#noindex ''벡터공간의 [[부분집합,subset]]이 벡터공간의 성질을 가질 경우(...의 공리를 모두 만족할 경우) '''부분공간'''이라고 불러주는 것? chk'' 대충: ''([[벡터공간,vector_space]]의 부분집합이?)'' 두 가지 조건 - vector_addition에 대해 닫혀 있고, scalar배에 대해 닫혀 있으면 '''부분공간'''. 정의: 집합 V를 벡터공간이라 하고 W(≠0)를 V의 부분집합이라 하자. 이 때, 벡터공간 V에서 정의된 덧셈과 스칼라배에 관하여 W가 벡터공간을 이룰 때, W를 V의 '''부분공간'''(subspace)이라고 한다. 정의 (Zill Defintion 7.6.2) If a subset $W$ of a vector space $V$ is itself a vector space under the operations of vector addition and scalar multiplication defined on $V,$ then $W$ is called a '''subspace''' of $V.$ 벡터공간 $V$ 의 부분집합 $W$ 가 그 자체로 $V$ 위에서 정의된 벡터 덧셈과 스칼라곱에 대하여 벡터공간이 되면, $W$ 를 $V$ 의 '''부분공간'''이라 한다. (ko) 모든 벡터공간 $V$ 는 적어도 두 부분공간을 가진다. 1. $V$ 자체 2. zero subspace $\left{\vec{0}\right}$ ''...이건 명백히 [[영공간,null_space]]과 다름. btw, QQQ [[영부분공간,zero_subspace]]라는 페이지 만들 필요 있나 없나?'' 이건 스칼라배에 대해 닫혀있어야 하므로 - 따라서 0의 곱셈에 대해서도 닫혀있어야 하므로 - 자명하게 나오는 성질? ... 정의 중 하나인지 아님 성질인지? chk [[선형독립,linear_independence]]과 밀접. ''QQQ [[linear_subspace]]와 정확히? '''subspace'''의 일종이 linear_subspace인지, 아님 항상 동의어인지, 아님 linalg 범위 내에서는 항상 동의어이고 밖에선 다를 수 있는 것인지, ... curr see [[WpEn:Linear_subspace]] Google:Linear+subspace '' <> ---- Sub: [[영공간,null_space]] [[열공간,column_space]] [[행공간,row_space]] http://mlwiki.org/index.php/Four_Fundamental_Subspaces 밀접, 관계 tbw. [[벡터공간,vector_space]]에는 그 '''부분공간'''이 있을수 ... 항상? [[생성,span]] 비교: [[부분집합,subset]] { [[집합,set]] : [[부분집합,subset]]과 [[공간,space]] : [[부분공간,subspace]]의 2x2 비교표를 만들면 도움이 되나? - or 삭제무방 } = 정의 = 정의 ([[http://kocw.net/home/search/kemView.do?kemId=1285101 최도훈]] 3강 10m) V는 벡터공간 W는 V의 부분집합이며, 공집합은 아님 (W⊂V, W≠∅) 여기서 W가 V의 부분공간이라고 하려면, W도 벡터공간이어야 한다. ---- (생각) 그럼 대충 이런듯. 부분공간이란, * 벡터공간의 부분집합 * 공집합은 아님 * 그 자체로도 벡터공간이어야 함 ---- W is a subspace of V iff W satisfies ① u,v ∈ W ⇒ u+v ∈ W ② c scalar, u ∈ W ⇒ cu ∈ W ---- 부분공간의 판정 기준 [[벡터공간,vector_space]] V의 [[공집합,empty_set]]이 아닌 [[부분집합,subset]] W가 '''부분공간'''이 되기 위한 필요충분조건은 W가 V에서 정의된 벡터 덧셈과 스칼라곱에 대해 닫혀 있을 때이다. 1. '''x'''와 '''y'''가 W 안에 있을 때 '''x'''+'''y'''도 W 안에 있다. 1. '''x'''가 W 안에 있고, k가 임의의 스칼라이면, k'''x'''는 W 