moved from [[집합,set#s-3]]
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Sub: 들 아래에서 여기로 조금씩 모으고 추가할 것 TODO

[[진부분집합,proper_subset]]
[[improper_subset]] { improper subset "improper subset" Ggl:"improper subset" } // improper subset
[[convex_subset]] - mklink [[볼록집합,convex_set]] / 번역은 볼록부분집합 ?
[[total_subset]] - curr see WpEn:Total_subset ... Google:total.subset / 번역은 전부분집합 ?
[[k-subset]] - 특정 수 - $k$ 개 - 의 [[원소,element]]만 가진 부분집합. [[이항계수,binomial_coefficient]] or [[조합,combination]] 식으로 간단히 계산 가능. curr see https://mathworld.wolfram.com/k-Subset.html
[[ordered_subset]] - See Principles of Algorithmic Problem Solving 15.3
[[정의가능부분집합,definable_subset]] - w at RR
 Rel [[정의가능집합,definable_set]] - w at RR

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예를 들어 두 집합 A={1,2} B={1,2,3} 일 때, A의 모든 원소는 B의 원소이다. 이렇게
 x∈A → x∈B
일 때 A를 B의 '''부분집합'''(subset)이라 하고,
 A⊂B 또는 B⊃A
로 나타내며, 이것을
 A는 B에 포함된다 또는
 B는 A를 포함한다
고 말한다.

[[공집합,empty_set]]은 임의의 집합의 '''부분집합'''이다. ∅⊂A
임의의 집합 A는 A 자신의 '''부분집합'''이다. A⊂A

두 집합의 같음, [[상등]](equality? equivalence?)은: A⊂B이고 B⊂A 일 때, A=B. ''(이거 양방향 i.e. iff 아닌지 CHK)''

A⊂B이고 A≠B일 때, A는 B의 [[진부분집합,proper_subset]].

(수학의 정석)

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이하 맞는지 CHK
A의 모든 원소가 B의 원소이면, A는 B의 '''부분집합'''
∀x∈A, (x∈A → x∈B) ≡ (A⊂B) ? CHK
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S와 T가 집합일 때, "T는 S의 부분집합이다"의 기호는
 $T\subset S$
필요충분조건은
 $x\in T \Rightarrow x \in S$

만일 $T\subset S$ 이고 $T\ne S$ 이면 T는 S의 [[진부분집합,proper_subset]].

(10개의 특강으로 끝내는 수학의 기본 원리)
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부분집합의 성질

[[공집합,empty_set]]은 모든 [[집합,set]]의 '''부분집합'''.
 ∅ ⊂ A

집합 A는 A 자신의 '''부분집합'''.
 A ⊂ A

A ⊂ B ∧ B ⊂ C ⇒ A ⊂ C
[[추이관계,transitive_relation]]? [[transitivity]]? chk

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부분집합의 개수

$n$ 개의 원소를 가진 집합의 부분집합의 수 = $2^n$

(모든?)부분집합(들)의 [[카디널리티,cardinality]]
https://everything2.com/title/cardinality+of+subsets

chk
{
집합 A={a,,1,,, a,,2,,, …, a,,n,,} 즉 |A|=n 일 때
 * 집합 A의 모든 '''부분집합'''의 개수 → 2^^n^^
 * 특정한 원소 m개를 반드시 원소로 갖는 A의 '''부분집합'''의 개수 → 2^^n−m^^
}

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집합 A의 [[멱집합,power_set]]: 집합 A의 모든 '''부분집합'''의 집합

집합 B의 모든 '''부분집합'''들로 만든 집합 = B의 [[멱집합,power_set]]

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'''부분집합'''보다 더 강한 조건: [[진부분집합,proper_subset]]
{

$n$ 개의 원소를 가진 집합의 부분집합의 수 = $2^n$
$n$ 개의 원소를 가진 집합의 '''진부분집합'''의 수 = $2^n-1$

Compare:
[[proper_superset]]
{
번역은??
일단 kms superset 번역은 '포함집합' 이라 하네... via https://www.kms.or.kr/mathdict/list.html?key=ename&keyword=superset
그럼 진포함집합 ???

