식 Hölder's inequality


TMP http://www.polymath.co.kr/contents/view/22636?page=1
코시슈바르츠를 더 일반화시킨거라고...CHK

TMP https://suhak.tistory.com/285
{
횔더부등식에서 특정한 경우가 코시슈바르츠부등식.
횔더부등식을 좀 바꾸면 민코프스키 Minkowski 부등식.
}



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5. Jensen

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6. 정보 부등식 information inequality

/*from [https]this slide p3*/
{
Thm: Let $p(x),q(x),x\in X,$ be two 확률질량함수,probability_mass_function,PMFs. Then
$D(p\mid\mid q)\ge 0$
with equality iff
$p(x)=q(x)\;\;\textrm{ for all }x.$

Corollary: (Nonnegativity of 상호정보,mutual_information): For any two 확률변수,random_variables, $X,Y,$
$I(X;Y)\ge 0$
with equality $f$ and only if $X$ and $Y$ are independent.
}

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7. Kraft inequality

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8. 평균에서 나타나는 부등식 : 산술평균 ≥ 기하평균 ≥ 조화평균

임의의 양의 실수 $x_1,x_2,\cdots,x_k$ 에 대해 다음이 성립.
$\frac{k}{\frac1{x_1}+\frac1{x_2}+\cdots+\frac1{x_k}} \le \sqrt[k]{x_1x_2\cdots x_k} \le \frac{x_1+x_2+\cdots+x_k}{k}$

Related: also mentioned in 평균,mean,average



pagename? 조화평균까지 포함할지?
산술-기하-조화평균_부등식?
산술평균-기하평균-조화평균_부등식?

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9. 차의 부등식?

아무튼 삼각부등식과 부호, 부등호방향이 반대인 데 비슷하게 생긴 것

$|a|=|a-b+b|=|(a-b)+b|$
여기에 $|x+y| \le |x| + |y|$ 를 적용하면 (삼각부등식,triangle_inequality)
$|a|=|(a-b)+b| \le |a-b|+|b|$
$|a| \le |a-b| + |b|$
$|a| - |b| \le |a-b|$

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10. Misc

Child

Namu:절대부등식이란 말은 절대 결과값이 참인, 즉 항상 성립하는 부등식이라는 뜻인 모양인데 영어권에서는 굳이 이걸 용어를 지어 지칭하지 않는 듯하다.
수학의 정석에서는 부등식을 절대부등식 vs 조건부등식으로 이분하여 소개한다.

근호가 있는 절대부등식을 증명할 때 자주 이용되는 성질
A>B ⇔ A²>B² (단 A>0, B>0)

Ex. a>0, b>0일 때 $\frac{a+b}{2}\ge\sqrt{ab}$ 증명
$(a+b)^2-4ab\ge 0$
을 증명하면 됨, 좌변은
$a^2+2ab+b^2-4ab$
$=a^2-2ab+b^2$
$=(a-b)^2\ge 0\qed$



big_O_notation(curr at 복잡도,complexity#s-1), big theta n., 등등은 부등식을 이용하여 정의됨.


See also
방정식,equation
RR 부등식

(Misc)
단어 inequality는 수학 밖에선 (특히 경제, 사회 쪽) '불평등, 불균등' 뜻이 있음. NdEn:inequality