안에 있다. (Zill 6e ko 정리 7.6.1 p441) ---- ([[차원,dimension]], [[기저,basis]], [[생성,span]]을 설명하고 바로 뒤에) 벡터공간 V의 공집합이 아닌 부분집합으로, 그 자체가 벡터공간인 경우 (V에서 정의된 덧셈과 스칼라곱을 가지고), 이를 벡터공간 V의 '''부분공간'''(subspace)이라고 한다. (Kreyszig 7.4 벡터공간) = 설명 = 예 (최도훈) W,,5,, : the [[벡터공간,vector_space|vector space]] of all functions on ![0,1] W,,4,, : the set of all integrable functions on ![0,1] W,,3,, : the set of all [[연속성,continuity|continuous]] functions on ![0,1] W,,2,, : the set of all differentiable functions on ![0,1] W,,1,, : the set of all [[다항식,polynomial|polynomial]]s on ![0,1] 여기서, W,,5,, ⊃ W,,4,, ⊃ W,,3,, ⊃ W,,2,, ⊃ W,,1,,이라고. ## http://kocw.net/home/search/kemView.do?kemId=1285101 3 강 41m Thm. V : 한 벡터공간 U and W : V의 부분공간 ⇒ U ∩ W 는 V의 부분공간 즉 subspace의 교집합은 다시 subspace. (증명은 어렵지 않다는데 생략, 찾으려면 see 소스) ## http://kocw.net/home/search/kemView.do?kemId=1285101 3 강 42m:33 = 이하 인터넷 페이지들 요약 CHK MERGE DELME = == Khan Academy: Lin Alg: Linear Subspaces == V subspace of ℝ^^n^^: V contains zero vector 일단 closure(폐포, 닫힘)이란 단어가 나온다. 집합론/군론의 closed랑 호환되는 거겠지 아마.. x in V → cx in V : closure under scalar multiplication a in V, b in V → a+b in V : closure under addition 이상 세 가지 조건을 만족하면 subspace? CHK * 영벡터가 있다 (덧셈의 항등원) * 스칼라곱에 닫혀 있다 * 덧셈에 닫혀 있다 https://www.khanacademy.org/math/linear-algebra/vectors-and-spaces/subspace-basis/v/linear-subspaces?modal=1 == wikidocs 책 03) 부분공간 == https://wikidocs.net/76882 == 행공간, 열공간, 영공간 == 이것들은 모두 벡터공간, 부분공간? A를 m×n행렬이라 할 때 A의 행벡터 r,,1,,, r,,2,,, …, r,,m,,이 [[생성,span|생성]]하는 ℝ^^n^^의 '''subspace'''를 A의 행공간(row space)이라 함. [[행공간,row_space]] A의 열벡터 c,,1,,, c,,2,,, …, c,,n,,이 생성하는 ℝ^^m^^의 '''subspace'''를 A의 열공간(column space)이라 함. [[열공간,column_space]] ℝ^^n^^의 '''subspace'''의 동차연립방정식 Ax=0의 해로 이루어진 공간을 영공간(null space)이라 함. [[영공간,null_space]] 비동차연립일차방정식 Ax=b의 일반해는, 동일한 A를 가지는 Ax=0의 [[일반해,general_solution]]에, [[특수해,particular_solution]]를 추가해 얻을 수 있다고. //todo: [[해,solution]]에서 이곳 link 위에서 언급했듯, A의 영공간은 Ax=0의 해공간. 