#noindex
Boolean algebra:
> (B, 0, 1, +, ·, 
여기서
 B = { TBW
 0 : zero
 1 : unit
 + : [[합,sum]]
 · : [[곱,product]] (이상 두 개의 binary operators)
 ' : complementation (하나의 unary operator)
''TODO Ggl:"proofwiki boolean algebra" (맨밑에 있) Ggl:"definition of boolean algebra"''

[[참,true]]과 [[거짓,false]]에 대한?

집합 {0, 1} 또는 {false, true}에 대한 ? CHK
 각종 [[연산,operation]]

그 연산들은
 conjunction (and) ∧ [[논리곱,conjunction]]
 disjunction (or) ∨ [[논리합,disjunction]]
 negation (not) ¬ [[부정,negation]]

----
공리:
 * A=0 or A=1
 * 0·0=0
 * 1·1=1
 * 0+0=0
 * 1+1=1
 * 1·0=0·1=0
 * 1+0=0+1=1
이것은 쌍대적 ([[쌍대성,duality]]). (tbw: 왜 그런지)

----
chk/del
x+0=x
x+1=1
x+x=x
x+x̄=1
x·0=0
x·1=x
x·x=x
x·x̄=0
x·(y+z)=(x·y)+(x·z)
x+(y·z)=(x+y)·(x+z)
교환법칙1 x+y=y+x
교환법칙2 x·y=y·x
드모르간법칙1 (x+y)'=x̄·ȳ
드모르간법칙2 (x·y)'=x̄+ȳ

----
[[논리합,logical_sum]]  /// mv to [[불_논리,Boolean_logic]]??
{
0+0=0
1+1=1 이것은 일반적 algebra/arithmetic에선 성립하지 않지만 여기선 성립.

[[합,sum]]과 유사성
[[덧셈,addition]]
}

[[논리곱,logical_product]]
{
0·0=0
0·1=0
1·0=0
1·1=1

[[곱,product]]
[[곱셈,multiplication]]
}

----
'''Boolean algebra'''의 기본 법칙들:

멱등법칙 ([[멱등성,idempotence]]) ... [[멱등법칙,idempotent_law]]
A+A=A
A·A=A

항등법칙 ([[항등성,identity]])
A+0=A
A·1=A

유계법칙 (english?) ... Ndict:유계법칙  Google:유계법칙 Ggl:"A+1=1 law"
A+1=1
A·0=0

교환법칙 ([[교환법칙,commutativity]])
A+B=B+A
A·B=B·A

결합법칙 ([[결합법칙,associativity]])
(A+B)+C=A+(B+C)
(A·B)·C=A·(B·C)

분배법칙 ([[분배법칙,distributivity]])
A·(B+C)=A·B+A·C
A+B·C=(A+B)·(A+C)

pf.
A+B·C
=A·(1+B+C)+B·C
=A·A+A·B+A·C+B·C
=(A+B)·(A+C)

보수의 법칙 ([[보수,complement]]?)
A+A'=1  // a-bar인데 귀찮아서 prime으로 대체
A·A'=0

이중 보수의 법칙 (aka 이중 부정의 법칙) (rel. [[double_negation]]과 비슷?) [[involution]] NN:involution Ggl:involution WtEn:involution
A''=A

[[흡수법칙,absorption_law]]
A+A·B=A
A·(A+B)=A

첫번째 pf.
A+A·B = A·(1+B) = A·1 = A

----
Sub:

[[시그마대수,sigma-algebra]] (σ-algebra)

complete_Boolean_algebra - ''writing, curr see WpEn:Complete_Boolean_algebra WpKo:완비_불_대수''
complete Boolean algebra
완비 불 대수
Google:Complete+Boolean+algebra

two-element_Boolean_algebra
two-element Boolean algebra
https://en.wikipedia.org/wiki/Two-element_Boolean_algebra
Ggl:"two-element Boolean algebra"

free_Boolean_algebra
w rr
WtEn:free_Boolean_algebra

<<tableofContents>>

= tmp =
P+QR≡(P+Q)(P+R)
----
'또는 참'이 적용되면 항상 참
a or true == true

and와 or은 서로 distributive (See [[분배법칙,distributivity]]) -- 수의 분배법칙과 다름.

