''proper pagename: 부등(or 부등성) inequality''
{
subs:
 부등식 inequality_expression (하지만 대부분 그냥 inequality로 씀. VG 특성상 그냥 페이지명 놔둬도 무방할 듯.)
 부등호 inequality_sign or inequality_symbol ? ... twin: Zeta:부등 (del)
} ''... 그리고 [[영단어_inequality]] 페이지 어떻게 할까?''

WtEn:inequality 에선 statement (curr. [[진술,statement]])로 정의함.

그 반대인 [[상등,equality]] (writing)
{
or 항등?

등식 equality OR equality_expression ?
항등식 equality_expression ?

MKLINK
[[동치,equivalence]] - 차이점서술

[[부동소수점,floating_point]] number를 다룰 때는 ? [[수치해석,numerical_analysis]]에선?
[[approximate_equality]] 가 있다
{
''[[오차,error]]까지 고려한? rel. [[구간산술,interval_arithmetic]]?''
https://rosettacode.org/wiki/Approximate_equality
... Google:approximate.equality
[[근사,approximation]] [[equality]]
}

}
----
equality : a=b
'''inequalities''': a<b a>b a≤b a≥b a≠b 중 하나
(Intermediate Algebra)
----
Sub:
 [[삼각부등식,triangle_inequality]] |a+b|≤|a|+|b| 
 [[코시-슈바르츠_부등식,Cauchy-Schwartz_inequality]] |a·b|≤|a|·|b|
 [[마르코프_부등식,Markov_inequality]]
 [[체비셰프_부등식,Chebyshev_s_inequality]]

 [[벨_부등식,Bell_inequality]]
  rel. [[양자역학,quantum_mechanics]], CHSH game (see [[게임이론,game_theory]])

 [[베셀_부등식,Bessel_inequality]] - 작성중
 [[민코프스키_부등식,Minkowski_inequality]] - "

 //확률론에서
 [[본페로니_부등식,Bonferroni_inequality]] - 작성중
 [[Bernstein_inequality]] - 작성중
 [[Hoeffding_inequality]] - 작성중

 [[Boole_inequality]] - 작성중


----
[[TableOfContents]]

= 매우 기초 =
If $a<b$ and $b<c,$ then $a<c.$
If $a<b,$ then $a+c<b+c.$
If $a<b$ and $c>0,$ then $ac<bc.$
If $a<b$ and $c<0,$ then $ca>cb.$
If $a>0,$ then
 $|x|=a$ means $x=a\text{ or }x=-a$
 $|x|<a$ means $-a<x<a$
 $|x|>a$ means $x>a\text{ or }x<-a$
(Stewart 9e 맨앞)
If $a<b$ and $c<d,$ then $a+c<b+d.$
If $0<a<b,$ then $1/a > 1/b.$
(Stewart Appndx A 에서 위에 없는거)

[[최적화,optimization]]를 위해 가능한 최대최소를 구하는, ex. [[유계,bounded]] 여부, [[경계,bound]] 등을 구하는 데 사용. chk

= 베르누이 부등식 =
[[베르누이_부등식,Bernoulli_inequality]]

임의의 자연수 $n$ 에 대해 다음이 성립한다.
 $(1+x)^n\ge 1+nx$

증명 ([[수학적귀납법,mathematical_induction]] 사용)
부등식을 자연수 $n$ 에 대한 함수 $p(n)$ 으로 놓는다.
$n=1$ 일 때 성립하여 $p(1)$ 은 참이다.
자연수 $k$ 에 대해 $p(k)$ 가 참이라고 가정하면
 $(1+x)^k\ge 1+kx$
이다. $1+x\ge 0$ 이므로 부등식의 양변에 $1+x$ 를 곱하여도 부등호의 방향이 변하지 않는다.
 $(1+x)^{k+1}\ge (1+kx)(1+x)$
그런데 $(1+kx)(1+x)=1+(k+1)x+kx^2\ge 1+(k+1)x$ 이므로,
 $(1+x)^{k+1}\ge 1+(k+1)x$
이다. 따라서 $p(k+1)$ 도 참이다. 수학적 귀납법에 의해 임의의 자연수 $n$ 에 대해 $p(n)$ 은 참이다.
(The Art of Analysis 4e, p. 48)

이것의 특별한 경우인 $(1+x)^n>1+nx$ 는 장기적으로는 단리보다 복리가 큰 것과 관련? chk

[[WpKo:베르누이의_부등식]]
(1+x)^^n^^을 [[근사,approximation]]하는 부등식이라고.
[[WpEn:Bernoulli's_inequality]]
https://mathworld.wolfram.com/BernoulliInequality.html

= 삼각함수의 두 특별한 부등식 =
임의의 라디안 [[각,angle]] $\theta$ 에 대해, 그 sine과 cosine은 다음을 만족한다.
 $-|\theta|\le \sin\theta \le |\theta|$
 $-|\theta|\le 1-\cos\theta \le |\theta\$

https://i.imgur.com/Mf6QQjj.png

See also [[삼각함수,trigonometric_function]]
Source: two special inequalities라고 Thomas Calculus Early Trans. 13e p26에서 소개함.