만약 x,,0,,가 비동차연립일차방정식 Ax=b의 어떤 해이고, S={v,,1,,, v,,2,,, ..., v,,k,,}가 A의 영공간의 [[기저,basis]]라면, Ax=b의 모든 해는 다음 형태로 표현 가능: $x=x_0+c_1v_1+c_2v_2+\cdots+c_kv_k$ x는 Ax=b의 [[일반해,general_solution]]가 되고, x,,0,,는 Ax=b의 [[특수해,particular_solution]]이며, 위의 x에서 x,,0,,를 제외한 나머지 부분은 Ax=0의 일반해라고 한다. 결론: 비동차연립일차방정식의 일반해는, 그 연립방정식의 특수해와 동차연립방정식의 일반해의 합이다. from https://blog.naver.com/martinok1103/221552940095 == 8.pdf == Excerpts from http://elearning.kocw.net/contents4/document/lec/2013/Chungbuk/LeeGeonmyeong1/8.pdf { Summary: * 부분공간은, 벡터공간의 성질을 만족하는, 공간의 부분집합이다. * 주요 부분공간: 영공간, 열공간, 행공간, 좌영공간 * 영공간은 동차선형시스템(homogeneous [[선형방정식,linear_equation]]) Ax=0의 모든 해의 집합. * 열공간은 주어진 행렬에 대한 열벡터들의 모든 선형결합의 집합. * 행공간은 주어진 행렬에 대한 행벡터들의 모든 선형결합의 집합. * 좌영공간은 [[전치행렬,transpose_matrix]]의 [[영공간,null_space]] ''// 이하 슬라이드 요약.'' 영부분공간(zero subspace): 영벡터만으로 구성된 집합 $\{ \vec{0} \}$ 행렬 A의 열공간(column space, range, image): 행렬 A의 열벡터들의 모든 선형결합의 집합. 기호: Col(A) (저 밑에부터는 괄호를 안 적었는데 별 상관은 없겠지....) $\operatorname{Col}\vec{A}=\left{ x_1\vec{a_1} + \cdots + x_m\vec{a_m} \middle| \forall x_i \in \mathbb{R} \right} = \left{ \vec{A}\vec{x} \middle| \vec{x}\in\mathbb{R}^m \right}$ ''// A, x 위에 화살표 맞는지, R이 실수집합 맞는지, chk....'' 행렬 A의 영공간(null space, kernel) [[영공간,null_space]] 기호: Nul A 행렬 A의 행공간(row space) 기호: Row A $\operatorname{Row}\vec{A}=\left{ c_1\vec{a_1}{}^{\top}+\cdots+c_m\vec{a_m}{}^{\top}\middle| \forall x_i \in \mathbb{R} \right} = \operatorname{span}\left{ \vec{a_1}{}^{\top},\cdots, \vec{a_m}{}^{\top} \right}$ // x_i는 c_i 아닌가? 바로 밑에 나온 것처럼. 행공간과 영공간의 직교. 행공간 $\operatorname{Row}\vec{A}=\left{ c_1\vec{a_1}{}^{\top}+\cdots+c_m\vec{a_m}{}^{\top}\middle| \forall c_i \in \mathbb{R} \right}$ 영공간 Ax=0 $A=\begin{bmatrix}\vec{a_1}{}^{\top} \\ \vec{a_2}{}^{\top} \\ \vdots \\ \vec{a_m}{}^{\top} \end{bmatrix}$ $\vec{a_i}{}^{\top} \vec{x} = 0$ 식으로 $(c_1\vec{a_1}{}^{\top}+\cdots+c_m\vec{a_m}{}^{\top})\vec{x}=c_1\vec{a_1}{}^{\top}\vec{x}+\cdots+c_m\vec{a_i}{}^{\top}\vec{x}=0$ 즉 (행공간벡터)(영공간벡터 x) = 0 // 끝에 a_i는 a_m 아닌가?? 추축열(pivotal column): 행사다리꼴에서 추축(pivot)을 갖는 행렬의 열. 