이걸 뭐라고 하지?
not (not a) == a

de Morgan's laws
not (a or b) == (not a) and (not b)
not (a and b) == (not a) or (not b)

= [[연산,operation]] =
Operations:
not
and
nand
or
nor
xor
xnor
각 연산 이름으로 ~ gate도 있음 : [[논리게이트,logic_gate]]

||0 ||zero ||
||1 ||unit ||
||+ ||sum ||
||· ||product ||
||' ||complementation ||

연산이 만족하는 성질
commutativity [[교환법칙,commutativity]]
 a + b = b + a
 a · b = b · a
associativity [[결합법칙,associativity]]
 (x + y) + z = x + (y + z)
 (x · y) · z = x · (y · z)
distributivity [[분배법칙,distributivity]]
 x + (y · z) = (x + y) · (x + z)
 x · (y + z) = (x · y) + (x · z)
identity [[항등원,identity_element]]
 x + 0 = x
 x · 1 = x
complement
 x + x' = 1
 x · x' = 0

----
https://planetmath.org/derivedbooleanoperations

== short-circuit evaluation ==
{
AKA minimal evaluation, McCarthy evaluation



} via WpEn:Short-circuit_evaluation
한국어로 공식적 번역이 없는듯... (단락/단축) (평가/계산) 등이 언급됨.

[[리스프,Lisp]]의 경우 and와 or연산자가 short-circuit evaluation을 하며
||operator ||returns ||
||and ||first nil argument ||
||or  ||first non-nil argument ||

예:
{{{
(or (and "zero" nil "never") "James")
}}}
will evaluate to "James".

= Boolean algebra of sets =
[[집합,set]]에 대해.

0, 1, +, ·, ' 가 각각 ∅, U, ∪, ∩, ￣ 으로 대체

[[교환법칙,commutativity]]
 $A\cup B=B\cup A$
 $A\cap B=B\cap A$
[[결합법칙,associativity]]
 $(A\cup B)\cup C=A\cup(B\cup C)$
 $(A\cap B)\cap C=A\cap(B\cap C)$
[[분배법칙,distributivity]]
 $A\cup(B\cap C)=(A\cup B)\cap(A\cup C)$
 $A\cap(B\cup C)=(A\cap B)\cup(A\cap C)$
identity
 $A\cup\emptyset = A$
 $A\cap U=A$
complement
 $A\cup\bar{A}=U$
 $A\cap\bar{A}=\emptyset$

= Boolean algebra of propositions =
[[명제,proposition]]에 대해.

[[교환법칙,commutativity]]
 $p\vee q \Leftrightarrow q\vee p$
 $p\wedge q \Leftrightarrow q\wedge p$
[[결합법칙,associativity]]
 $(p\vee q)\vee r \Leftrightarrow p\vee(q\vee r)$
 $(p\wedge q)\wedge r \Leftrightarrow p\wedge(q\wedge r)$
[[분배법칙,distributivity]]
 $p\vee(q\wedge r)\Leftrightarrow(p\vee q)\wedge(p\vee r)$
 $p\wedge(q\vee r)\Leftrightarrow(p\wedge q)\vee(p\wedge r)$
identity
 $p\vee\textrm{false}\Leftrightarrow p$
 $p\wedge\textrm{true}\Leftrightarrow p$
complement
 $p\vee\neg p\Leftrightarrow \textrm{true}$
 $p\wedge \neg p \Leftrightarrow \textrm{false}$

= duality =
[[쌍대성,duality]]
https://everything2.com/title/Boolean+algebra+duality

