불_대수,Boolean_algebra

Boolean algebra:
(B, 0, 1, +, ·,
여기서
B = { TBW
0 : zero
1 : unit
+ : 합,sum
· : 곱,product (이상 두 개의 binary operators)
' : complementation (하나의 unary operator)
TODO Ggl:proofwiki boolean algebra (맨밑에 있) Ggl:definition of boolean algebra

참,true과 거짓,false에 대한?

집합 {0, 1} 또는 {false, true}에 대한 ? CHK
각종 연산,operation

그 연산들은
conjunction (and) ∧
disjunction (or) ∨
negation (not) ¬

공리:
  • A=0 or A=1
  • 0·0=0
  • 1·1=1
  • 0+0=0
  • 1+1=1
  • 1·0=0·1=0
  • 1+0=0+1=1
이것은 쌍대적 (쌍대성,duality). (tbw: 왜 그런지)

chk/del
x+0=x
x+1=1
x+x=x
x+x̄=1
x·0=0
x·1=x
x·x=x
x·x̄=0
x·(y+z)=(x·y)+(x·z)
x+(y·z)=(x+y)·(x+z)
교환법칙1 x+y=y+x
교환법칙2 x·y=y·x
드모르간법칙1 (x+y)'=x̄·ȳ
드모르간법칙2 (x·y)'=x̄+ȳ

논리합,logical_sum /// mv to 불_논리,Boolean_logic??
{
0+0=0
1+1=1 이것은 일반적 algebra/arithmetic에선 성립하지 않지만 여기선 성립.

합,sum과 유사성
덧셈,addition
}

논리곱,logical_product
{
0·0=0
0·1=0
1·0=0
1·1=1


Boolean algebra의 기본 법칙들:

멱등법칙 (멱등성,idempotence) ... 멱등법칙,idempotent_law
A+A=A
A·A=A

항등법칙 (항등성,identity)
A+0=A
A·1=A

유계법칙 (english?) ... Ndict:유계법칙 Google:유계법칙 Ggl:A 1=1 law
A+1=1
A·0=0

교환법칙 (교환법칙,commutativity)
A+B=B+A
A·B=B·A

결합법칙 (결합법칙,associativity)
(A+B)+C=A+(B+C)
(A·B)·C=A·(B·C)

분배법칙 (분배법칙,distributivity)
A·(B+C)=A·B+A·C
A+B·C=(A+B)·(A+C)

pf.
A+B·C
=A·(1+B+C)+B·C
=A·A+A·B+A·C+B·C
=(A+B)·(A+C)

보수의 법칙 (보수,complement?)
A+A'=1 // a-bar인데 귀찮아서 prime으로 대체
A·A'=0

이중 보수의 법칙 (aka 이중 부정의 법칙) (rel. double_negation과 비슷?) involution NN:involution Ggl:involution WtEn:involution
A''=A

흡수법칙,absorption_law
A+A·B=A
A·(A+B)=A

첫번째 pf.
A+A·B = A·(1+B) = A·1 = A

Sub:


complete_Boolean_algebra - writing, curr see WpEn:Complete_Boolean_algebra WpKo:완비_불_대수
complete Boolean algebra
완비 불 대수
Google:Complete Boolean algebra

two-element_Boolean_algebra
two-element Boolean algebra
https://en.wikipedia.org/wiki/Two-element_Boolean_algebra
Ggl:two-element Boolean algebra

free_Boolean_algebra
w rr
WtEn:free_Boolean_algebra



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1. tmp

P+QR≡(P+Q)(P+R)
'또는 참'이 적용되면 항상 참
a or true == true

and와 or은 서로 distributive (See 분배법칙,distributivity) -- 수의 분배법칙과 다름.