행렬 A의 추축열들은 열공간(column space)의 기저가 된다. //주축열이라고 하는 곳도 있던데 [[기저,basis]] 생략. [[좌표,coordinate]] 생략. [[차원,dimension]] 생략. [[계수,rank]] rank A는, 행렬 A의 [[열공간,column_space]]의 [[차원,dimension]]. A의 추축열들이 Col A의 [[기저,basis]]를 구성. A의 rank는 추축열의 개수. 계수 정리(rank theorem), rank-nullity thm 행렬 A가 n개의 열을 가지면 rank A + dim Nul A = n 여기서 dim Nul A (= A의 nullity) : 자유변수(free variable) 개수 rank A : 추축열(pivotal column) 개수 left nullspace 생략. rank A = rank A^^T^^ 생략. 가역행렬정리 생략. } ---- = 인터넷 페이지들 요약 CHK MERGE DELME = CHK, 인터넷 포스팅 등을 참조하였음. 확인 후 본문에 merge. { 선형결합으로 이루어지는 공간이 1. 원점을 지나고 2. 덧셈 연산에 닫혀있는 경우, 부분 공간(subspace)이 될 수도 있다. V와 W는 벡터공간이고, V가 W의 부분집합이면, V는 W의 부분공간(subspace)이라고 한다. 다시 정리하면, 벡터공간 V의 부분집합인 H가 다음을 만족할 때 부분공간(subspace)이라고 한다. * V에 속하는 영벡터(zero vector)가 H의 원소이다. * u,v∈H, u+v∈H, v+u∈H * u∈H이고 임의의 스칼라 c에 대해 cu∈H // https://wegonnamakeit.tistory.com/40 ---- 벡터공간 V의 부분집합인 H가 다음을 만족할 때 부분공간(subspace)이라고 합니다. (1) V에 속하는 영벡터(zero vector)가 H의 원소이다. (2) u,v∈H, u+v∈H, v+u∈H (3) u∈H이고 임의의 스칼라 c에 대해 cu∈H (페이지에 그림 있음) // https://ratsgo.github.io/linear%20algebra/2017/05/20/spaces/ ---- '''부분공간'''을 구성하는 벡터들이 서로 독립([[선형독립,linear_independence]])이면 (그 벡터들을?) basis of a subspace라고 한다. [[기저,basis]] 정의 공집합이 아닌 $\mathbb{R}^n$ 상의 벡터들의 집합이, 스칼라곱과 덧셈에 닫혀있다면, (i.e. 일차결합=[[선형결합,linear_combination]]에 대하여 닫혀있다면,) 이것을 $\mathbb{R}^n$ 상의 '''부분공간'''이라 한다. $\mathbb{R}^n$ 상의 부분공간의 예. 영부분공간(zero subspace) : 영벡터만을 원소로 가짐. $\{ \vec{0} \}$ 영벡터의 스칼라곱과 두 영벡터의 합은 영벡터이므로, $\mathbb{R}^n$ 상의 부분공간임. $\mathbb{R}^n$ 그 자체 $\mathbb{R}^n$ 상의 벡터의 스칼라곱은 $\mathbb{R}^n$ 상의 벡터가 되며 $\mathbb{R}^n$ 상의 두 벡터의 합은 $\mathbb{R}^n$ 상의 벡터가 되므로. (위 둘은 자명한 부분공간(trivial subspace).) 정의(2) $\vec{v_},\vec{v_},\cdots,\vec{v_}$ 가 $\mathbb{R}^n$ 상의 벡터일 때, 모든 일차결합 $\vec{x}=t_1\vec{v_1}+t_2\vec{v_2}+\cdots+t_s\vec{v_s}$ 들의 집합은 $\mathbb{R}^n$ 상의 '''부분공간'''이 된다. 이렇게 만들어진 $\mathbb{R}^n$ 상의 부분공간 $W$ 를, $\vec{v_1},\vec{v_2},\cdots,\vec{v_s}$ 의 [[생성,span]]이라 하며 다음과 같이 표기. $W=\mathrm{span}\left{ \vec{v_1},\vec{v_2},\cdots,\vec{v_s} \right}$ 혹은 $\vec{v_1},\vec{v_2},\cdots,\vec{v_s}$ 가 $W$ 를 생성한다고 함. $t_1,t_2,\cdots,t_s$ 는 매개변수(parameters). //이상 https://m.blog.naver.com/ldj1725/220234150641 ---- 정리: 임의의 $\mathbb{R}^n$ 의 '''부분공간'''은 반드시 zero vector를 포함해야 한다. 