= Hölder =
헬더_부등식 이라고 써있었는데 횔더 부등식이 맞는듯
횔더 부등식 Hölder's inequality

https://suhak.tistory.com/224

TMP http://www.polymath.co.kr/contents/view/22636?page=1
코시슈바르츠를 더 일반화시킨거라고...CHK

TMP https://suhak.tistory.com/285
{
횔더부등식에서 특정한 경우가 코시슈바르츠부등식.
횔더부등식을 좀 바꾸면 민코프스키 Minkowski 부등식.
}

[[https://terms.naver.com/entry.naver?docId=3405232&ref=y&cid=47324&categoryId=47324 수학백과 옌센 부등식 항목]]에 정의 있음.

[[WpEn:Hölder%27s_inequality]]
[[WpEn:횔더_부등식]]
https://encyclopediaofmath.org/wiki/H%C3%B6lder_inequality <- 퍼센트 encoding으로.
https://encyclopediaofmath.org/wiki/Hölder_inequality <- 그냥 써도 잘 나오는군.

= Jensen =
[[옌센_부등식,Jensen_inequality]]


= 정보 부등식 information inequality =
''/*from [[https://www.di.univr.it/documenti/OccorrenzaIns/matdid/matdid648405.pdf this slide]] p3*/''
{
Thm: Let $p(x),q(x),x\in X,$ be two [[확률질량함수,probability_mass_function,PMF]]s. Then
 $D(p\mid\mid q)\ge 0$
with equality iff
 $p(x)=q(x)\;\;\textrm{ for all }x.$

Corollary: (Nonnegativity of [[상호정보,mutual_information]]): For any two [[확률변수,random_variable]]s, $X,Y,$
 $I(X;Y)\ge 0$
with equality $f$ and only if $X$ and $Y$ are independent.
}

= Kraft inequality =

[[Kraft_inequality]]

[[WpEn:Kraft–McMillan_inequality]]
Google:Kraft+inequality

rel. [[prefix_code]]

Up: 정보이론? 코드이론?

= 평균에서 나타나는 부등식 : 산술평균 ≥ 기하평균 ≥ 조화평균 =
임의의 양의 실수 $x_1,x_2,\cdots,x_k$ 에 대해 다음이 성립.
 $\frac{k}{\frac1{x_1}+\frac1{x_2}+\cdots+\frac1{x_k}} \le \sqrt[k]{x_1x_2\cdots x_k} \le \frac{x_1+x_2+\cdots+x_k}{k}$
##from 수학백과 절대부등식

Related: also mentioned in [[평균,mean,average]]

[[WpKo:산술-기하_평균_부등식]]

[[https://terms.naver.com/entry.naver?docId=3405148&ref=y&cid=47324&categoryId=47324 수학백과: 산술평균-기하평균 부등식]]

pagename? 조화평균까지 포함할지?
산술-기하-조화평균_부등식?
산술평균-기하평균-조화평균_부등식?

= 차의 부등식? =
아무튼 삼각부등식과 부호, 부등호방향이 반대인 데 비슷하게 생긴 것

 $|a|=|a-b+b|=|(a-b)+b|$
여기에 $|x+y| \le |x| + |y|$ 를 적용하면 ([[삼각부등식,triangle_inequality]])
 $|a|=|(a-b)+b| \le |a-b|+|b|$
 $|a| \le |a-b| + |b|$
 $|a| - |b| \le |a-b|$

= Misc =
Child

[[Namu:절대부등식]]이란 말은 절대 결과값이 참인, 즉 항상 성립하는 부등식이라는 뜻인 모양인데 영어권에서는 굳이 이걸 용어를 지어 지칭하지 않는 듯하다. 
수학의 정석에서는 부등식을 절대부등식 vs 조건부등식으로 이분하여 소개한다.

근호가 있는 절대부등식을 증명할 때 자주 이용되는 성질
 A>B ⇔ A²>B² (단 A>0, B>0)

Ex. a>0, b>0일 때 $\frac{a+b}{2}\ge\sqrt{ab}$ 증명
 $(a+b)^2-4ab\ge 0$
을 증명하면 됨, 좌변은
 $a^2+2ab+b^2-4ab$
 $=a^2-2ab+b^2$
 $=(a-b)^2\ge 0\qed$



[[big_O_notation]](curr at [[복잡도,complexity#s-1]]), big theta n., 등등은 '''부등식'''을 이용하여 정의됨.


See also
[[방정식,equation]]
RR 부등식

(Misc)
단어 '''inequality'''는 수학 밖에선 (특히 경제, 사회 쪽) '불평등, 불균등' 뜻이 있음. NdEn:inequality

반대: [[등식,equality]]
 ...? 같은 영어인 [[상등,equality]] 작성중.

Bmks ko
https://mathlyblog.wordpress.com/2015/12/28/부등식inequality/

----
Twins:
http://mathworld.wolfram.com/Inequality.html
[[WpEn:Inequality_(mathematics)]]
{
대충 보니 mklink 해야 할 것들은 위에 열거 시작중인 각종 inequalities는 물론이고..
[[순서,order]]
[[순서집합,ordered_set]]
see also에 mentioned:
[[구간,interval]]
[[부분순서집합,partially_ordered_set,poset]]
[[부분순서,partial_order]]
[[이항관계,binary_relation]]
}
https://artofproblemsolving.com/wiki/index.php/Inequality
https://encyclopediaofmath.org/wiki/Inequality

Up: [[수학,math]]