이걸 뭐라고 하지?
not (not a) == a

de Morgan's laws
not (a or b) == (not a) and (not b)
not (a and b) == (not a) or (not b)

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2. 연산,operation

Operations:
not
and
nand
or
nor
xor
xnor
각 연산 이름으로 ~ gate도 있음 : 논리게이트,logic_gate

0 zero
1 unit
+ sum
· product
' complementation

연산이 만족하는 성질
commutativity 교환법칙,commutativity
a + b = b + a
a · b = b · a
associativity 결합법칙,associativity
(x + y) + z = x + (y + z)
(x · y) · z = x · (y · z)
distributivity 분배법칙,distributivity
x + (y · z) = (x + y) · (x + z)
x · (y + z) = (x · y) + (x · z)
identity 항등원,identity_element
x + 0 = x
x · 1 = x
complement
x + x' = 1
x · x' = 0


[edit]

2.1. short-circuit evaluation

{
AKA minimal evaluation, McCarthy evaluation



} via WpEn:Short-circuit_evaluation
한국어로 공식적 번역이 없는듯... (단락/단축) (평가/계산) 등이 언급됨.

리스프,Lisp의 경우 and와 or연산자가 short-circuit evaluation을 하며
operator returns
and first nil argument
or first non-nil argument

예:
(or (and "zero" nil "never") "James")
will evaluate to "James".

[edit]

3. Boolean algebra of sets

집합,set에 대해.

0, 1, +, ·, ' 가 각각 ∅, U, ∪, ∩, ￣ 으로 대체

[edit]

4. Boolean algebra of propositions

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5. duality


LinkLater
불_논리,Boolean_logic 및 논리,logic(학)과 '정확한' 관계 tbw.
불_값,Boolean_value {
Either true or false. 참,true 또는 거짓,false.
MKL 진리값,truth_value(본질은 같은데, 뉘앙스/usage 차이인가? 명확히.) Boolean_data_type
Up: 값,value
"Boolean value" Ggl:Boolean value }
Boolean_data_type {
불_자료형 or 불_자료타입 ?
Boolean data type
WtEn:Boolean_data_type x (2023-12)
WpKo:불리언_자료형
WpSp:Boolean_data_type
WpEn:Boolean_data_type
Up: 타입,type or data_type
"Boolean data type" Ggl:Boolean data type } // Boolean data type
Boolean_domain {
Boolean domain
REL: GF(2) { WpEn:GF(2) 이거 2023-12 현재 구글 검색결과가 네이버보다 월등히 낫다. Ggl:GF(2) Naver:GF(2) ... GF는 유한체,finite_field=갈루아_체,Galois_field }
WtEn:Boolean_domain x (2023-12)
WpEn:Boolean_domain
"Boolean domain" Ggl:Boolean domain
Up: 정의역,domain? }
불_식,Boolean_expression
{ // RR: 불_식,Boolean_expression
Boolean expression

Boolean_algebra_expression(이거랑 syn?) 을 간단히 하는 방법 : Karnaugh_map { WpEn:Karnaugh_map ... Naver:카르노맵 Google:카르노맵 Up: 맵,map? 단순화,simplification(writing) ... ~= reduction? }


"Boolean expression"
Ggl:Boolean expression
} // Boolean expression
불_함수,Boolean_function - writing
조합논리,combinational_logic
불_환,Boolean_ring(writing)
Boolean algebra는 Boolean ring과 비슷하지만 덧셈과 곱셈 연산자 대신 meet와 join 연산자를 사용해 정의된 것. (mw 첫문장) // meet_operator join_operator
Boolean_differential_calculus {
Boolean differential calculus (BDC)
WpEn:Boolean_differential_calculus
Up: 미분학,differential_calculus { 미분법 or 미분학 due to KmsE:differential calculus \ WtEn:differential_calculus \ differential_calculus }
"Boolean differential calculus"
Ggl:Boolean differential calculus
}
.... 기타 다양한 topics: WpEn:List_of_Boolean_algebra_topics / WpEn:Talk:List_of_Boolean_algebra_topics

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6. History

1854년 George Boole이 논리,logic를 체계적으로 다루기 위해 ... [1] 여기선 기호논리,symbolic_logic = Boolean_algebra. (근데 보통 기호논리 = 수리논리. see 수리논리,mathematical_logic 아랫부분에 AKA)

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7. bmks

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