아래에서 영벡터(zero vector)=원점(origin) 혼용됨. 일부러 혼용함 - 여기서 완전히 같은 뜻인듯. $\mathbb{R}^2$ 에서 가능한 부분공간들 * $\mathbb{R}^2$ 전체 * 영벡터를 지나는 임의의 [[직선,line]] - 원점을 지나는 아무 직선 * 영벡터 only - 영벡터 그 자체 i.e. (http://kocw.net/home/search/kemView.do?kemId=1285101 4강 11m) * {(0,0)} * a line passing through (0,0) * $\mathbb{R}^2$ $\mathbb{R}^3$ 의 가능한 부분공간들 * all of $\mathbb{R}^3$ * 원점을 지나는 [[평면,plane]] * 원점을 지나는 [[직선,line]] * 영벡터(원점) 그 자체 행렬의 부분공간(subspace of matrix) 에는 여러가지가 있을텐데 (행공간 등등?).... 바로 [[열공간,column_space]]을 뽑아낼 수 있다 임의의 행렬 A에서, 모든 [[열,column]]의 [[선형결합,linear_combination]]은 '''부분공간'''(subspace)을 형성한다. 이것을 column space라 부르고 C(A)로 쓴다. //이상 https://twlab.tistory.com/15 ---- 벡터공간 V의 부분집합 W가 있다. W는 공집합이 아니다. V상에서 정의된 덧셈과 스칼라곱에 대해 [[벡터공간,vector_space]]이 될 때, (i.e. 벡터공간의 열 공리를 만족할 때) W를 벡터공간 V의 '''부분공간'''이라 한다. 표기는: $W\le V$ 어떤 부분공간들의 합집합(∪)은 부분공간이 아니다. (QQQ 즉, 항상 아니라는 뜻?) 어떤 부분공간들의 교집합(∩)은 부분공간이다. // https://freshrimpsushi.tistory.com/285 ---- // from https://blog.naver.com/lado135/221846778190 MIT_Linear_Algebra 6 2D 벡터공간의 부분공간: * 그 전체 * 원점(zero vector) * 원점을 지나는 모든 직선 3D 벡터공간의 부분공간: * 그 전체 * 원점(zero vector) * 원점을 지나는 모든 직선 * 원점을 지나는 모든 평면 '''부분공간'''의 조건 * 벡터 합이 부분공간 내에 있어야 (즉 닫혀있다) * 벡터의 실수배가 부분공간 내에 있어야 * 원점을 반드시 포함해야 (즉 실수배에서 실수가 0인 경우) 2D 벡터공간에서, 원점을 지나지 않는 선은 부분공간이 될 수 없음. (선 벡터에 0을 곱하면 영벡터가 나오는데, 이 결과가 선을 벗어나므로 - CHK) 3D 벡터공간에 원점을 지나는 직선(L)과 평면(P)가 있다고 가정. L은 P위에 있지 않다. 교차점은 원점 뿐이다. 그러면 다음은 부분공간인가? P∪L no. 합 결과가 P, L을 모두 벗어날 수 있다. P∩L yes. 원점뿐이므로. [[열공간,column_space]] 생략 [[영공간,null_space]] := A'''x'''='''0'''을 만족하는 모든 '''x'''의 집합. 부분공간의 일종. } ---- Twins: [[https://terms.naver.com/entry.naver?docId=4125307&cid=60207&categoryId=60207 수학백과: 부분공간]] https://proofwiki.org/wiki/Definition:Subspace (Disambiguation) ▶ https://proofwiki.org/wiki/Definition:Vector_Subspace https://planetmath.org/vectorsubspace https://everything2.com/title/Subspace Up: [[공간,space]]? [[벡터공간,vector_space]]? [[선형대수,linear_algebra]]