----
LinkLater
[[불_논리,Boolean_logic]] 및 [[논리,logic]](학)과 '정확한' 관계 tbw.
[[불_값,Boolean_value]] {
 Either true or false. [[참,true]] 또는 [[거짓,false]].
 MKL [[진리값,truth_value]](본질은 같은데, 뉘앙스/usage 차이인가? 명확히.) [[Boolean_data_type]]
 Up: [[값,value]]
 "Boolean value" Ggl:"Boolean value" }
[[Boolean_data_type]] {
 불_자료형 or 불_자료타입 ?
 Boolean data type
 WtEn:Boolean_data_type x (2023-12)
 WpKo:불리언_자료형
 WpSp:Boolean_data_type
 WpEn:Boolean_data_type
 Up: [[타입,type]] or [[data_type]]
 "Boolean data type" Ggl:"Boolean data type" } // Boolean data type
[[Boolean_domain]] {
 Boolean domain
 REL: GF(2) { [[WpEn:GF(2)]] 이거 2023-12 현재 구글 검색결과가 네이버보다 월등히 낫다. Ggl:"GF(2)" Naver:"GF(2)" ... GF는 [[유한체,finite_field]]=[[갈루아_체,Galois_field]] }
 WtEn:Boolean_domain x (2023-12)
 WpEn:Boolean_domain
 "Boolean domain" Ggl:"Boolean domain"
 Up: [[정의역,domain]]? }
[[불_식,Boolean_expression]]
{ // RR: 불_식,Boolean_expression
Boolean expression

Boolean_algebra_expression(이거랑 syn?) 을 간단히 하는 방법 : [[Karnaugh_map]] { WpEn:Karnaugh_map ... Naver:카르노맵 Google:카르노맵 Up: [[맵,map]]? [[단순화,simplification]](writing) ... ~= [[reduction]]? }

Up: [[불_대수,Boolean_algebra]] [[불_논리,Boolean_logic]] [[식,expression]]

"Boolean expression"
Ggl:"Boolean expression"
} // Boolean expression
[[불_함수,Boolean_function]] - writing
[[조합논리,combinational_logic]]
[[불_환,Boolean_ring]](writing)
 '''Boolean algebra'''는 Boolean ring과 비슷하지만 덧셈과 곱셈 연산자 대신 meet와 join 연산자를 사용해 정의된 것. (mw 첫문장) // meet_operator join_operator
[[Boolean_differential_calculus]] {
 Boolean differential calculus (BDC)
 WpEn:Boolean_differential_calculus
 Up: [[미분학,differential_calculus]] { 미분법 or 미분학 due to KmsE:"differential calculus" \ WtEn:differential_calculus \ [[differential_calculus]] }
 "Boolean differential calculus"
 Ggl:"Boolean differential calculus"
 }
.... 기타 다양한 topics: WpEn:List_of_Boolean_algebra_topics / WpEn:Talk:List_of_Boolean_algebra_topics

Sub:
 [[논리곱표준형,conjunctive_normal_form,CNF]]

= History =
1854년 George Boole이 [[논리,logic]]를 체계적으로 다루기 위해 ... [* https://www2.southeastern.edu/Academics/Faculty/kyang/2018/Spring/CMPS375/ClassNotes/CMPS375ClassNotesChap03.pdf 3.1] 여기선 [[기호논리,symbolic_logic]] = Boolean_algebra. ''(근데 보통 기호논리 = 수리논리. see [[수리논리,mathematical_logic]] 아랫부분에 AKA)''

= bmks =
https://everything2.com/title/Boolean+law

----
Up:
 [[대수학,algebra]]
 [[이산수학,discrete_math]]?

Twins:
http://foldoc.org/Boolean+algebra
https://mathworld.wolfram.com/BooleanAlgebra.html
https://everything2.com/title/Boolean+algebra
[[WpEn:Boolean_algebra]]
https://plato.stanford.edu/entries/boolalg-math/ (The Mathematics of Boolean Algebra)
(다음 step은 lattice 관점까지 포함한?)
[[WpKo:불_대수]]
https://encyclopediaofmath.org/wiki/Boolean_algebra - ''Boolean lattice''
[[WpEn:Boolean_algebra_(structure)]] - or '''Boolean_lattice'''
 Boolean lattice는 [[complemented_lattice]] 이며 [[distributive_lattice]] 이다.
 (See [[격자,lattice]] - [[순서론,order_theory]]의 격자 - curr at [[순서,order]] ....모두 writing)

https://proofwiki.org/wiki/Definition:Boolean_Algebra