https://proofwiki.org/wiki/Definition:Proper_Subset/Proper_Superset

... Ndict:Proper_Superset Google:Proper_Superset
}
[[improper_subset]] - see proofwiki

https://mathworld.wolfram.com/ProperSubset.html
https://planetmath.org/propersubset (short)
https://proofwiki.org/wiki/Definition:Proper_Subset
}

AND

'''부분집합'''의 반대 개념: 초집합/상위집합 superset .... 진초집합/진상위집합 proper_superset (from wpko: 부분집합)
{
superset 번역은?
포함집합(kms)
상위 집합([[https://terms.naver.com/entry.naver?docId=272694&cid=50294&categoryId=50294 실험심리학용어사전]])
초집합([[https://m.blog.naver.com/at3650/221047759266]])
초집합/상위집합 (wpko)

see [[Zeta:부분집합,_진부분집합,_상위집합,_진상위집합,_포함관계]]

Opp: [[부분집합,subset]]
}
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Sub: (rel. [[위상,topology]], 비슷한 구조: [[구간,interval]])
[[open_subset]] https://topospaces.subwiki.org/wiki/Open_subset
[[closed_subset]] https://topospaces.subwiki.org/wiki/Closed_subset
[[clopen_subset]] https://topospaces.subwiki.org/wiki/Clopen_subset
[[subset_relation]]
 쉽게 말해 포함관계. 포함은 pagename [[포함,inclusion]]?
 기호: ⊆ (proofwiki) ... ⊂ 는 ?
  그러고보니 ⊂ 의 meaning or usage가 ambiguous. 문맥...보다는 책 저자가 정의한 바에 따라, ⊂ : ⊆ OR ⊊
 https://proofwiki.org/wiki/Definition:Subset_Relation
 그리고 이건 [[ordering]](rel. [[순서,order]] [[순서관계,order_relation]] WtEn:ordering )이다. https://proofwiki.org/wiki/Subset_Relation_is_Ordering
 [[관계,relation]]
 ... Google:subset.relation
----
비교:
각종 sub- (보통 부분- 으로 번역되는)
수학/CS의 '구조적인'(?) 어떤 개념들에는 그에 해당하는 sub-들이 있다. 대충, '일부만 뽑아낸'? part? 예를 들면,
[[집합,set]]에는 '''subset'''
[[공간,space]]에는 [[부분공간,subspace]]
[[그래프,graph]]에는 [[부분그래프,subgraph]] Srch:subgraph
[[네트워크,network]]에는 Google:subnetwork or Google:subnet
[[행렬,matrix]]에는 [[부분행렬,submatrix]](writing)
[[군,group]]에는 [[부분군,subgroup]](writing)
[[다양체,manifold]]에는 [[부분다양체,submanifold]]
…
But,
routine에는 subroutine? 이건 별 차이 없는? Google:routine+subroutine
…
그리고 이 중에 어떤 것은 상위의 것을 포함하지 않는 proper- (보통 진- 으로 번역) 개념도 있다.
'''부분집합'''에 대해 [[진부분집합,proper_subset]]
…
정리예정
(... 보니 이미 sub- 작성중이었음. 그리고 그 반대인 super-도 같이 작성중)

rel.
[[포함,inclusion]]
[[포함사상,inclusion_map]]
[[부분,part]]?

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Twins:
https://nuriwiki.net/wiki/부분집합
[[WpKo:부분집합]]
[[WpEn:Subset]]
https://ncatlab.org/nlab/show/subset
[[https://terms.naver.com/entry.naver?docId=3338019&cid=47324&categoryId=47324 수학백과: 부분집합]]
https://proofwiki.org/wiki/Definition:Subset
https://en.citizendium.org/wiki/Subset
https://mathworld.wolfram.com/Subset.html

Up: [[집합,set]]